2015年河南省中招数学试题及解析

第 1 页 共 24 页 2015 河南中考数学试卷 一 选择题 每小题 3 分 满分 24 分 下列各小题均有四个答案 其中只有一个是正确的 1 3 分 下列各数中最大的数是 A 5 B C D 8 2 3 分 如图所示的几何体的俯视图是 A B C D 3 3 分 据统计 2014 年我国高新技术产品出口总额 40570 亿元 将数据 40570 亿用科 学记数法表示为 A 4 0570 109 B 0 40570 1010 C 40 570 1011 D 4 0570 1012 4 3 分 如图 直线 a b 被直线 c d 所截 若 1 2 3 125 则 4 的度数为 A 55 B 60 C 70 D 75 5 3 分 不等式 的解集在数轴上表示为 A B C D 6 3 分 小王参加某企业招聘测试 他的笔试 面试 技能操作得分分别为 85 分 80 分 90 分 若依次按照 2 3 5 的比例确定成绩 则小王的成绩是 A 255 分 B 84 分 C 84 5 分 D 86 分 第 2 页 共 24 页 7 3 分 如图 在 ABCD 中 用直尺和圆规作 BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E 若 BF 6 AB 5 则 AE 的长为 A 4 B 6 C 8 D 10 8 3 分 如图所示 在平面直角坐标系中 半径均为 1 个单位长度的半圆 O1 O 2 O 3 组成一条平滑的虚线 点 P 从原点 O 出发 沿这条曲线向右运动 速度为 每秒 个单位长度 则第 2015 秒时 点 P 的坐标是 A 2014 0 B 2015 1 C 2015 1 D 2016 0 二 填空题 共 7 小题 每小题 3 分 满分 21 分 9 3 分 计算 3 0 3 1 10 3 分 如图 ABC 中 点 D E 分别在边 AB BC 上 DE AC 若 BD 4 DA 2 BE 3 则 EC 11 3 分 如图 直线 y kx 与双曲线 y x 0 交于点 A 1 2 则 k 第 3 页 共 24 页 12 3 分 已知点 A 4 y1 B y 2 C 2 y3 都在二次函数 y x 2 2 1 的 图象上 则 y1 y 2 y 3 的大小关系是 13 3 分 现有四张分别标有 1 2 2 3 的卡片 它们除数字外完全相同 把卡片背面 向上洗匀 从中随机抽取一张后放回 再背面朝上洗匀 从中随机抽出一张 则两次抽出 的卡片所标数字不同的概率是 14 3 分 如图 在扇形 AOB 中 AOB 90 点 C 为 OA 的中点 CE OA 交 于点 E 以点 O 为圆心 OC 的长为半径作 交 OB 于点 D 若 OA 2 则阴影部分的面积为 15 3 分 如图 正方形 ABCD 的边长是 16 点 E 在边 AB 上 AE 3 点 F 是边 BC 上不与点 B C 重合的一个动点 把 EBF 沿 EF 折叠 点 B 落在 B 处 若 CDB 恰为等 腰三角形 则 DB 的长为 三 解答题 共 8 小题 满分 75 分 16 8 分 先化简 再求值 其中 a 1 b 1 第 4 页 共 24 页 17 9 分 如图 AB 是半圆 O 的直径 点 P 是半圆上不与点 A B 重合的一个动点 延长 BP 到点 C 使 PC PB D 是 AC 的中点 连接 PD PO 1 求证 CDP POB 2 填空 若 AB 4 则四边形 AOPD 的最大面积为 连接 OD 当 PBA 的度数为 时 四边形 BPDO 是菱形 18 9 分 为了了解市民 获取新闻的最主要途径 某市记者开展了一次抽样调查 根据 调查结果绘制了如下尚不完整的统计图 根据以上信息解答下列问题 1 这次接受调查的市民总人数是 2 扇形统计图中 电视 所对应的圆心角的度数是 3 请补全条形统计图 4 若该市约有 80 万人 请你估计其中将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数 19 9 分 已知关于 x 的一元二次方程 x 3 x 2 m 1 求证 对于任意实数 m 方程总有两个不相等的实数根 2 若方程的一个根是 1 求 m 的值及方程的另一个根 第 5 页 共 24 页 20 9 分 如图所示 某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度 他们在斜坡 上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30 朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处 在 A 处测得 大树顶端 B 的仰角是 48 若坡角 FAE 30 求大树的高度 结果保留整数 参考数据 sin48 0 74 cos48 0 67 tan48 1 11 1 73 21 10 分 某旅游馆普通票价 20 元 张 暑假为了促销 新推出两种优惠卡 金卡售价 600 元 张 每次凭卡不再收费 银卡售价 150 元 张 每次凭卡另收 10 元 暑假普通票正常出售 两种优惠卡仅限暑假使用 不限次数 设游泳 x 次时 所需总费用 为 y 元 1 分别写出选择银卡 普通票消费时 y 与 x 之间的函数关系式 2 在同一坐标系中 若三种消费方式对应的函数图象如图所示 请求出点 A B C 的 坐标 3 请根据函数图象 直接写出选择哪种消费方式更合算 第 6 页 共 24 页 22 10 分 如图 1 在 Rt ABC 中 B 90 BC 2AB 8 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 连接 DE 将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 当 180 时 2 拓展探究 试判断 当 0 360 时 的大小有无变化 请仅就图 2 的情形给出证明 3 问题解决 当 EDC 旋转至 A D E 三点共线时 直接写出线段 BD 的长 23 11 分 如图 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物 线经过点 A 点 P 是抛物线上点 A C 间的一个动点 含端点 过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 连接 PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点 P 的位置发现 当 P 与点 A 会点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定值 进而 猜想 对于任意一点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在 多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长最小时 好点 的坐标 第 7 页 共 24 页 第 8 页 共 24 页 2015 年河南省中考数学试卷 一 选择题 每小题 3 分 满分 24 分 下列各小题均有四个答案 其中只有一个是正确的 1 3 分 下列各数中最大的数是 A A 5 B C D 8 2 3 分 如图所示的几何体的俯视图是 B A B C D 3 3 分 据统计 2014 年我国高新技术产品出口总额 40570 亿元 将数据 40570 亿用科 学记数法表示为 D A 4 0570 109 B 0 40570 1010 C 40 570 1011 D 4 0570 1012 4 3 分 如图 直线 a b 被直线 c d 所截 若 1 2 3 125 则 4 的度数为 A A 55 B 60 C 70 D 75 5 3 分 不等式 的解集在数轴上表示为 C A B C D 6 3 分 小王参加某企业招聘测试 他的笔试 面试 技能操作得分分别为 85 分 80 分 90 分 若依次按照 2 3 5 的比例确定成绩 则小王的成绩是 D A 255 分 B 84 分 C 84 5 分 D 86 分 7 3 分 如图 在 ABCD 中 用直尺和圆规作 BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E 若 BF 6 AB 5 则 AE 的长为 第 9 页 共 24 页 A 4 B 6 C 8 D 10 考点 平行四边形的性质 等腰三角形的判定与性质 勾股定理 作图 基本作图 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由基本作图得到 AB AF 加上 AO 平分 BAD 则根据等腰三角形的性质得到 AO BF BO FO BF 3 再根据平行四边形的性质得 AF BE 所以 1 3 于是 得到 2 3 根据等腰三角形的判定得 AB EB 然后再根据等腰三角形的性质得到 AO OE 最后利用勾股定理计算出 AO 从而得到 AE 的长 解答 解 连结 EF AE 与 BF 交于点 O 如图 AB AF AO 平分 BAD AO BF BO FO BF 3 四边形 ABCD 为平行四边形 AF BE 1 3 2 3 AB EB 而 BO AE AO OE 在 Rt AOB 中 AO 4 AE 2AO 8 故选 C 8 3 分 如图所示 在平面直角坐标系中 半径均为 1 个单位长度的半圆 O1 O 2 O 3 组成一条平滑的虚线 点 P 从原点 O 出发 沿这条曲线向右运动 速度为 每秒 个单位长度 则第 2015 秒时 点 P 的坐标是 B 第 10 页 共 24 页 A 2014 0 B 2015 1 C 2015 1 D 2016 0 二 填空题 共 7 小题 每小题 3 分 满分 21 分 9 3 分 计算 3 0 3 1 10 3 分 如图 ABC 中 点 D E 分别在边 AB BC 上 DE AC 若 BD 4 DA 2 BE 3 则 EC 11 3 分 如图 直线 y kx 与双曲线 y x 0 交于点 A 1 2 则 k 2 12 3 分 已知点 A 4 y1 B y 2 C 2 y3 都在二次函数 y x 2 2 1 的 图象上 则 y1 y 2 y 3 的大小关系是 y 3 y 1 y 2 13 3 分 现有四张分别标有 1 2 2 3 的卡片 它们除数字外完全相同 把卡片背面 向上洗匀 从中随机抽取一张后放回 再背面朝上洗匀 从中随机抽出一张 则两次抽出 的卡片所标数字不同的概率是 解答 解 列表得 1 2 2 3 11 1 1 2 1 2 1 3 22 1 2 2 2 2 2 3 22 1 2 2 2 2 2 3 33 1 3 2 3 2 3 3 14 3 分 如图 在扇形 AOB 中 AOB 90 点 C 为 OA 的中点 CE OA 交 于点 E 以点 O 为圆心 OC 的长为半径作 交 OB 于点 D 若 OA 2 则阴影部分的面积为 第 11 页 共 24 页 分析 连接 OE AE 根据点 C 为 OC 的中点可得 CEO 30 继而可得 AEO 为等边三角 形 求出扇形 AOE 的面积 最后用扇形 ABO 的面积减去扇形 CDO 的面积 再减去 S 空白 AEC 即可求出阴影部分的面积 解答 解 连接 OE AE 点 C 为 OC 的中点 CEO 30 EOC 60 AEO 为等边三角形 S 扇形 AOE S 阴影 S 扇形 ABO S 扇形 CDO S 扇形 AOE S COE 1 故答案为 点评 本题考查了扇形的面积计算 解答本题的关键是掌握扇形的面积公式 S 15 3 分 如图 正方形 ABCD 的边长是 16 点 E 在边 AB 上 AE 3 点 F 是边 BC 上不与点 B C 重合的一个动点 把 EBF 沿 EF 折叠 点 B 落在 B 处 若 CDB 恰为等 腰三角形 则 DB 的长为 16 或 4 第 12 页 共 24 页 考点 翻折变换 折叠问题 菁优网版权所有 专题 分类讨论 分析 根据翻折的性质 可得 B E 的长 根据勾股定理 可得 CE 的长 根据等腰三角形的 判定 可得答案 解答 解 i 当 B D B C 时 过 B 点作 GH AD 则 B GE 90 当 B C B D 时 AG DH DC 8 由 AE 3 AB 16 得 BE 13 由翻折的性质 得 B E BE 13 EG AG AE 8 3 5 B G 12 B H GH B G 16 12 4 DB 4 ii 当 DB CD 时 则 DB 16 易知点 F 在 BC 上且不与点 C B 重合 iii 当 CB CD 时 EB EB CB CB 点 E C 在 BB 的垂直平分线上 EC 垂直平分 BB 由折叠可知点 F 与点 C 重合 不符合题意 舍去 综上所述 DB 的长为 16 或 4 故答案为 16 或 4 第 13 页 共 24 页 点评 本题考查了翻折变换 利用了翻折的性质 勾股定理 等腰三角形的判定 三 解答题 共 8 小题 满分 75 分 16 8 分 先化简 再求值 其中 a 1 b 1 考点 分式的化简求值 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算 同时利用除法法则变形 约分得到最简结果 把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 解答 解 原式 当 a 1 b 1 时 原式 2 点评 此题考查了分式的化简求值 熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 9 分 如图 AB 是半圆 O 的直径 点 P 是半圆上不与点 A B 重合的一个动点 延长 BP 到点 C 使 PC PB D 是 AC 的中点 连接 PD PO 1 求证 CDP POB 2 填空 若 AB 4 则四边形 AOPD 的最大面积为 4 连接 OD 当 PBA 的度数为 60 时 四边形 BPDO 是菱形 第 14 页 共 24 页 考点 菱形的判定 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 根据中位线的性质得到 DP AB DP AB 由 SAS 可证 CDP POB 2 当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积 依此即可求解 根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形 可得四边形 BPDO 是平行 四边形 再根据邻边相等的平行四边形是菱形 以及等边三角形的判定和性质即可 求解 解答 1 证明 PC PB D 是 AC 的中点 DP AB DP AB CPD PBO BO AB DP BO 在 CDP 与 POB 中 CDP POB SAS 2 解 当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积 4 2 4 2 2 2 4 如图 DP AB DP BO 四边形 BPDO 是平行四边形 四边形 BPDO 是菱形 PB BO PO BO PB BO PO PBO 是等边三角形 PBA 的度数为 60 故答案为 4 60 点评 考查了菱形的判定 全等三角形的判定与性质 中位线的性质 解题的关键是 SAS 证明 CDP POB 第 15 页 共 24 页 18 9 分 为了了解市民 获取新闻的最主要途径 某市记者开展了一次抽样调查 根据 调查结果绘制了如下尚不完整的统计图 根据以上信息解答下列问题 1 这次接受调查的市民总人数是 1000 2 扇形统计图中 电视 所对应的圆心角的度数是 54 3 请补全条形统计图 4 若该市约有 80 万人 请你估计其中将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数 考点 条形统计图 用样本估计总体 扇形统计图 菁优网版权所有 分析 1 根据 电脑上网 的人数和所占的百分比求出总人数 2 用 电视 所占的百分比乘以 360 即可得出答案 3 用总人数乘以 报纸 所占百分比 求出 报纸 的人数 从而补全统计图 4 用全市的总人数乘以 电脑和手机上网 所占的百分比 即可得出答案 解答 解 1 这次接受调查的市民总人数是 260 26 1000 2 扇形统计图中 电视 所对应的圆心角的度数为 1 40 26 9 10 360 54 3 报纸 的人数为 1000 10 100 补全图形如图所示 第 16 页 共 24 页 4 估计将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数为 80 26 40 80 66 52 8 万人 点评 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用 读懂统计图 从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 也考查了用样本估计总体 19 9 分 已知关于 x 的一元二次方程 x 3 x 2 m 1 求证 对于任意实数 m 方程总有两个不相等的实数根 2 若方程的一个根是 1 求 m 的值及方程的另一个根 考点 根的判别式 一元二次方程的解 根与系数的关系 菁优网版权所有 分析 1 要证明方程有两个不相等的实数根 即证明 0 即可 2 将 x 1 代入方程 x 3 x 2 m 求出 m 的值 进而得出方程的解 解答 1 证明 x 3 x 2 m x2 5x 6 m 0 5 2 4 6 m 1 4 m 而 m 0 0 方程总有两个不相等的实数根 2 解 方程的一个根是 1 m 2 解得 m 2 原方程为 x 2 5x 4 0 第 17 页 共 24 页 解得 x 1 1 x 2 4 即 m 的值为 2 方程的另一个根是 4 点评 此题考查了根的判别式 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根与 b 2 4ac 有如下关 系 1 0 方程有两个不相等的实数根 2 0 方程有两个相等的实数 根 3 0 方程没有实数根 同时考查了一元二次方程的解的定义 20 9 分 如图所示 某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度 他们在斜坡 上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30 朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处 在 A 处测得 大树顶端 B 的仰角是 48 若坡角 FAE 30 求大树的高度 结果保留整数 参考数据 sin48 0 74 cos48 0 67 tan48 1 11 1 73 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 分析 根据矩形性质得出 DG CH CG DH 再利用锐角三角函数的性质求出问题即可 解答 解 如图 过点 D 作 DG BC 于 GDH CE 于 H 则四边形 DHCG 为矩形 故 DG CH CG DH 在直角三角形 AHD 中 DAH 30 AD 6 DH 3 AH 3 CG 3 设 BC 为 x 在直角三角形 ABC 中 AC DG 3 BG x 3 在直角三角形 BDG 中 BG DG tan30 x 3 3 解得 x 13 大树的高度为 13 米 第 18 页 共 24 页 点评 本题考查了仰角 坡角的定义 解直角三角形的应用 能借助仰角构造直角三角形 并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键 21 10 分 某旅游馆普通票价 20 元 张 暑假为了促销 新推出两种优惠卡 金卡售价 600 元 张 每次凭卡不再收费 银卡售价 150 元 张 每次凭卡另收 10 元 暑假普通票正常出售 两种优惠卡仅限暑假使用 不限次数 设游泳 x 次时 所需总费用 为 y 元 1 分别写出选择银卡 普通票消费时 y 与 x 之间的函数关系式 2 在同一坐标系中 若三种消费方式对应的函数图象如图所示 请求出点 A B C 的 坐标 3 请根据函数图象 直接写出选择哪种消费方式更合算 考点 一次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 根据银卡售价 150 元 张 每次凭卡另收 10 元 以及旅游馆普通票价 20 元 张 设游泳 x 次时 分别得出所需总费用为 y 元与 x 的关系式即可 2 利用函数交点坐标求法分别得出即可 3 利用 2 的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案 解答 解 1 由题意可得 银卡消费 y 10 x 150 普通消费 y 20 x 2 由题意可得 当 10 x 150 20 x 解得 x 15 则 y 300 故 B 15 300 当 y 10 x 150 x 0 时 y 150 故 A 0 150 当 y 10 x 150 600 解得 x 45 则 y 600 故 C 45 600 第 19 页 共 24 页 3 如图所示 由 A B C 的坐标可得 当 0 x 15 时 普通消费更划算 当 x 15 时 银卡 普通票的总费用相同 均比金卡合算 当 15 x 45 时 银卡消费更划算 当 x 45 时 金卡 银卡的总费用相同 均比普通片合算 当 x 45 时 金卡消费更划算 点评 此题主要考查了一次函数的应用 根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题 关键 22 10 分 如图 1 在 Rt ABC 中 B 90 BC 2AB 8 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 连接 DE 将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 当 180 时 2 拓展探究 试判断 当 0 360 时 的大小有无变化 请仅就图 2 的情形给出证明 3 问题解决 当 EDC 旋转至 A D E 三点共线时 直接写出线段 BD 的长 考点 几何变换综合题 菁优网版权所有 分析 1 当 0 时 在 Rt ABC 中 由勾股定理 求出 AC 的值是多少 然后根据 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 分别求出 AE BD 的大小 即可求出 的值是 多少 180 时 可得 AB DE 然后根据 求出 的值是多少即可 2 首先判断出 ECA DCB 再根据 判断出 ECA DCB 即可 求出 的值是多少 进而判断出 的大小没有变化即可 3 根据题意 分两种情况 点 A D E 所在的直线和 BC 平行时 点 A D E 所在的直线和 BC 相交时 然后分类讨论 求出线段 BD 的长各是多少即 可 解答 解 1 当 0 时 Rt ABC 中 B 90 第 20 页 共 24 页 AC 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 如图 1 当 180 时 可得 AB DE 故答案为 2 如图 2 当 0 360 时 的大小没有变化 ECD ACB ECA DCB 又 ECA DCB 3 如图 3 第 21 页 共 24 页 AC 4 CD 4 CD AD AD AD BC AB DC B 90 四边形 ABCD 是矩形 如图 4 连接 BD 过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q 过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P AC 4 CD 4 CD AD AD 在 ABC 和 CDA 中 BP DQ BP DQ PQ DQ 四边形 BDQP 为矩形 BD PQ AC AP CQ 综上所述 BD 的长为 4 或 点评 1 此题主要考查了几何变换综合题 考查了分析推理能力 考查了分类讨论思想 的应用 考查了数形结合思想的应用 要熟练掌握 2 此题还考查了相似三角形 全等三角形的判定和性质的应用 要熟练掌握 3 此题还考查了线段长度的求法 以及矩形的判定和性质的应用 要熟练掌握 23 11 分 如图 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物 线经过点 A 点 P 是抛物线上点 A C 间的一个动点 含端点 过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 连接 PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 第 22 页 共 24 页 2 小明探究点 P 的位置发现 当 P 与点 A 会点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定值 进而 猜想 对于任意一点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在 多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长最小时 好点 的坐标 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 分析 1 利用待定系数法求出抛物线解析式即可 2 首先表示出 P F 点坐标 再利用两点之间距离公式得出 PD PF 的长 进而 求出即可 3 根据题意当 P E F 三点共线时 PE PF 最小 进而得出 P 点坐标以及利用 PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数 在面积为 12 时 a 的值有两个 进而得出 答案 解答 解 1 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物线经 过点 A C 0 8 A 8 0 设抛物线解析式为 y ax 2 c 则 解得 故抛物线的解析式为 y x2 8 2 正确 理由 设 P a a2 8 则 F a 8 D 0 6 PD a2 2 PF 8 a2 8 a2 第 23 页 共 24 页 PD PF 2 3 在点 P 运动时 DE 大小不变 则 PE 与 PD 的和最小时 PDE 的周长最小 PD PF 2 PD PF 2 PE PD PE PF 2 当 P E F 三点共线时 PE PF 最小 此时点 P E 的横坐标都为 4 将 x 4 代入 y x2 8 得 y 6 P 4 6 此时 PDE 的周长最小 且 PDE 的面积为 12 点 P 恰为 好点 PDE 的周长最小时 好点 的坐标为 4 6 由 2 得 P a a2 8 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 设直线 DE 的解析式为 y kx b 则 解得 lDE y x 6 则 PE a2 8 a 6 S PDE 4 a2 8 a 6 a2 3a 4 a 6 2 13 8 a 0 4 S PDE 13 PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数 在面积为 12 时 a 的值有两个 所以面积为整数时好点有 11 个 经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内 所以 好点共 11 个 综上所述 11 个好点 P 4 6 第 24 页 共 24 页 点评 此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识 利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键