2016年中考数学试卷分类汇编解析：圆与相似综合题

优课一对一初三数学中考冲刺班考点梳理解析真题2016年全国中考数学试题分类汇编圆与相似综合题1. （2016四川达州）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是O的切线，切点为C. 过点B作BDPC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证：（1）PBC =CBD; （2）BC2=ABBD 2（2016湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C（1）求证：ACD=B；（2）如图2，BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；求tanCFE的值；若AC=3，BC=4，求CE的长3. （2016四川达州8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作ODAC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆O的直径为10，求AF的长4（2016呼和浩特）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长 2016年全国中考数学试题分类汇编圆与相似综合题1. （满分8分）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是O的切线，切点为C. 过点B作BDPC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证： （1）PBC =CBD; （2）BC2=ABBD D C P A O B（第19题）【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出OCD=90，从而证明OCBD，得到CBD=OCB，再根据半径相等得出OCB=PBC，等量代换得到PBC =CBD.（2）连接AC. 要得到BC2=ABBD，需证明ABCCBD，故从证明ACB=BDC，PBC=CBD入手.【解答】证明：（1）连接OC， PC是O的切线， OCD=90. 1分 又BDPCBDP=90OCBD.CBD=OCB.OB=OC .OCB=PBC.PBC=CBD. .4分D C P A O B（2）连接AC. AB是直径，BDP=90.又BDC=90，ACB=BDC.PBC=CBD,ABCCBD. 6分=.BC2=ABBD. .8分D C P A O B2（2016湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C（1）求证：ACD=B；（2）如图2，BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；求tanCFE的值；若AC=3，BC=4，求CE的长【考点】切线的性质【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明（2）只要证明CEF=CFE即可由DCADBC，得=，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DADB，得9k2=（4k5）4k，由此求出DC，DB，再由DCEDBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，连接OCOA=OC，1=2，CD是O切线，OCCD，DCO=90，3+2=90，AB是直径，1+B=90，3=B（2）解：CEF=ECD+CDE，CFE=B+FDB，CDE=FDB，ECD=B，CEF=CFE，ECF=90，CEF=CFE=45，tanCFE=tan45=1在RTABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CDA=BDC，DCA=B，DCADBC，=，设DC=3k，DB=4k，CD2=DADB，9k2=（4k5）4k，k=，CD=，DB=，CDE=BDF，DCE=B，DCEDBF，=，设EC=CF=x，=，x=CE=【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型3. （2016四川达州8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作ODAC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆O的直径为10，sinBAC=，求AF的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】（1）只要证明EADABC即可解决问题（2）作DMAB于M，利用DMAE，得=，求出DM、BM即可解决问题【解答】（1）证明：AB为半圆O的直径，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）解：作DMAB于M，半圆O的直径为10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=4（2016呼和浩特）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出FBC=CAD，再由角平分线和对顶角相等得出FAB=CAD，由圆周角定理得出FAB=FCB，即可得出结论；（2）由（1）得：FBC=FCB，由圆周角定理得出FAB=FBC，由公共角BFA=BFD，证出AFBBFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出BFA=BCA=90，由三角函数求出FBA=30，再由三角函数求出CD的长即可【解答】（1）证明：四边形AFBC内接于圆，FBC+FAC=180，CAD+FAC=180，FBC=CAD，AD是ABC的外角EAC的平分线，EAD=CAD，EAD=FAB，FAB=CAD，又FAB=FCB，FBC=FCB；（2）解：由（1）得：FBC=FCB，又FCB=FAB，FAB=FBC，BFA=BFD，AFBBFD，BF2=FAFD=12，BF=2，FA=2，FD=6，AD=4，AB为圆的直径，BFA=BCA=90，tanFBA=，FBA=30，又FDB=FBA=30， CD=ADcos30=4=2 11