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立体几何练习1. 如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求证：平面平面；ABABCCDMODO（）求三棱锥的体积.PABCDQM3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA/平面BMQ4. 已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；（II）求证：平面. 6. ABCDFE如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.7. 如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF/平面PCD； （2）平面BEF平面PAD.8.如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值9. 如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（1）证明：平面平面；（2）设BD=1，求三棱锥D的表面积。参考答案：1. 证明: (I) 因为为中点，所以 又，所以有所以为平行四边形,所以 又平面平面所以平面 . (II)连接.因为所以为平行四边形， 又,所以为菱形，所以 ， 因为正三角形,为中点，所以 ， 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 而平面，所以 ，又，所以平面. 又平面，所以 . 2. （）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 因为平面,平面，所以平面. （）证明：由题意，,因为,所以，. ABCMOD又因为菱形，所以. 因为,所以平面， 因为平面，所以平面平面. （）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 由（）知，平面，所以为三棱锥的高. 的面积为， 所求体积等于. 3. 证明：（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形， CD / BQ PABCDQMN ADC=90 AQB=90 即QBAD PA=PD，Q为AD的中点， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ （）当时，PA/平面BMQ连接AC，交BQ于N，连接MNBCDQ，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，点M是线段PC的中点， MN / PA MN平面BMQ，PA平面BMQ， PA / 平面BMQ 4. （）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为平面 平面 所以平面（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面 因为平面 所以平面平面 5. （）由已知可得， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面； 又 分别是的中点， ， 平面，平面，平面； 平面，平面， 平面平面 . () 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点， 是正三角形， 而， 面 ，面 ，面 ， 故 . 四边形是菱形， 而，故 , 由面，面，得 面 . 6. ()证明：因为平面平面，所以平面， 所以. 因为是正方形，所以，所以平面. ()证明：设，取中点，连结，所以，. 因为，所以， 从而四边形是平行四边形，. 因为平面,平面, 所以平面，即平面. （）解：因为平面平面，,所以平面. 因为,，所以的面积为， 所以四面体的体积. 7. 解：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，又直线EF/平面PCD（2）连接BD为正三角形 F是AD的中点，又平面PAD平面ABCD，所以，平面BEF平面PAD.8. 解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD所以PQ平面DCQ. （II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积由（I）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ=，DCQ的面积为，所以棱锥PDCQ的体积为故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为19. （1）折起前是边上的高，当折起后，AD，AD，又DB，平面，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（2）由（1）知，DA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=, 三棱锥D的表面积是10
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