初中数学竞赛试题汇编

井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 1 页 共 82 页 2012 年全国初中数学竞赛预赛试题 江西省吉安市 一 选择题 每题 7 分 共 42 分 1 化简 的结果是 3819423127 A 2 B 2 C D 2 一次考试共有 5 道题 考后统计如下 有 81 的同学做对第 1 题 91 的同学做对第 2 题 85 的同学做对第 3 题 79 的同学做对第 4 题 74 的同学做对第 5 题 如果做对 3 题以上的 含 3 题 题目的同学考试合格 那么这次考试合格率的同学至少 A 70 B 79 C 74 D 81 3 如图 在 ABC 中 则 AN NL LE 等于 31 1AFED A 2 1 1 B 3 2 1 C 3 3 1 D 2 3 1 4 满足方程 的所有非负整数解的组数有xyyx A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 正方形 ABCD 的边长为 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 分别交152 DE DB 于 M N 则 DMN 的面积为 A 8 B 9 C 10 D 11 6 使分式 的值为整数的实数 x 的值的个数是 342 x A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 每题 7 分 共 28 分 7 边长为整数 且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 8 边长为 9cm 40cm 41cm 的三角形的重心到外心的距离是 9 已知二次函数 一次函数 若它们的图像对于问题任cbxay 2 4 1 2kxy 意的数 k 都只有一个公共点 则二次函数的解析式为 10 代数式 的最小值是 49 8 922 x 三 解答题 共三大题 70 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 2 页 共 82 页 11 已知关于 x 的方程 的根是整数 求满足条件024 810 4 22 xkxk 的所有实数 k 的值 20 分 12 如图 在矩形 ABCD 中 点 P 在 AB 上 且 ACP 是等腰三角形 O 是 AC 的中点 OE AB 于有 点 Q 是 OE 的中点 求证 PQ CE 25 分 13 已知二次函数 图像与轴交于 x1 x2 4 3 2 mxy 点点 0 21xBA 与 y 轴交于点 C 若 CAB 与 CBA 是锐角 1 求 m 的值 2 是否可能出现 CAB CBA 若可能 求出 m 的值 若不可能 比较 CAB 与 CBA 的大小 3 当 CAB 与 CBA 互余时 ABC 的面积是多少 25 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 3 页 共 82 页 2011 年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2011 年 3 月 20 日 9 30 11 30 满分 150 分 一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题 后的括号里 不填 多填或错填都得 0 分 1 设 则代数式 的值为 32x 1 2 3 xx A 0 B 1 C 1 D 2 2 对于任意实数 a b c d 定义有序实数对 a b 与 c d 之间的运算 为 a b c d ac bd ad bc 如果对于任意实数 u v 都有 u v x y u v 那么 x y 为 A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 0 1 3 已知 A B 是两个锐角 且满足 则225sincos4ABt 2223cosin4ABt 实数 t 所有可能值的和为 A B C 1 D 8 53 13 4 如图 点 D E 分别在 ABC 的边 AB AC 上 BE CD 相交于点 F 设 则 与 的大小1EAFS四 边 形 2BFS 3BFS 4EF 13S24关系为 A B 3241324 C D 不能确定1 5 设 则 4S 的整数部分等于 333 2201S A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 两条直角边长分别是整数 a b 其中 by z B x y z C x y z D x y z 6 将 1 2 3 4 5 6 7 8 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上 使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数 如果圆周旋转后能重合 的算作相同填法 那么不同的填法有 A 4 种 B 8 种 C 12 种 D 16 种 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 8 页 共 82 页 二 填空题 每小题 7 分 共 28 分 1 若 k 个连续正整数之和为 2010 则 k 的最大值是 2 单位正三角形中 将其内切圆及三个角切圆 与角两边及三角形内切圆都相切的圆 的内部挖去 则三角形剩下部分的面积为 3 圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为 AB 2 BC 7 CD 6 DA 9 则四边形的面积为 4 在 1 2 3 5 20 中 适当选择 号 可以得到不同代数 和的个数是 第 二 试 一 20 分 边长为整数的直角三角形 若其两直角边长 a b 是方程 0 的两根 求 k 的值并确定直角三角形三边之长 kx4 2 2 二 25 分 如图 自 ABC 内的任一点 P 作三角形三条边的垂线 PD BC PE CA PF AB 若 BD BF CD CE 证明 AE AF 三 25 分 已知 a b c 为正整数 且 为有理数 证明 为整cba 3cba 22 数 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 9 页 共 82 页 PD O y x C A B 第 9 题图 数学周报 杯 2010 年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 1 若 则 的值为 10 2 cbacba A B C D 2210120 2 若实数 a b 满足 则 a 的取值范围是 2 ba A a B a 4 C a 或 a 4 D a 4 3 如图 在四边形 ABCD 中 B 135 C 120 AB BC CD 则 AD 边的长为 24 A B 664 C D 2 4 在一列数 中 已知 且当 k 2 时 321x1 x 取整符号 a 表示不超过 4 1 kxk 实数 的最大整数 例如 2 6 2 0 2 0 则 等于 201x A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 等腰梯形 ABCD 的顶点 坐标分别为 A 1 1 B 2 1 C 2 1 D 1 1 y 轴上一点 P 0 2 绕点 A 旋转 180 得点 P1 点 P1绕点 B 旋转 180 得点 P2 点 P2绕点 C 旋转 180 得点 P3 点 P3绕点 D 旋转 180 得点 P4 重复操作依次得到点 P1 P2 则点 P2010的坐标是 A D C B 第 3 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 10 页 共 82 页 A 2010 2 B 2010 C 2012 D 0 2 二 填空题 6 已知 a 则 2a3 7 a2 2 a 12 的值等于 15 7 一辆客车 一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一 方向匀速行驶 在某一时刻 客车在前 小轿车在后 货车在客车与 小轿车的正中间 过了 10 分钟 小轿车追上了货车 又过了 5 分钟 小轿车追上了客车 再过 t 分钟 货车追上了客车 则 t 8 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O 0 0 A 0 6 B 4 6 C 4 4 D 6 4 E 6 0 若直线 l 经过点 M 2 3 且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分 则直线 l 的函数表达式是 9 如图 射线 AM BN 都垂直于线段 AB 点 E 为 AM 上一点 过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE BN 于点 F C 过点 C 作 AM 的垂线 CD 垂足为 D 若 CD CF 则 AE 10 对于 i 2 3 k 正整数 n 除以 i 所得的余数为 i 1 若 的最小值 满足 则正整数 的最0n302 小值为 三 解答题 共 4 题 每题 20 分 共 80 分 11 如图 ABC 为等腰三角形 AP 是底边 BC 上的高 点 D 是线段 PC 上的一点 BE 和 CF 分别是 ABD 和 ACD 的外接圆直径 连接 EF 求证 BCEFPA tan 第 12A 题 12 如图 抛物线 a 0 与双曲bxy 2 线 相交于点 A B 已知点 A 的坐标为 1 4 点 B 在第三象限内 且 AOB 的面xky 积为 3 O 为坐标原点 1 求实数 a b k 的值 2 过抛物线上点 A 作直线 AC x 轴 交抛物线于另 一点 C 求所有满足 EOC AOB 的点 E 的坐标 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 11 页 共 82 页 13 求满足 的所有素数 p 和正整数 m mp282 2009 年全国初中数学江西赛区预赛试题 2009 年 3 月 22 日上午 9 30 11 30 一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 满分 35 分 1 已知非零实数 a b 满足 2a 4 b 2 4 2a 则 a b 等于 a 3 b2 A 1 B 0 C 1 D 2 2 如图所示 菱形 ABCD 边长为 a 点 O 在对角线 AC 上一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B 1 C D 5 251 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两 次 记第一次掷出的点数为 a 第二次掷出的点数为 b 则关于 x y 的方程组 只有正数解的概率为 2yxba A B C D 112 29 518 1336 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB CD B 90 动点 P 从点 B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的面 积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数图象如图 2 所示 则 ABC 的面积为 A 10 B 16 C 18 D 32 5 关于 x y 的方程 的整数解 x y 的组数为 92 y A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 一自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000km 后报废 若把它安装在 后轮 则自行车行驶 3000km 后报废 行驶一定路程后可以交换前 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 12 页 共 82 页 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行车的一对新轮胎同时 报废 那么这辆自行车将能行驶 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 C 为圆心 AB 长为半径作 圆 在线段 AB 的延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长位半径作圆 与 A 分别相交于点 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则 的值为 AHAB 8 已知 满足条件 的五个不同的整数 若54321 a954321 aa b 是关于 x 的方程 的20 321 xx 整数根 则 b 的值为 9 如图所示 在 ABC 中 CD 是高 CE 为 ACB 的平分线 若 AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长等于 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里都 想好一个数 并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人 然后每个 人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来 若抱出来的数如图所示 则报 3 的人心 里想的数是 三 解答题 共 4 小题 每题 20 分 共 80 分 11 函数 的图像与 x 轴的两个交点是否都在直线 x 1 的右侧 22 1 kxxy 若是 请说明理由 若不一定是 请求出两个交点都在直线 x 1 的右侧时 k 的取值范围 12 在平面直角坐标系 xoy 中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完成平方数的点称为 好点 求二次函数 的图像上的所有 好点 的坐标 4907 2 xy 13 如图 给定锐角 ABC BC CA AD BE 是它的两条高 过点 C 作 ABC 的 外接圆的切线 l 过电 D E 分别作 l 的垂线 垂足分别为 F G 试比较线段 DF 和 EG 的 大小 并证明你的结论 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 13 页 共 82 页 14 n 个正整数 满足如下条件 na 21 且 中任意 n 1 个不同的数的算术平09132 a na 21 均数都是正整数 求 n 的最大值 2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题 第一试 一 选择题 每小题 7 分 共 42 分 1 化简 的值是 2413243 A B C D 367 2 a b c 是互不相同的实数 则代数式 经化简后得到 22 bcaxcbaxcabx A B C D 2222 3 设实数 a b c x y x 则下列四数中 值最小的一个数是 A ax by cz B cx by az C bx ay cz D ax cy bz 4 若 ABC 的三条边长 AB 3 AC 4 BC 5 分别以 A B C 为圆心作 A B C 使得这两个圆两两相切 则 A B C 面积之比是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 1 4 9 D 9 16 25 5 数组 a b c d a b c d 由不大于 20 的四个质数组成 且满足 a d b c 这种四元组 的个数是 A 6 B 8 C 12 D 16 6 若一元二次方程 的两根为整数 且两根的平方和为 2009 则这种02 bax 方程有 A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 8 个 二 填空题 每小题 7 分 共 28 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 14 页 共 82 页 7 从前 20 个正整数 1 2 20 中选择 5 个不同的数填写在一个圆周上 使得圆 周上每相邻两数之和都是平方数 你的填法是 如果写成一行 首尾 的数看成相邻 8 若 f x 323232 11 xxx 则 f 1 f 3 f 5 f 2009 9 若 AD BE 为 ABC 的两条角平分线 I 为内心 若 C D I E 四点共圆 且 DE 1 则 ID 10 设 k 为自然数 令 132 ka 921aA 则 921B BA 第二试 三 解答题 本题三大题 共 70 分 11 20 分 若关于 x 的方程 的各根为整数 求 a06821 146 281 634 axax 的值 并解此方程 12 25 分 如图 ABC 中 AB AC D 是 BC 上的任意一点 E F 分别是 边 AC AB 上的点 且 DE AB DF AC 作点 D 关于 EF 的对称点 F 证明 PD 平分 BPC 且 PBC AEF 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 15 页 共 82 页 13 25 分 将前 300 个正整数 1 2 3 4 300 顺次在黑板上排成一行 然后划去两数 1 2 而将这两数的和写在最后面 成为 3 4 5 6 300 3 接着 再划去前两数 3 4 而将这两数的和写在最后面 成为 5 6 7 8 300 3 7 象这样一直进行下去 直到黑板剩下一个数为止 试求 黑板上出现过所以数之和 包括每次划去的数在内 2009 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 设 则 71a 3261a A 24 B 25 C D 404712 2 在 ABC 中 最大角 A 是最小角 C 的两倍 且 AB 7 AC 8 则 BC A B C D 710153 3 用 表示不大于 的最大整数 则方程 的解的个数为 xx2 0 x A 1 B 2 C 3 D 4 4 设正方形 ABCD 的中心为点 O 在以五个点 A B C D O 为顶点所构成的所有三 角形中任意取出两个 它们的面积相等的概率为 B A B C D 31371247 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 2 以 BC 为直径在矩形 内作半圆 自点 A 作半圆的切线 AE 则 CBE sin A B C D 6331310 6 设 是大于 1909 的正整数 使得 为完全平方数的 的个数是 n920n n DA B C E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 16 页 共 82 页 A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 已知 是实数 若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根 t abx210 xt 则 的最小值是 2 ab 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点 作 DE BC 交 AC 于点 E 作 DF AC 交 BC 于点 F 已知 ADE DBF 的面积分别为 和 则四边形 DECF 的面积为 mn 3 如果实数 满足条件 则 ab21b 2 2 1aba ab 4 已知 是正整数 且满足 是整数 则这样的有序数对 共有 5 ab b 对 第二试 一 本题满分 20 分 已知二次函数 的图象与 轴的交点分2 0 yxbc x 别为 A B 与 轴的交点为 C 设 ABC 的外接圆的圆心为点 P y 1 证明 P 与 轴的另一个交点为定点 2 如果 AB 恰好为 P 的直径且 求 和 的值 2ABCS c 二 本题满分 25 分 设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高 分别是 1I2 ADC BDC 的内心 AC 3 BC 4 求 1I2 I 1 E D A I2 C F B 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 17 页 共 82 页 三 本题满分 25 分 已知 为正数 满足如下两个条件 abc 32abc 14 是否存在以 为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 2008 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 设 且 则代数式 的值为 23a 21bab 21ab 5 7 9 11 A B C D 2 如图 设 为三角形 的三条高 若 DEFAB6AB 5C 则线段 的长为 3EF 4 185 215 245 3 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中任意取出两张 把第一张卡片上的数字作为十位数字 第二张卡片上的数字作为 个位数字 组成一个两位数 则所组成的数是 3 的倍数的概率是 A15 B0 C2 D12 4 在 中 和C1A B M 分别是这两个角的外角平分线 且点 分别在直线 和直线 上 则 N NACB ABM 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 18 页 共 82 页 和 的大小关系不确定 CBMN DBMCN 5 现有价格相同的 5 种不同商品 从今天开始每天分别降价 10 或 20 若干天后 这 5 种商品的价格互不相同 设最高价格和最低价格的比值为 则 的最小值为 r A398 B498 598 D98 6 已知实数 满足 则 xy2200 xy 的值为 07323 x 2008 1 A8 B C1 D 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 设 则 512a 5432aa 2 如图 正方形 的边长为 1 为 所在直线上的两点 且 ABCD MNBD5AM 则四边形 的面积为 35MAN 3 已知二次函数 的图象与 轴的两个交2yxab x 点的横坐标分别为 且 设满足上述要求的mn1 b 的最大值和最小值分别为 则 pq 4 依次将正整数 1 2 3 的平方数排成一串 149162536496481100121144 排 在第 1 个位置的数字是 1 排在第 5 个位置的数字是 6 排在第 10 个位置的数字是 4 排 在第 2008 个位置的数字是 第二试 一 本题满分 20 分 1 已知 对于满足条件 的一切实数 不21ab 01x x 等式 1 恒成立 当乘积 取最小值时 求 的 1 0axabx ab ab 值 二 本题满分 25 分 如图 圆 与圆 相交于 两点 为圆 的切线 OD ABCD 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 19 页 共 82 页 点 在圆 上 且 COABC 1 证明 点 在圆 的圆周上 D 2 设 的面积为 求圆 的的半径 的最小值 Sr 三 本题满分 25 分 1 设 为质数 为正整数 且ab 求 的值 29 509 4 abb 2008 年全国初中 数学周报 杯数学竞赛试题 一 选择题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 1 已知实数 满足 则 的值为 xy 42423yx 4yx A 7 B C D 51 713 2 把一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷 2 次 若两个正面朝上的编号分别为 m n 则二次函数 的图象与 x2yxmn 轴有两个不同交点的概率是 A B C D 514917362 3 有两个同心圆 大圆周上有 4 个不同的点 小圆周上 有 2 个不同的点 则这 6 个点可以确定的不同直线最少有 A 6 条 B 8 条 C 10 条 D 12 条 4 已知 是半径为 1 的圆 的一条弦 且 O1ABa 以 为一边在圆 内作正 点 为圆 上不同于点AB A 的一点 且 的延长线交圆 于点 则 的长为 Da E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 20 页 共 82 页 4 题 第 8 题 A B 1 C D a52a32 5 将 1 2 3 4 5 这五个数字排成一排 最后一个数是 奇数 且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一 个数整除 那么满足要求的排法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 二 填空题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 6 对于实数 u v 定义一种运算 为 若关于 x 的方程uv 有两个不同的实数根 则满足条件的实数 a 的取值范围是 1 4xa 7 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一 辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交 车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车 总站每 隔固定时间发一辆车 那么发车间隔的时间是 分钟 8 如图 在 中 AB 7 AC 11 点 M 是 BC 的中点 AD 是 BAC 的ABC 平分线 MF AD 则 FC 的长为 9 ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过 ABC 的内切圆圆心 I 作 DE BC 分别与 AB AC 相交于点 D E 则 DE 的长为 10 关于 x y 的方程 的所有正整数解为 20 xyxy 三 解答题 共 4 题 每题 15 分 满分 60 分 11 在直角坐标系 xOy 中 一次函数 的图象与 轴 轴的正半bk 0 xy 轴分别交于 A B 两点 且使得 OAB 的面积值等于 3OAB 1 用 b 表示 k 2 求 OAB 面积的最小值 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 21 页 共 82 页 12 是否存在质数 p q 使得关于 x 的一元二次方程 有有理数根 20pxq 13 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角 2 倍 的 ABC 证明你的结论 14 从 1 2 9 中任取 n 个数 其中一定可以找到若干个数 至少一个 也可以 是全部 它们的和能被 10 整除 求 n 的最小值 2008 年全国初中数学联赛决赛试题 江西卷 2008 年 4 月 日 上午 00 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 本题共有 6 小题 每题均给出了代号为 的四个答案 其中有且仅有一个是DCBA 正确的 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选 出的代号字母超过一个 不论是否写在括号内 一律得 0 分 1 从分数组 中删去两个分数 使剩下的数之和为 1 则删去 11 246802 两个数是 A B C D 48与 与 与 182与 2 化简 的结果是 351 A B C D 438157 第 5 题图 3 的末尾三位数字是 5 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 22 页 共 82 页 A 125 B 375 C 625 D 875 4 若实数 满足方程组 则有 xyz1 2 23 2xyzxz A x 2y 3z 0 B 7x 5y 2z 0 C 9x 6y 3z 0 D 10 x 7y z 0 5 将正三角形每条边四等份 然后过这些分点作平行于其它两边的直线 则以图中线 段为边的菱形个数为 A 15 B 18 C 21 D 24 6 某人将 2008 看成了一个填数游戏式 2 8 于是他在每个框中各填写了一个两 位数 结果所得到的六位数 恰是一个完全立方数 则 abcd与 28abcdabcd A B C D 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 7 设 2222 1 4 9 41xyxyx 则 8 一本书共有 61 页 顺次编号为 1 2 61 某人在将这些数相加时 有两个两 位数页码都错把个位数与十位数弄反了 即 形如 的两位数被当成了两位数 结果abba 得到的总和是 2008 那么 书上这两个两位数页码之和的最大值是 9 如图 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 由两条含 圆心角的弓012 形弧 及边 BC 所围成的 火炬形 阴影部分的面积是 10 不超过 的最大整数是 6 53 三 解答题 共 70 分 11 本题满分 20 分 设 a 为整数 使得关于 x 的方程 a a 5 x a 7 0 至少有一2 个有理根 试求方程所有可能的有理根 12 本题满分 25 分 如图 四边形中 ABCD 中 E F 分别是 AB CD 的中点 P 为对 角线 AC 延长线上的任意一点 PF 交 AD 于 M PE 交 BC 于 N EF 交 MN 于 K 求证 K 是线段 MN 的中点 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 23 页 共 82 页 13 本题满分 25 分 120 人参加数学竞赛 试题共有 5 道大题 已知第 1 2 3 4 5 题分别有 96 83 74 66 35 人做对 如果至少做对 3 题便可获奖 问 这次竞赛至少有几人获奖 2007 年江西省初中数学预赛试题 2007 年 3 月 24 日上午 9 00 11 00 第一试 一 选择题 本大题共六小题 每小题 7 分 共 42 分 1 2007 2007 的末位数字是 A 1 B 3 C D 32 32 2 化简 的结果是 2 A B C D 33232 3 若 为正数 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实根 abcx20axbc 则方程 的根的情况是 2 1 10 xc A 没有实根 B 有两个相等的实根 C 有两个不等的实根 D 根的情况不确定 4 若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点 则这种直角三角形的个数为 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 24 页 共 82 页 A 36 B 60 C 96 D 120 5 对于给定的单位正方形 若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出 便得到 右图 则图中互为相似的三角形 对子 数有 A 44 B 552 C 946 D 1892 6 若将三条高线长度分别为 x y z 的三角形记为 x y z 则在以下四个三角形 6 8 10 8 15 17 12 15 20 20 21 29 中 直角三角形的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 7 分 共 28 分 7 满足方程 的所有实数 x 的和为 351xx 8 边长为整数 周长为 20 的三角形个数是 9 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 分别为 A B C D 为 圆心 作半径为 1 的圆弧 将正方形分成图中的九个小块 则中心小块的面积是 10 用数字 1 2 3 4 排成一个四位数 使得这个数是 11 的倍数 则这样的四位数 共有 个 第二试 三 解答题 本大题共 3 小题 共 70 分 第 11 小题 20 分 第 12 13 小题各 25 分 11 试求所有的正整数 使得关于 的一元二次方程ax 的两根皆为整数2 2568 49 0 xax 12 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于 P 过点 P 作直线 交 AD 于 E 交 BC 于 F 若 PE PF 且 AP AE CP CF 证明 四边形 ABCD 为平行四边形 D C BA P D A C B E F 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 25 页 共 82 页 A B C D E 第 4 题图 B A C DFEO x y 第 6 题图 13 若数 能表示成两个自然数 允许相同 的平方和 则称 为 好数 试确定在a a 前 200 个正整数 1 2 200 中 有多少个 好数 2007 年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 1 方程组 的实数解的个数为 12yx A 1 B 2 C 3 D 4 2 口袋中有 20 个球 其中白球 9 个 红球 5 个 黑球 6 个 现从 中任取 10 个球 使得白球不少于 2 个但不多于 8 个 红球不少于 2 个 黑球不多于 3 个 那么上述取法的种数是 A 14 B 16 C 18 D 20 3 已知 是三个互不相等的实数 且三个关于 的一元二次abc x 方程 恰有一个公共实数02 x02 ax02 baxc 根 则 的值为 cb A 0 B 1 C 2 D 3 4 已知 ABC 为锐角三角形 O 经过点 B C 且与边 AB AC 分 别相交于点 D E 若 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 26 页 共 82 页 A B C D O E P 第 7 题图 A B C D E F G Q 第 8 题图 则 O 一定经过 ABC 的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 5 方程 的整数解 x y 的个数是 256323 yxx A 0 B 1 C 3 D 无穷多 二 填空题 共 5 小题 每小题 6 分 満分 30 分 6 如图 点 A C 都在函数 x 0 的图象上 点 B y3 D 点在 x 轴上 且使得 OAB BCD 都是等边三角形 则点 D 的坐标为 7 如图 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 CA 4 点 P 是半圆弧 AC 的中点 连接 BP 线段 BP 把图形 APCB 指半圆和三角形 ABC 组成的图形 分成两部分 则这 两部分面积之差的绝对值是 8 如图 A B C D E F G 则 90n 9 已知点 A B 的坐标分别为 1 0 2 0 若二次函数 的图象3 2 xay 与线段 AB 恰有一个交点 则 的取值范围是 a 10 已知对于任意正整数 都有 n321na 则 11032 aa 三 解答题 共 4 题 每小题 15 分 满分 60 分 11 已知抛物线 和抛物线 相交于点 A B 两43 21 xyC43 2 xyC 点 点 P 在抛物线 上 且位于点 A 和点 B 之间 点 Q 在抛物线 上 也位于点 A 和2 点 B 之间 1 求线段 AB 的长 2 当 PQ 轴时 求 PQ 长度的最大值 y 解 12 已知 a b 都是正整数 试问关于 的方程 是否有两个整x0 212 bax 数解 如果有 请把它们求出来 如果没有 请给出证明 解 A B P Q O x y 第 11 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 27 页 共 82 页 G F E D C B A 第 6 题 13 如图 点 E F 分别在四边形 ABCD 的边 AD BC 的延长线上 且满足 若 CD FE 的延长线相交于点 G DEG 的外接圆与 CFG 的外接圆的另一BCADFE 个交点为点 P 连接 PA PB PC PD 求证 1 2 PAB PDC PCDBA 证明 14 1 是否存在正整数 使得 mn 1 2 n 2 设 3 是给定的正整数 是否存在正整数 使得k m nm 解 2006 年全国初中数学竞赛初赛试题 2006 年 3 月 12 日 上午 9 00 11 00 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 1 要使方程组 的解是一对异号的数 则 a 的取值范围是 2 yxa A a 3 B a C a 3 D a 或 a 3444 2 一块含 30 角的直角三角板 如图 它的斜边 AB 8cm 里面空心 DEF 的各边 与 ABC 的对应边平行 且各对应边的距离都是 1 cm 那么 DEF 的周长是 A 5 cm B 6 cm C cm D cm3 3 3 将长为 15 dm 的木棒截成长度为整数的三段 使它们构成一个三角形的三边 则不 同的截法有 A 5 种 B 6 种 C 7 种 D 8 种 4 作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线 B 再将抛物线 B 向左平移 A B C D E F P G 第 13 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 28 页 共 82 页 第 8 题 2 个单位 向上平移 1 个单位 得到的抛物线 C 的函数解析式是 1 22 xy 则抛物线 A 所对应的函数表达式是 A B 2 3 xy 3 22 xy C D 11 5 书架上有两套同样的教材 每套分上 下两册 在这四册教材中随机抽取两册 恰 好组成一套教材的概率是 A B C D 323216 6 如图 一枚棋子放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处 现顺时针方向移动这枚棋子 10 次 移动规则是 第 k 次依次移动 k 个顶点 如第一次移动 1 个顶点 棋子停在顶点 B 处 第二次移动 2 个顶点 棋子停在顶点 D 处 依这样的规则 在这 10 次移动的过程中 棋子 不可能停到的顶点是 A C E F B C E G C C E D E F 7 一元二次方程 中 若 a b 都是偶数 c 是奇数 则这个方程 0 2 acbxa A 有整数根 B 没有整数根 C 没有有理数根 D 没有实数根 8 如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成 我们称这样的图 案为 L 形 那么在由 4 5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 形图案个数是 A 16 B 32 C 48 D 64 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 9 已知直角三角形的两直角边长分别为 3 cm 和 4 cm 那么以两直角边为直径的两圆 公共弦的长为 cm 10 将一组数据按由小到大 或由大到小 的顺序排列 处于最中间位置的数 当数 据的个数是奇数时 或最中间两个数据的平均数 当数据的个数是偶数时 叫做这组数 据的中位数 现有一组数据共有 100 个数 其中有 15 个数在中位数和平均数之间 如果 这组数据的中位数和平均数都不在这 100 个数中 那么这组数据中小于平均数的数据占这 100 个数据的百分比是 11 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 已知 a b c 则 bsinB csinC 的值等于 1023 23 12 设直线 和直线 k 是正整数 及 x 轴围成的三角形面1 kxyxy 1 积为 则 的值是 kS123206S 13 如图 正方形 ABCD 和正方形 CGEF 的边长分 别是 2 和 3 且点 B C G 在同一直线上 M 是线段 AE 的中点 连结 MF 则 MF 的长为 14 边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为 1 2 的两部分 那么所有这 A EF B C D G M 第 13 题 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 29 页 共 82 页 些等腰三角形中 面积最小的三角形的面积是 三 解答题 共 4 题 分值依次为 12 分 12 分 12 分和 14 分 满分 50 分 15 已知 a b c 都是整数 且 求 的值 24ab 210c abc 16 做服装生意的王老板经营甲 乙两个店铺 每个店铺在同一段时间内都能售出 A B 两种款式的服装合计 30 件 并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装 甲店铺获毛利润 分别为 30 元和 40 元 乙店铺获毛利润分别为 27 元和 36 元 某日 王老板进货 A 款式服装 35 件 B 款式服装 25 件 怎样分配给每个 店铺各 30 件服装 使得在保证乙店铺获毛利润不小于 950 元的前提 下 王老板获取的总毛利润最大 最大的总毛利润是多少 17 如图所示 O 沿着凸 n 边形 A1 A2 A3 An 1An 的外侧 圆和边相切 作无滑动的滚动 一周回到原来的位置 1 当 O 和凸 n 边形的周长相等时 证明 O 自身转动了两圈 2 当 O 的周长是 a 凸 n 边形的周长是 b 时 请写出此时 O 自身转动的圈数 18 已知二次函数 1 2 mxxy 1 随着 m 的变化 该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上 如果是 请求出 该抛物线的函数表达式 如果不是 请说明理由 2 如果直线 经过二次函数 图象的顶点 P 求此时 m1xy 1 2 xxy 的值 2006 年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006 年 4 月 2 日上午 9 30 11 30 满分 120 分 一 选择题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 以下每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后 的括号里 不填 多填或错填均得 0 分 1 在高速公路上 从 3 千米处开始 每隔 4 千米经过一个限速标志牌 并且从 10 千 米处开始 每隔 9 千米经过一个速度监控仪 刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施 那么第二次同时经过这两种设施的千米数是 A 36 B 37 C 55 D 90 2 已知 且 8 则 a 的值21 m n 763 147 22 nam 等于 A 5 B 5 C 9 D 9 3 Rt ABC 的三个顶点 A B C 均在抛物线 上 并且斜边 AB 平行于 x 轴 若2xy 斜边上的高为 h 则 A 1 A 2 A 3 An 1 A n O 第 17 题 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 30 页 共 82 页 第 7 题图 A B C D G FE A h 1 B h 1 C 1 h2 4 一个正方形纸片 用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 拿出其中一 部分 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 又从得到的三部分中拿出其中之一 还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 如此下去 最后得到了 34 个六十二边 形和一些多边形纸片 则至少要剪的刀数是 A 2004 B 2005 C 2006 D 2007 5 如图 正方形 ABCD 内接于 O 点 P 在劣弧 AB 上 连结 DP 交 AC 于点 Q 若 QP QO 则 的值为 QC A B C D 132 322 3 二 填空题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 6 已知 a b c 为整数 且 a b 2006 c a 2005 若 a b 则 a b c 的最大值为 7 如图 面积为 的正方形 DEFG 内接于面积为 1c 的正三角形 ABC 其中 a b c 为整数 且 b 不能被任何质数的 平方整除 则 的值等于 8 正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米 甲 乙两人分别 从 A C 两点同时出发 沿 A B C D E A 方向绕广场行 走 甲的速度为 50 米 分 乙的速度为 46 米 分 那么出发后经 过 分钟 甲 乙两人第一次行走在同一条边上 9 已知 0 a 0 B a 4 C 2 a 4 D 0 a 0 a 2 2ab c2 0 bc a2 则实数 a b c 的大小关系是 A b c a B c a b C a b c D b a c 5 设 a b 为有理数 且满足等式 a b 则 a b 的值为3 6 A 2 B 4 C 6 D 8 6 将满足条件 至少出现一个数字 0 且是 4 的倍数的正整数 从小到大排成一列数 20 40 60 80 100 104 则这列数中的第 158 个数为 A 2000 B 2004 C 2008 D 2012 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 函数 y x2 2006 x 2008 的图象与 x 轴交点的横坐标之和等于 2 在等腰 Rt ABC 中 AC BC 1 M 是 BC 的中点 CE AM 于 E 交 AB 于 F 则 S MBF 3 使 取最小值的实数 x 的值为 x2 4 8 x 2 16 4 在平面直角坐标系中 正方形 OABC 的顶点坐标分别为 O 0 0 A 100 0 B 100 100 C 0 100 若正方形 OABC 内部 边界及顶点除外 一格点 P 满足 S POA S PBC S PAB S POC 就称格点 P 为 好点 则正方形 OABC 内部 好点 的个数为 注 所谓 格点 是指在平面直角坐标系中横 纵坐标均为整数的点 第二试 4 月 9 日 上午 10 00 11 30 一 本题满分 20 分 如图 D 为等腰 ABC 底边 BC 的中点 E F 分别为 AC 及其延长线上的点 又已知 EDF 90 ED DF 1 AD 5 求线段 BC 的长 F ED CB A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 33 页 共 82 页 二 本题满分 25 分 在平行四边形 ABCD 中 A 的平分线分别与 BC 及 DC 的延长线交于点 E F 点 O O 1 分别为 CEF ABE 的外心 1 求证 O E O 1 三点共线 2 求证 若 ABC 70 求 OBD 的 度数 三 本题满分 25 分 设 p 为正整数 且 p 2 在平面直角坐标系中 连结点 A 0 p 和点 B p 0 的 线段通过 p 1 个格点 C1 1 p 1 C i i p i C p 1 p 1 1 证明 1 若 p 为素数 则在原点 O 0 0 与点 Ci i p i 的连线段 OCi i 1 p 1 上除端点外无其它格点 2 若在原点 O 0 0 与点 Ci i p i 的连线段 OCi i 1 p 1 上除端点外无其它格点 则 p 为素数 2005 年全国初中数学联赛初赛试卷 3 月 25 日下午 2 30 4 30 或 3 月 26 日上午 9 00 11 30 学校 考生姓名 一 选择题 每小题 7 分 共计 42 分 1 若 a b 为实数 则下列命题中正确的是 A a b a2 b 2 B a b a2 b 2 C a b a2 b 2 D a b a2 b 2 2 已知 a b c 3 a 2 b2 c2 3 则 a2005 b2005 c2005 的值是 A 0 B 3 C 22005 D 3 22005 1 O O F E D CB A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 34 页 共 82 页 3 有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成 黑皮为正五边形 白皮为 正六 边形 如图 如果缝制好的这种足球黑皮有 12 块 则白皮有 块 A 16 B 18 C 20 D 22 4 在 Rt ABC 中 斜边 AB 5 而直角边 BC AC 之长是一元二次方程 x2 2m 1 x 4 m 1 0 的两根 则 m 的值是 A 4 B 1 C 4 或 1 D 4 或 1 5 在直角坐标系中 横坐标都是整数的点称为整点 设 k 为整数 当直线 y x 3 与 y kx k 的交点为整数时 k 的值可以取 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 6 如图 直线 x 1 是二次函数 y ax2 bx c 的图像的对称轴 则有 A a b c 0 B b a c C c 2b D abc 0 二 填空题 每小题 7 分 共计 28 分 1 已知 x 为非零实数 且 a 则 12x 2x1 2 已知 a 为实数 且使关于 x 的二次方程 x2 a2x a 0 有实根 则该方程的根 x 所能 取到的最大值是 3 p 是 o 的直径 AB 的延长线上一点 PC 与 o 相切于点 C APC 的角平分线交 AC 于 Q 则 PQC 4 对于一个自然数 n 如果能找到自然数 a 和 b 使 n a b ab 则称 n 为一个 好数 例如 3 1 1 1 1 则 3 是一个 好数 在 1 20 这 20 个自然数中 好数 共有 个 三 本题满分 20 分 设 A B 是抛物线 y 2x2 4x 2 上的点 原点位于线段 AB 的中 点处 试求 A B 两点的坐标 四 本题满分 25 分 如图 AB 是 o 的直径 AB d 过 A 作 o 的切线并在其上取 一点 C 使 AC AB 连结 OC 叫 o 于点 D BD 的延长线交 AC 于 E 求 AE 的长 B A O E D C 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 35 页 共 82 页 五 本题满分 25 分 设 x a b c y a c b z b c a 其中 a b c 是待定的 质数 如果 x2 y 2 试求积 abc 的所有可能的值 zy 2005 年全国初中数学竞赛试卷 一 选择题 满分 30 分 1 如图 a ABCD 是一矩形纸片 AB 6cm AD 8cm E 是 AD 上一点 且 AE 6cm 操作 将 AB 向 AE 折过去 使 AB 与 AE 重合 得折痕 AF 如图 b 将 AFB 以 BF 为折痕向右 折过去 得图 c 则 GFC 的面积为 图 c图 b图 a G CF ADB E B E D C A F E D CFB A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 36 页 共 82 页 A 2 B 3 C 4 D 5 2 若 M 3x2 8xy 9y 2 4x 6y 13 x y 是实数 则 M 的值一定是 A 正数 B 负数 C 零 D 整数 3 已知点 I 是锐角 ABC 的内心 A 1 B 1 C 1分别是点 I 关于边 BC CA AB 的对称点 若点 B 在 A 1B1C1的外接圆上 则 ABC 等于 A 30 B 45 C 60 D 90 4 设 则与 A 最接近的正整数是 22248 3404A A 18 B 20 C 24 D 25 5 在自变量 x 的取值范围 59 x 60 内 二次函数 的函数值中整数的21yx 个数是 A 59 B 120 C 118 D 60 二 填空题 满分 30 分 6 在一个圆形的时钟的表面 OA 表示秒针 OB 表示分针 O 为两针的旋转中心 若现 在时间恰好是 12 点整 则经过 秒后 OAB 的面积第一次达到最大 7 在直角坐标系中 抛物线 与 x 轴交于 A B 的两点 若223 04yxm A B 两点到原点的距离分别为 OA OB 且满足 则 m 1OB 8 有两幅扑克牌 每幅的排列顺序是 第一张是大王 第二张是小王 然后是黑桃 红桃 方块 梅花四种花色排列 每种花色的牌又按 A 2 3 J Q K 的顺序排列 某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起 然后从一到下把第 一张丢去 把第二张放在最底层 再把第三张丢去 把第四张放在底 层 如此下去 直至最后只剩下一张牌 则所剩的这张牌是 9 已知 D E 分别是 ABC 的边 BC CA 上的点