2013年高考数学试题分类汇编-数列.doc

2013 年高考数学试题分类汇编 数列 1 2010 全国卷 1文数 4 已知各项均为正数的等比数列 na 123 5 789a 10 则 456a A A 2 B 7 C 6 D 42 2 2010 湖北文数 7 已知等比数列 ma 中 各项都是正数 且 1a 32 成等差数列 则 91078a C A 2B 2 C 32 D32 3 2010 陕西文数 11 观察下列等式 1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 3 3 3 1 2 3 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 13 2 3 3 3 4 3 5 3 1 2 3 4 5 2 或 152 解析 第 i个等式左边为 1到 i 1的立方和 右边为 1到 i 1和的完全平方 所以第四个等式为 13 2 3 3 3 4 3 5 3 1 2 3 4 5 2 或 152 4 2010 浙江文数 14 在如下数表中 已知每行 每列中的树都成等差数列 那么 位于下表中的第 n行第 n 1列的数是 答案 2n 5 2010 天津文数 15 设 a n 是等比数列 公比 2q S n为 a n 的前 n项和 记 217 nSTNa 设 0nT为数列 n 的最大项 则 0n 答案 4 解析 本题主要考查了等比数列的前 n项和公式与通项及平均值不等式的应用 属于中等 题 211 27 2 1 17 6nnnnnaaT 6 2 17 1nn 因为 6 2 nn 8 当且仅当 2 n 4 即 n 4时取 等号 所以当 n0 4时 Tn有最大值 温馨提示 本题的实质是求 Tn取得最大值时的 n值 求解时为便于运算可以对 2 n进行 换元 分子 分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解 6 2010 江苏卷 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x轴交点的横坐标为 ak 1 k为正整数 a1 16 则 a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 2 kkyax 当 0y 时 解得 2kax 所以 1135 641ka 7 2010 上海文数 已知数列 n的前 项和为 nS 且 58na N 1 证明 n 是等比数列 2 求数列 S的通项公式 并求出使得 1n 成立的最小正整数 解析 1 当 n 1 时 a1 14 当 n 2 时 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以5 6na 又 a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 1516na 得 156nn 从而157906nS n N 由 Sn 1 Sn 得 1526n 562log14 9 最小正整数 n 15 8 2010 陕西文数 16 本小题满分 12分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2 an 的前 n项和 Sn 解 由题设知公差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12d 8 解得 d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知 2ma 2n 由等比数列前 n项和公式得 Sm 2 22 23 2n 1 2n 1 2 9 2010 全国卷 2文数 18 本小题满分 12分 已知 na是各项均为正数的等比数列 且1212 34534516 aa 求 n的通项公式 设 2 nnba 求数列 nb的前 项和 nT 解析 本题考查了数列通项 前 项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1与 d的方程求得 1a与 d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN的通项公式 由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得 38 2010 江西理数 22 本小题满分 14分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得 22abc 成等差数列 2 存在无穷多个互不相似的三角形 n 其边长 nn 为正整数且 22nnabc 成等差数列 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 22acb 类似勾股数进行拼凑 证明 考虑到结构特征 取特值 1 57满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正整数 a均能成立 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形 再证明互不相似 且无穷 证明 当 22nnabc 成等差数列 则 22nnbacb 分解得 na 选取关于 n的一个多项式 241做两种途径的分解2 24 1 n 24 1 n 对比目标式 构造 21 nabc 由第一问结论得 等差数列成立 考察三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m n相似 则三边对应成比例22211n 由比例的性质得 nn 与约定不同的值矛盾 故互不相似 39 2010 安徽文数 21 本小题满分 13分 设 12 nC 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在 x轴的正半轴上 且都与直线3yx 相切 对每一个正整数 n 圆 C都与圆 1n 相 互外切 以 nr表示 的半径 已知 nr为递增数列 证明 nr为等比数列 设 1 求数列 nr的前 项和 命题意图 本题考查等比列的基本知识 利用错位相减法求和等基本方法 考察抽象概括 能力以及推理论证能力 解题指导 1 求直线倾斜角的正弦 设 nC的圆心为 0 n 得 2nr 同理得12nr 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系 得两圆半径之间的关系 即 n中 与 的关系 证明 nr为等比数列 2 利用 1 的结论求 nr的通项公式 代入数 列 nr 然后用错位相减法求和 nnn n 1 1n 1n n11nn n 12331 si 2r1r22rr3qrr3 3r rxC 解 将 直 线 y 的 倾 斜 角 记 为 则 有 ta 设 的 圆 心 为 0 则 由 题 意 得 知 得 同 理 从 而 将 代 入 解 得故 为 公 比 的 等 比 数 列 由 于 故 从 而 记 S21n1121n 11 r 3 3 3 3 93923 424nnnnnn nnnS 则 有 得2S 方法技巧 对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 得出关 于数列相邻项 na与 1 之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出通项 公式或其他所求结论 对于数列求和问题 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的 数列时 通常是利用前 n项和 nS乘以公比 然后错位相减解决 40 2010 重庆文数 16 本小题满分 13分 小问 6分 小问 7分 已知 na是首项为 19 公差为 2 的等差数列 nS为 a的前 项和 求通项 及 nS 设 nb 是首项为 1 公比为 3的等比数列 求数列 nb的通项公式及其前n 项和 T 41 2010 浙江文数 19 本题满分 14分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d的等差 数列 a n 的前 n项和为 Sn 满足 56 15 0 若 5 5 求 6及 a1 求 d的取值范围 42 2010 重庆理数 21 本小题满分 12分 I 小问 5分 II 小问 7分 在数列 na中 1 1 112 nnacN 其中实数 0c I 求 的通项公式 II 若对一切 kN 有 21kz 求 c的取值范围 43 2010 山东文数 18 本小题满分 12分 已知等差数列 na满足 37 5726a na的前 n项和为 nS 求 及 S 令 21nba nN 求数列 nb的前 n项和 nT 44 2010 北京文数 16 本小题共 13分 已知 na为等差数列 且 36a 0 求 的通项公式 若等差数列 nb满足 18 2123ba 求 nb的前 n项和公式 解 设等差数列 a的公差 d 因为 36 0 所以 125ad 解得 10 2ad 所以 0 nn 设等比数列 b的公比为 q 因为 21234 8ab 所以 8q 即 3 所以 nb的前 项和公式为 1 4 3 nnnqS 45 2010 北京理数 20 本小题共 13分 已知集合 121 0 2 n nSXxxin 对于12 Aa BbS 定义 A与 B的差为12 nBa A与 B之间的距离为 1 idAab 证明 nnCSBS 有 且 dACBdA 证明 d三个数中至少有一个是偶数 设 P n P 中有 m m 2 个元素 记 P中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 nAa 12 nBb 12 nCc S 因为 i 0ib 所以 0i i 从而 12 nnBaS 又 1 niiidACcb 由题意知 ia ib i 0 2 in 当 0ic 时 iiicab 当 1i时 1 ii iiiab 所以 1 niidACBabdAB II 设 12 na 12 n 12 nCc S dk dl dh 记 0 nOS 由 I 可知 dABAdOBk CCl h 所以 1 2 iban 中 1的个数为 k 1 2 ican 的 1的 个数为 l 设 t是使 iic 成立的 i的个数 则 hlkt 由此可知 klh三个数不可能都是奇数 即 dAB C d三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 ABPm 其中 ABP 表示 中所有两个元素间距离的总和 设 种所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1 imt 个 0 则 ABPd 1 niit 由于 it im2 4i 所以 ABPd 2n 从而 22 1 4 1 ABPmmnCC 46 2010 四川理数 21 本小题满分 12分 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2 am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n项和 Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决 问题的能力 解 1 由题意 零 m 2 n 1 可得 a3 2 a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2 a3 a1 8 20 2 分 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2 a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为 b1 a3 a1 6 公差为 8的等差数列 则 bn 8 n 2 即 a2n 1 a2n 1 8 n 2 另由已知 令 m 1 可得 an 21 n 1 2 那么 an 1 an 1 2 n 1 8 2 n 1 2 n 于是 cn 2 nqn 1 当 q 1 时 Sn 2 4 6 2 n n n 1 当 q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2 n qn 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2 n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2 nqn 2 2 nqn 2 11 q 所以 Sn 2 12 nnq 综上所述 Sn 12 12 nnq A 12分 47 2010 天津文数 22 本小题满分 14分 在数列 na中 1 0 且对任意 k N 2k12k 1a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 成等比数列 求数列 n的通项公式 记 223nnTaa A 证明 n3T2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n项和公式 等比数列的定义 数列求和等基 础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14分 I 证明 由题设可知 21a 324a 348a 541a 68 从而 5432a 所以 4a 5 6成等比数列 II 解 由题设可得 21 kkN 所以 21 21331 k kaaa 4 4 kN 由 10a 得 21k 从而 221kak 所以数列 n的通项公式为 2 n 为 奇 数为 偶 数 或写为 214nna N III 证明 由 II 可知 21ka 2ka 以下分两种情况进行讨论 1 当 n为偶数时 设 n 2m mN 若 m 则 2nka 若 2 则 22221 121 144nmmkkkkkkaa 2 114 12mk kk 132mn 所以 23nka 从而 2 46 8 ka 2 当 n为奇数时 设 1 nmN 2 2221 134nmkkaa 422n 所以 231 nka 从而 23 35 7 nka 综合 1 和 2 可知 对任意 N 有 2 nT 48 2010 天津理数 22 本小题满分 14分 在数列 na中 10 且对任意 k 21ka k 21 成等差数列 其公差为 kd 若 kd 2 证明 2ka 1 成等比数列 N 若对任意 N 2k 2k 成等比数列 其公比为 kq 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n项和公式 等比数列的定义 数 列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法 满分 14分 证明 由题设 可得 4 21akNk 所以 1 31 2 2a aak 4 4 2k k 1 由 1a 0 得 222 1 1 21kakakk 从 而 于是 2 ak 所 以 所以 212kdkNak 时 对 任 意 成等比数列 证法一 i 证明 由 成等差数列 及 212akk 成 等比数列 得 12 122kkaaqkka 当 1q 1 时 可知 kq 1 k N 从而 111 1 2 2 kqk kqk 即 所以 1 是等差数列 公差为 1 证明 10a 2 可得 34a 从而 12 q 1 1 由 有 1 kkqNq 得 所以 2 221 1aakkNk 从 而 因此 222 2 1 2 14 2 kaakk kkakN 以下分两种情况进行讨论 1 当 n为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2ka 若 m 2 则222211 1 4nmmkkkkkaa 2 211 14 12 3 mmk k kkmn 所以 2 231 46 8 n nk kaa 从 而 2 当 n为奇数时 设 n 2m 1 mN 222 21 31 4mkkaa 142 2n 所以 231 nka 从而 23 35 7nka 综合 1 2 可知 对任意 2n N 有 2nk 证法二 i 证明 由题设 可得 2122 1 k kdaqaq 21212 kkkkkdaqa 所以 1kd 3211 22kkkk kkq qa 由 1q 可知 1 kN 可得 1 1kkkqq 所以 k 是等差数列 公差为 1 ii 证明 因为 120 a 所以 121da 所以 3214d 从而 312q 1q 于是 由 i 可知所以 1kq 是公 差为 1的等差数列 由等差数列的通项公式可得 k 1 故 k 从而 1kdq 所以 121212 1kkdkk 由 12d 可得kd 于是 由 i 可知 221 kkaaN 以下同证法一 49 2010 全国卷 1理数 22 本小题满分 12分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 na中 1 nnac 设 5 2ncb 求数列 nb的通项公式 求使不等式 13na 成立的 c的取值范围 50 2010 四川文数 20 本小题满分 12分 已知等差数列 na的前 3项和为 6 前 8项和为 4 求数列 的通项公式 设 1 4 0 nnbaqN 求数列 nb的前 n项和 nS 51 2010 山东理数 18 本小题满分 12分 已知等差数列 na满足 37 5726a na的前 n项和为 nS 求 及 S 令 bn 21a n N 求数列 nb的前 n项和 T 解析 设等差数列 na的公差为 d 因为 37a 5726 所以有12706da 解得 13 2 所以 3 n n nS 1 2n 由 知 21na 所以 bn 2a 2 1 4n 1 n 所以 nT 1 43 1 4 即数列 nb的前 n项和 T 4 命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前 n项和公式的应用 裂项法求数列的和 熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键 52 2010 湖南理数 21 本小题满分 13分 数列 naN 中 是函数 3221 3nnnfxaxa 的极 小值点 当 a 0时 求通项 na 是否存在 a 使数列 是等比数列 若存在 求 a的取值范围 若不存在 请 说明理由 53 2010 湖北理数 1nln232 证 明 1 54 2010 安徽理数 20 本小题满分 12分 设数列 12 na 中的每一项都不为 0 证明 n为等差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有12311nnaa 55 2010 江苏卷 19 本小题满分 16分 设各项均为正数的数列 na的前 n项和为 nS 已知 312a 数列 nS是公差为d 的等差数列 1 求数列 n的通项公式 用 d 表示 2 设 c为实数 对满足 nmk 且3的任意正整数 knm 不等式knmS 都成立 求证 c的最大值为 29 解析 本小题主要考查等差数列的通项 求和以及基本不等式等有关知识 考查探索 分 析及论证的能力 满分 16分 1 由题意知 0d 11 nSdand 232323 aa 2211 a 化简 得 22110 adad nnSdS 当 2 时 2221 1 n nd 适合 1n 情形 故所求 2 a 2 方法一 2222mnkScdnckdmnck 2mnk 恒成立 又 且3 2229 9 故 92c 即 的最大值为 9 方法二 由 1ad及 1 nSad 得 0 2nSd 于是 对满足题设的 km 有2222 9 mn kSddS 所以 c的最大值 max9 另一方面 任取实数 2 设 k为偶数 令 31 2mkn 则 knm 符合条件 且 2223 1 94 mnSdd 于是 只要 2294ka 即当 9ka 时 2mnkSaS 所以满足条件的 c 从而 maxc 因此 c的最大值为 2