高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结第一节 导数1基本概念（1）定义注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数.存在.（3）导数的几何应用曲线在点处的切线方程：. 法线方程：.2基本公式（1） （2）（3）（特例）（4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（153函数的求导法则（1）四则运算的求导法则 （2）复合函数求导法则-链式法则设，则的导数为：.例5 求函数的导数.（3）反函数的求导法则设的反函数为，两者均可导，且，则.（4） 隐函数求导设函数由方程所确定，求的方法有两种：直接求导法和公式法.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1） 特别地，（2） （3）（4）（5）（6）莱布尼茨公式：，其中第二节 微分1定义背景：函数的增量.定义：如果函数的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在点可微，并且称为的微分，记作，则.注：2可导与可微的关系一元函数在点可微，微分为函数在可导，且.3微分的几何意义4微分的计算（1）基本微分公式.（2）微分运算法则四则运算法则 一阶微分形式不变若为自变量，；若为中间变量，. 练习题1、求下列函数的导数。 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）。2、求下列隐函数的导数。 （1）；（2）已知求。3、求参数方程 所确定函数的一阶导数与二阶导数。4、求下列函数的高阶导数。 （1）求； （2）求。5、求下列函数的微分。 （1）； （2）。6、求双曲线，在点处的切线方程与法线方程。7、用定义求，其中并讨论导函数的连续性。答案：1、（1）解： 。（2）解：。（3）解： 。（4）解： 。 （5）解：。 （6）解：。2、（1）解：两边直接关于求导得。 （2）解：将代入原方程解得原方程两边直接关于求导得 ， 上方程两边关于再次求导得 将，代入上边第一个方程得，将，代入上边第二个方程得。3、解：；。4、（1）解：； 依此类推。 （2）解：设则，代入萊布尼茨公式，得 。5、（1）解： . （2）解：； 。6、解：首先把点代入方程左边得，即点是切点。 对双曲线用隐函数求导得 过点的切线的斜率为故过点的切线方程为；过点的法线方程为。7、解： 同理；故。 显然在点连续，因此只需考查在点的连续性即可。但已知在点不连续，由连续函数的四则运算性质知在点不连续。讨论习题：1、 设求。2、 求和。3、 设函数在上有定义，且满足证明存在，且。讨论习题参考答案：1、解：因为 易知在开区间内都是可导的；又对于分段点，有，即；，即不存在；所以除之外在区间內均可导，且有 2、解：因为，；3、证：由可知当时，即。又；已知，由两边夹定理可得。思考题：1、 若在不可导，在可导，且，则在处（ ）（1） 必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。2、 设连续，且，求。思考题参考答案：1、 解：正确选择是（3）例如：在处不可导；若取在处可导，则在处不可导；即（1）不正确。又若取在处可导，则有在处可导。即（2）也不正确。2、 解：因为可导，所以又因为不一定存在，故用定义求，第三组：潘柏华 王涛 罗宇生 陈珂晔 黄强