初中数学二次函数知识点汇总

1 1 定义 一般地 如果 是常数 那么 叫做 的二次函数 cbaxy 2 0 ayx 2 二次函数 的性质2ax 1 抛物线 的顶点是坐标原点 对称轴是 轴 y y 2 函数 的图像与 的符号关系 2x 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 0 a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 3 顶点是坐标原点 对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 y2axy 0 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxay 2 y 4 二次函数 用配方法可化成 的形式 其中 khxay 2 ackbh422 5 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2axy kxy 2 2hxay khxay 2 cbxy 2 6 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当 时 开口向上 当 时 开口向下 0 a0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于 轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y x 7 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数 相同 那么抛物线的开口方向 开a 口大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点abcxcbxy4222 是 对称轴是直线 abc42 2 ax 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为 的形式 得到顶点为 khxay 2 hk 对称轴是直线 hx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连线的垂直平分 2 线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线 中 的作用cbxay 2a 1 决定开口方向及开口大小 这与 中的 完全一样 2axy 2 和 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 的对称轴是直线cbxay 2 故 时 对称轴为 轴 即 同号 时 对称轴在 轴左侧 abx 0 0 y 即 异号 时 对称轴在 轴右侧 0 y 3 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置 ccbxay 2 当 时 抛物线 与 轴有且只有一个交点 0 xc 2yc 抛物线经过原点 与 轴交于正半轴 与 轴交于负半轴 0c0 c cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在 轴右侧 则 0 ab 10 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy 轴 0 xy 0 0 k 轴 0 k 2hxy hx 0 hka kcbxy 2 当 时0 a 开口向上 当 时 开口向下 a bx2 abc42 2 11 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxay 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 kh 3 交点式 已知图像与 轴的交点坐标 通常选用交点式 x1x2 21xay 12 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线 得交点为 0 ycbay 2c 3 2 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 yhx cbxay 2 hcba 2 3 抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程cba 2 1x2 的两个实数根 抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02 cxx 式判定 有两个交点 抛物线与 轴相交 有一个交点 顶点在 轴上 抛物线与 轴相切 x0 x 没有交点 抛物线与 轴相离 0 4 平行于 轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设 纵坐标为 则横坐标是 的两个实数根 kkcbxa 5 一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点 由方 nxyl 02 acbxyG 程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点 cba k2 l 方程组只有一组解时 与 只有一个交点 方程组无解时 与 没有交点 lGl 6 抛物线与 轴两交点之间的距离 若抛物线 与 轴两交点为 x cbxay 2 021 xBA 由于 是方程 的两个根 故1202 cbxax 21 acbacbxxxAB 442221212121 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 0 2 acbaxy是 常 数 2 顶点式 kh是 常 数 3 当抛物线 与 x 轴有交点时 即对应二次好方程 有实根 和cxy2 02 cbxa1x 存在时 根据二次三项式的分解因式 二次函数2x 212 xacba 可转化为两根式 如果没有交点 则不能这样表示 cbay 21xy 4 考点三 二次函数的最值 10 分 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大 值 或最小值 即当 时 abx2 abcy42 最 值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看 是否在自变量取值范围 内 21x a21x 若在此范围内 则当 x 时 若不在此范围内 则需要考虑函数在ab2 abcy42 最 值 范围内的增减性 如果在此范围内 y 随 x 的增大而增大 则当 时 21x 2x 当 时 如果在此范围内 y 随 x 的增大而减小 cba 最 大 1xcby 12最 小 则当 时 当 时 1xcbay 2最 大 2x cbxa 2最 小 考点四 二次函数的性质 6 14 分 1 二次函数的性质 函数 二次函数 0 2 cbxay是 常 数 a 0 a 0 图像 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 ab2 ab2 ac4 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而增大 简记左减ab2 右增 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是ab2 c4 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而减小 简ab2 记左增右减 5 4 抛物线有最低点 当 x 时 y 有最ab2 小值 cy4 最 小 值 4 抛物线有最高点 当 x 时 y 有最ab2 大值 cy4 最 大 值 2 二次函数 中 的含义 表示开口方向 0 2 abax是 常 数 b a 0 时 抛物线开口向上 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 同左上加 异右下减 三 二次函数 与 的比较 2yaxk 2yaxbc 请将 利用配方的形式配成顶点式 请将 配成 245 2yaxbc 2yaxhk 总结 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到 2yaxhk 2yaxbc 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 ka 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大yxxh 值 8 前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 四 二次函数 图象的画法2yxbc 五点绘图法 利用配方法将二次函数 化为顶点式 确定其开口方向 2yaxbc 2 yaxhk 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及 关于对称轴对称的点 与 轴的交点 若y 0c 0c h 10 2x 与 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴的交点 xy 五 二次函数 的性质2yaxbc 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0 2bxa 24bac 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 当 时 有最2bxa yx yx2bxa y 小值 4c 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当 时 0a 2bxa 24bac 2bxa 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 有最大值 yx2bxa y2x y4c 六 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2yaxbc bc0a 2 顶点式 为常数 hk ahk 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12x0 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解4bc 析式的这三种形式可以互化 七 二次函数的图象与各项系数之间的关系 9 1 二次项系数 a 二次函数 中 作为二次项系数 显然 2yxbc a0a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 a 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大aa 小 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在 的前提下 0 当 时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 ab 同号同左上加02 y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 b a 当 时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 a b 异号异右下减0 02 y 在 的前提下 结论刚好与上述相反 即a 当 时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 a b 异号异右下减ba 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 0 02b y 当 时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 ab 同号同左上加b a 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 b 总结 同左上加 异右下减 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 总之 只要 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 ab 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式