2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)

2018 年高考数学 理科 模拟试卷 三 本试卷分第 卷和第 卷两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 满分 60 分 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题只有一个选项符合题意 1 2016 全国卷 设集合 S x x 2 x 3 0 T x x 0 则 S T A 2 3 B 2 3 C 3 D 0 2 3 2 2016 西安市八校联考 设 z 1 i i 是虚数单位 则 2z z A i B 2 i C 1 i D 0 3 2017 福建质检 已知 sin 则 cosx cos Error x Error 的值为 x 3 13 3 A B C D 33 33 13 13 4 2016 天津高考 设 a n 是首项为正数的等比数列 公比为 q 则 q 0 是 对任意的 正整数 n a 2n 1 a 2n c b B b a c C a b c D c b a 7 2016 江苏重点高中模拟 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n 则记为 N n mod m 例如 10 4 mod 6 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 中国剩 余定理 执行该程序框图 则输出的 n 等于 A 17 B 16 C 15 D 13 8 2017 湖北武汉调研 已知 x y 满足Error 如果目标函数 z 的取值范围为 0 2 y 1x m 则实数 m 的取值范围为 A B 0 12 12 C D 0 12 9 2017 衡水四调 中国古代数学名著 九章算术 中记载 今有羡除 刘徽注 羡除 隧道也 其所穿地 上平下邪 现有一个羡除如图所示 四边形 ABCD ABFE CDEF 均为等腰梯形 AB CD EF AB 6 CD 8 EF 10 EF 到平面 ABCD 的距离为 3 CD 与 AB 间的距离为 10 则这个羡除的体积是 A 110 B 116 C 118 D 120 10 2017 山西太原质检 设 D 为 ABC 所在平面内一点 3 则 BC CD A B AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C D AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 11 2017 河南郑州检测 已知点 F2 P 分别为双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点与 x2a2 y2b2 右支上的一点 O 为坐标原点 若 2 2 且OM 12OP OF2 OF2 F2M 2 a 2 b 2 则该双曲线的离心率为 OF2 F2M A B C D 2 3 12 32 3 3 12 2017 山西联考 已知函数 f x 3x 1 e x 1 mx m 4e 若有且仅有两个整数使 得 f x 0 则实数 m 的取值范围是 A B 5e 2 52e 83e2 C D 12 83e2 4e 52e 第 卷 非选择题 满分 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2017 济宁检测 已知 x 2 1 x 2 9 a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 2 a 11 x 1 11 则 a1 a 2 a 11 的值为 14 2017 惠州一调 已知数列 an b n 满足 a1 a n b n 1 b n 1 n N 则 b2017 12 bn1 a2n 15 2017 河北正定统考 已知点 A 0 1 抛物线 C y 2 ax a 0 的焦点为 F 连接 FA 与抛物线 C 相交于点 M 延长 FA 与抛物线 C 的准线相交于点 N 若 FM MN 1 3 则实数 a 的值为 16 2016 成都第二次诊断 已知函数 f x x sin2x 给出以下四个命题 x 0 不等式 f x 1 n 1 且对于 t T 不等式 log3m log3n t 恒成立 求 m n 的最小值 参考答案 三 第 卷 选择题 满分 60 分 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题只有一个选项符合题意 1 2016 全国卷 设集合 S x x 2 x 3 0 T x x 0 则 S T A 2 3 B 2 3 C 3 D 0 2 3 答案 D 解析 集合 S 2 3 结合数轴 可得 S T 0 2 3 2 2016 西安市八校联考 设 z 1 i i 是虚数单位 则 2z z A i B 2 i C 1 i D 0 答案 D 解析 因为 1 i 1 i 1 i 1 i 0 故选 D 2z z 21 i 2 1 i 1 i 1 i 3 2017 福建质检 已知 sin 则 cosx cos Error x Error 的值为 x 3 13 3 A B C D 33 33 13 13 答案 B 解析 因为 sin sinx cosx 所以 x 3 12 32 13 cosx cos cosx cosx sinx cosx sinx 故选 B 3 x 12 32 32 32 3 32cosx 12sinx 33 4 2016 天津高考 设 a n 是首项为正数的等比数列 公比为 q 则 q 0 是 对任意的 正整数 n a 2n 1 a 2n0 a 2n 1 a 2n a 1q2n 2 a 1q2n 1 a 1q2n 2 1 q 若 q 0 因为 1 q 的符号不确定 所以无法判断 a2n 1 a 2n的符号 反之 若 a2n 1 a 2n 0 即 a1q2n 2 1 q 0 可得 q 1 0 故 q 0 是 对任意的正整数 n a 2n 1 a 2n c b B b a c C a b c D c b a 答案 C 解析 因为 a 2 b 3 所以 a b 排除 12 14 2log23 12 13 127 B D c sinxdx cosxError cos cos0 所以 b c 所以 a b c 选 14 0 14 14 12 14 C 7 2016 江苏重点高中模拟 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n 则记为 N n mod m 例如 10 4 mod 6 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 中国剩 余定理 执行该程序框图 则输出的 n 等于 A 17 B 16 C 15 D 13 答案 A 解析 当 n 10 时 被 3 除余 2 被 5 除也余 2 的最小整数 n 17 故选 A 8 2017 湖北武汉调研 已知 x y 满足Error 如果目标函数 z 的取值范围为 0 2 y 1x m 则实数 m 的取值范围为 A B 0 12 12 C D 0 12 答案 C 解析 由约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示 而目标函数 z 的几何意义 y 1x m 为可行域内的点 x y 与 A m 1 连线的斜率 由Error 得Error 即 B 2 1 由题意知 m 2 不符合题意 故点 A 与点 B 不重合 因而当连 接 AB 时 斜率取到最小值 0 由 y 1 与 2x y 2 0 得交点 C 在点 A 由点 C 12 1 向左移动的过程中 可行域内的点与点 A 连线的斜率小于 2 因而目标函数的取值范围满足 z 0 2 则 m0 b 0 的右焦点与 x2a2 y2b2 右支上的一点 O 为坐标原点 若 2 2 且OM 12OP OF2 OF2 F2M 2 a 2 b 2 则该双曲线的离心率为 OF2 F2M A B C D 2 3 12 32 3 3 答案 A 解析 设双曲线的左焦点为 F1 依题意知 PF 2 2c 因为 所以点OM 12OP OF2 M 为线段 PF2 的中点 因为 2 a 2 b 2 所以 所以 c c cos PF 2x OF2 F2M OF2 F2M c22 c2 所以 cos PF 2x 所以 PF 2x 60 所以 PF 2F1 120 从而 PF 1 2 c 根据 12 12 3 双曲线的定义 得 PF 1 PF2 2a 所以 2 c 2c 2a 所以 e 故选3 ca 13 1 3 12 A 12 2017 山西联考 已知函数 f x 3x 1 e x 1 mx m 4e 若有且仅有两个整数使 得 f x 0 则实数 m 的取值范围是 A B 5e 2 52e 83e2 C D 12 83e2 4e 52e 答案 B 解析 由 f x 0 得 3x 1 e x 1 mx 0 即 mx 3x 1 e x 1 设 g x mx h x 3x 1 e x 1 则 h x 3e x 1 3x 1 e x 1 3x 4 e x 1 由 h x 0 得 3x 4 0 即 x 由 h x 0 43 得 3x 4 故当 x 时 函数 h x 取得极大值 在同一平面直角坐标 43 43 系中作出 y h x y g x 的大致图象如图所示 当 m 0 时 满足 g x h x 的整数解超过 两个 不满足条件 当 m 0 时 要使 g x h x 的整数解只有两个 则需满足Error 即Error 即Error 即 m 0 的焦点为 F 连接 FA 与抛物线 C 相交于点 M 延长 FA 与抛物线 C 的准线相交于点 N 若 FM MN 1 3 则实数 a 的值为 答案 2 解析 依题意得焦点 F 的坐标为 设 M 在抛物线的准线上的射影为 K 连接 a4 0 MK 由抛物线的定义知 MF MK 因为 FM MN 1 3 所以 KN KM 2 1 又2 kFN k FN 2 所以 2 解得 a 0 1a 4 0 4a KN KM 2 4a 2 2 16 2016 成都第二次诊断 已知函数 f x x sin2x 给出以下四个命题 x 0 不等式 f x 2x 恒成立 k R 使方程 f x k 有四个不相等的实数根 函数 f x 的图象存在无数个对称中心 若数列 a n 为等差数列 f a 1 f a 2 f a 3 3 则 a2 其中正确的命题有 写出所有正确命题的序号 答案 解析 f x 1 2cos2x 则 f x 0 有无数个解 再结合 f x 是奇函数 且总体上呈 上升趋势 可画出 f x 的大致图象为 1 令 g x 2x f x x sin2x 则 g x 1 2cos2 x 令 g x 0 则 x k k Z 6 则 g 0 使得 f x 2x 故 错误 6 6 32 6 2 由图象知不存在 y k 的直线和 f x 的图象有四个不同的交点 故 错误 3 f a x f a x 2a 2sin2acos2x 令 sin2a 0 则 a k Z 即 a a 其中 k 2 a k Z 均是函数的对称中心 故 正确 k 2 4 f a1 f a 2 f a3 3 则 a1 a 2 a 3 sin2a 1 sin2a 2 sin2a3 3 即 3a2 sin 2a 2 2d sin2a 2 sin 2a 2 2d 3 3a 2 sin2a 2 2sin2a 2cos2d 3 3a 2 sin2a 2 1 2cos2d 3 sin2a 2 a2 3 1 2cos2d 31 2cos2d 则问题转化为 f x sin2x 与 g x x 的交点个数 3 1 2cos2d 31 2cos2d 如果直线 g x 要与 f x 有除 0 之外的交点 则斜率的范围在 而直线的 43 2 斜率 的取值范围为 1 3 故不存在除 0 之外的交点 故 31 2cos2d a2 正确 三 解答题 共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2016 武汉调研 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c a 4cos C b 1 1a 1 若 A 90 求 ABC 的面积 2 若 ABC 的面积为 求 a c 32 解 1 a 4cosC 4 1a a2 b2 c22ab 2 a2 1 c2 a b 1 2c 2 a 2 1 2 分 又 A 90 a 2 b 2 c 2 c2 1 2c 2 a 2 1 c 2 2 c a 4 分 2 3 S ABC bcsinA bc 1 6 分 12 12 12 2 22 2 S ABC absinC asinC 则 sinC 12 12 32 3a a 4cosC sinC 1a 3a 2 2 1 化简得 a 2 7 2 0 14 a 1a 3a a 从而 cosC 7 14 a 1a 277 c 2 12 分 a2 b2 2bccosC 7 1 2 7 1 277 18 2016 广州四校联考 本小题满分 12 分 自 2016 年 1 月 1 日起 我国全面二孩政策 正式实施 这次人口与生育政策的历史性调整 使得 要不要再生一个 生二孩能休多久 产假 等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题 为了解针对产假的不同安排方案 形成的生育意愿 某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查 得到如下数据 产假安排 单位 周 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 1 若用表中数据所得的频率代替概率 面对产假为 14 周与 16 周 估计某家庭有生育 意愿的概率分别为多少 2 假设从 5 种不同安排方案中 随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案 然后由单 位根据单位情况自主选择 求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率 如果用 表示两种方案休假周数和 求随机变量 的分布列及期望 解 1 由表中信息可知 当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P1 2 分 4200 150 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 4 分 16200 225 2 设 两种安排方案休假周数和不低于 32 周 为事件 A 由已知从 5 种不同安排方 案中 随机地抽取 2 种方案选法共有 C 10 种 5 分 25 其和不低于 32 周的选法有 14 18 15 17 15 18 16 17 16 18 17 18 共 6 种 由古典概型概率计算公式得 P A 7 分 610 35 由题知随机变量 的可能取值为 29 30 31 32 33 34 35 P 29 0 1 P 30 0 1 P 31 0 2 P 32 110 110 210 0 2 P 33 0 2 P 34 0 1 P 35 0 1 210 210 110 110 因而 的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 P 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 10 分 所以 E 29 0 1 30 0 1 31 0 2 32 0 2 33 0 2 34 0 1 35 0 1 32 12 分 19 2017 吉林模拟 本小题满分 12 分 如图所示 直三棱柱 ABC A 1B1C1 中 AA1 AB AC 1 E F 分别是 CC1 BC 的中点 AE A1B1 D 为棱 A1B1 上的点 1 证明 DF AE 2 是否存在一点 D 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 若存在 1414 说明点 D 的位置 若不存在 说明理由 解 1 证明 因为 AE A 1B1 A 1B1 AB 所以 AE AB 因为 AA1 AB AA 1 AE A 所以 AB 平面 A1ACC1 因为 AC 平面 A1ACC1 所以 AB AC 以 A 为坐标原点 AB AC AA 1 所在直线分别 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则有 A 0 0 0 E F A 1 0 0 1 B 1 1 0 1 4 分 0 1 12 12 12 0 设 D x1 y 1 z 1 且 0 1 即 x 1 y 1 z 1 1 1 0 0 则 D 0 1 A1D A1B1 所以 DF 12 12 1 因为 所以 0 所以 DF AE 6 分 AE 0 1 12 DF AE 12 12 2 假设存在一点 D 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 1414 由题意可知平面 ABC 的一个法向量为 0 0 1 8 分 AA1 设平面 DEF 的法向量为 n x y z 则Error 因为 FE 12 12 12 DF 12 12 1 所以Error 即Error 令 z 2 1 则 n 3 1 2 2 1 是平面 DEF 的一个法向量 10 分 因为平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 所以 cos n 1414 AA1 AA1 n AA1 n 1414 即 解得 或 舍去 所以当 D 为 A1B1 的中点时 2 1 9 1 2 2 4 1 2 1414 12 74 满足要求 故存在一点 D 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 此时 D 为 1414 A1B1 的中点 12 分 20 2016 兰州质检 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的焦点坐标是 F1 1 0 F 2 1 0 过点 F2 垂直于长轴的直线 l 交椭圆 C 于 B D 两点 且 BD 3 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在过点 P 2 1 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M N 且满 足 若存在 求出直线 l1 的方程 若不存在 请说明理由 PM PN 54 解 1 设椭圆的方程是 1 a b 0 则 c 1 x2a2 y2b2 BD 3 3 2b2a 又 a2 b 2 1 a 2 b 3 椭圆 C 的方程为 1 4 分 x24 y23 2 假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在 设满足条件的方程为 y k x 2 1 由Error 得 3 4k 2 x2 8k 2k 1 x 16k 2 16k 8 0 因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M N 设 M x1 y 1 N x2 y 2 所以 8k 2k 1 2 4 3 4k 2 16k2 16k 8 0 所以 k 12 又 x1 x 2 x 1x2 8 分 8k 2k 1 3 4k2 16k2 16k 83 4k2 因为 x 1 2 x 2 2 y1 1 y2 1 PM PN 54 所以 x 1 2 x 2 2 1 k 2 54 即 x 1x2 2 x1 x 2 4 1 k 2 54 所以 1 k 2 16k2 16k 83 4k2 2 8k 2k 1 3 4k2 4 4 4k23 4k2 54 解得 k 因为 k 所以 k 12 12 12 故存在直线 l1 满足条件 其方程为 y x 12 分 12 21 2017 广东广州调研 本小题满分 12 分 已知函数 f x ln x 1 x x2 g x 12 x 1 ln x 1 x a 1 x2 x3 a R 16 1 求函数 f x 的单调区间 2 若当 x 0 时 g x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 函数 f x ln x 1 x x2 定义域为 1 2 分 12 则 f x 0 所以 f x 的单调递增区间为 1 无单调递减区间 4 分 x2x 1 2 由 1 知 当 x 0 时 有 f x f 0 0 即 ln x 1 x x2 12 g x ln x 1 2 a 1 x x2 2 a 1 x x2 2a 1 x 6 分 12 x 12x2 12 当 2a 1 0 即 a 时 且 x 0 时 g x 0 12 所以 g x 在 0 上是增函数 且 g 0 0 所以当 x 0 时 g x 0 所以 a 符合题意 8 分 12 当 a0 两根 x1 0 1 2a 2a 1 2a 5 2 当 x 0 x 2 时 x 0 所以 x 在 0 x 2 上单调递减 且 0 0 即 x 0 x 2 时 g x g 0 0 g x 在 0 x 2 上单调递减 所以存在 x0 0 x 2 使得 g x0 g 0 0 即当 x 0 时 g x 0 不恒成立 所以 a1 n 1 且对于 t T 不等式 log3m log3n t 恒成立 求 m n 的最小值 解 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1 所以 x 1 x 2 1 所以 t 的取值范围为 1 即 T t t 1 5 分 2 由 1 知 对于 t T 不等式 log3m log3n t 恒成立 只需 log3m log3n t max 所以 log3m log3n 1 又因为 m 1 n 1 所以 log3m 0 log 3n 0 又 1 log 3m log3n 2 log3m log 3n 时取等号 此时 m n log3m log3n2 log3mn 24 8 分 所以 log 3mn 2 4 所以 log3mn 2 mn 9 所以 m n 2 6 即 m n 的最小值为 6 此时 m n 3 10 分 mn