2015二次函数复习专题讲义

二次函数 知识清单 1 一般的 形如 2 0 yaxbcabc 是 常 数 的函数叫二次函数 例如22221 6 4 5963yxxyx 等都是二次函数 注意 系数 a不能为零 bc可以为零 2 二次函数的三种解析式 表达式 一般式 2 0 yxabc 是 常 数 顶点式 0hka 为 常 数 且 顶点坐标为 hk 交点式 1212 yxxx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 3 二次函数的图像位置与系数 abc之间的关系 a 决定抛物线的开口方向及开口的大小 当 0a 时 开口方向向上 当0 时 开口方向向下 决定开口大小 当 越大 则抛物线的开口越小 当 越小 则抛物线的开口越大 反之 也成立 c 决定抛物线与 y轴交点的位置 当 0c 时 抛物线与 y轴交点在 y轴正 半轴 即 x轴上方 当 0c 时 抛物线与 y轴交点在 轴负半轴 即 x轴下方 当 0 时 抛物线过原点 反之 也成立 ab和 共同决定抛物线对称轴的位置 当 02ba 时 对称轴在 y轴右边 当 02 时 对称轴在 y轴左边 当 即当 时 对称轴为 轴 反之 也成立 特别 当 1x 时 有 yabc 当 1x 时 有 yabc 反之也成立 4 二次函数 2 yhk 的图像可由抛物线 2x 向上 向下 向左 向 右 平移而得到 具体为 当 0h 时 抛物线 2yax 向右平移 h个单位 当0h 时 抛物线 2yax 向左平移 个单位 得到 2 当 0k 时 抛 物线 2 yxh 再向上平移 k个单位 当 k 时 抛物线 2yx再向下 平移 k个单位 而得到 2 yxh 的图像 5 抛物线 20yaxbc 与一元二次方程 20 axbca 的关系 若抛物线 xa与 轴有两个交点 则一元二次方程2 xc 有两个不相等的实根 若抛物线 2 0 yxbc 与 x轴有一个交点 则一元二次方程20 axbca 有两个相等的实根 即一根 若抛物线 2 yxc与 x轴无交点 则一元二次方程2 xc 没有实根 6 二次函数 20 yabxabc 是 常 数 的图像与性质 关系式 2 0yx 2 0 yaxhka 图像形状 抛物线 顶点坐标 24 bac 对称轴 x xh 0a 在图像对称轴左侧 即 2bxa 或 y随 的增大 而减小 在图像对称轴右侧 即 或 xh y 随 x的增大而增大 增 减 性 在图像对称轴左侧 即 2bxa 或 xh y随 x的增大 0a 而增大 在图像对称轴右侧 即 2bxa 或 xh y 随 x的增大而减小 0a 当 2ba 时 4 cy最 小 值 当 x 时 ky最 小 值 最大值 最小值 0a 当 2bxa 时 4 cy最 大 值 当 xh 时 ky最 大 值 考点解析 考点一 二次函数的概念 例 1 下列函数中是二次函数的是 2 8Ayx 81Byx 8 Cyx 23 4Dyx 解析 根据二次函数的定义即可做出判断 A中 1 符合2 0 yaxbc 的形式 所以是二次函数 B分别是一次函数和反比例 函数 D中右边 234x 不是整式 显然不是二次函数 答案 A 例 2 已知函数 2234 1 myxx 是二次函数 则 m 解析 根据二次函数的定义 只需满足两个条件即可 二次项系数不为零 且 x的最高次数为 2 故有 2034m 解得 021 且或 综上所述 m取 2 答案 针对训练 1 若函数 2 myx 是二次函数 则该函数的表达式为 考点二 待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 例 1 已知点 8 a在二次函数 2axy 的图象上 则 a的值是 2 A B C 2 D 解析 因为点 在二次函数 2xy的图象上 所以将点 8 代入二次函 数 2axy 中 可以得出 3a8 则可得 a 答案 A 例 2 若 二 次 函 数 cbxy 2的 与 y的 部 分 对 应 值 如 下 表 则 当1 x 时 的 值 为 x7 65 43 2y2135 5 A B C 27 解析 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 khxay 2 因 为 当 4 x或 2时 3 y 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 3 5 所 以 53 ay 把 2 代 入 得 2 a 所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为 2x 当x 时 7y 答 案 C 针对训练 1 过 0 3 21三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 A2 B 5 1 C 14 2 3D 2 无论 m为何实数 二次函数 2xy mx 的图象总是过定点 3 1 A 0 1 B 3 1 C 0 1D 例 3 如 图 所 示 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 二 次 函 数 cbxay 2的 图 象 顶 点 为 2 且 过 点 2 0B 则 y与 x的 函 数 关 系 式 为 A2 xy xy C 2 D 2 xy 解析 设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 xay 将 0B代 入 得 202 解 得 1a 故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是 2 xy 答 案 D 针对训练 1 过 0 3 2 1三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 考点三 二次函数的图像与性质的综合应用 与系数 abc的关系 例 1 已知二次函数 bxay 2 0 a有最小值 1 则 的大小关系 为 Aba Bb C D不能确定 考点 涉及二次函数顶点坐标和最值 解析 因为二次函数 bxay 2 1 0 a有最小值 1 所以0 a 1 b 所以 答案 A 针对训练 1 二次函数 142 xy的最小值是 2 二次函数 3 2 的图象的顶点坐标是 A 3 B C D 31 3 抛物线 2 xy的顶点坐标是 1 1 1 例 2 抛物线 3 2 xy可以由抛物线 2xy 平移得到 则下列平移过程 正确的是 A 先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位B 先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 C 先向右平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位D 先向右平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 考点 涉及函数平移问题 解析 抛物线 2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线 2 xy 再向下平 移 3 个单位可得到抛物线 3 答案 B 针对训练 1 已知下列函数 1 2xy 2 2xy 3 2 1 xy 其中 图象通过平移可以得到函数 的图象的有 填写所有正 确选项的序号 2 将抛物线 2 xy向上平移一个单位后 得到新的抛物线 那么新的抛物 线的表达式是 3 将抛物线 2向左平移 2 个单位后 得到的抛物线的 解析式是 A2 xy B2 xy C2 xy D 例 3 二次函数 cbxay2的图象如图所示 则下列关系式错误的是 A0 a B0 C042 acb D0 cba 考点 图像与系数的关系 解析 观察题中图象可知 抛物线的开口方向向上 抛物线与 y轴的交点在y 轴的正半轴上 与 x轴有两个交点 所以 0a c 042 acb 且当1 x 时 0 cba 显然选项 A B C 都正确 只有选项 D 错误 答案 D 例 4 已知二次函数 cbxay 2的图象如图所示 对称轴为直线 1 x 则下列结论正确的是 A0 acB 方程 02 cbx的两根是 1 x 32 C D 当 时 y随 的增大而减小 考点 图像与性质的综合应用 解析 由图象可知 0 a c 故 A 错误 因对称轴为直线 1 x 所以12 ab 故 C 错误 由图象可知当 01x时 y随 的增大而增大 故 D 错 误 由二次函数的对称性可知 B 选项正确 答案 B 针对训练 1 在同一平面直角坐标系中 函数 mxy 和函数 22 xy m是 常数 且 0 m 的图象可能是 A B C D 2 已知抛物线 cbxay 2 0 a在平面直角坐标系中的位置如图所示 则 下列结论中 正确的是 A0 a B0 bC c D ca 3 在反比例函数中 xy 当 0 x时 y随 x的增大而减小 则二次函 数 xay 2的图象大致是 A B C D 考点四 二次函数的实际应用 例 1 某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件 受美元走低的影响 从 去年 1 至 9 月 该配件的原材料价格一路攀升 每件配件的原材料价格 1y 元 x 与月份 x 且 取整数 之间的函数关系如下表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格 1y 元 件 560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台 原材料价格的涨势趋缓 10 至 12 月每件配件的原 材料价格 2y 元 与月份 x 10 12 且 x取整数 之间存在如图所示的变 化趋势 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关 知识 直接写出 1y与 x之间的函数关系式 根据如图所示的变化趋势 直接写 出 2y与 x之间满足的一次函数关系式 2 若去年该配件每件的售价为 1000 元 生产每件配件的人力成本为 50 元 其它成本 30 元 该配件在 1 至 9 月的销售量 1p 万件 与月份 x满足函数关系 式 101 xp 1 x 9 且 取整数 10 至 12 月的销售量 2p 万件 与月 份 满足函数关系式 9 2102 p 10 x 12 且 取整数 求去年哪个月 销售该配件的利润最大 并求出这个最大利润 3 今年 1 至 5 月 每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元 人力成 本比去年增加 20 其它成本没有变化 该企业将每件配件的售价在去年的基 础上提高 a 与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 1 0a 这样 在保证每月上万件配件销量的前提下 完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任 务 请你参考以下数据 估算出 a的整数值 参考数据 99 2 9901 98 2 9604 97 2 9409 96 2 9216 95 2 9025 考点 涉及函数模型 把实际问题转化为函数 用函数的观点来解决问题 综合性比较强 一般还涉及不等式 最值问题 解析 1 把表格 1 中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1y的解析 式 把 10 730 12 750 代入直线解析式可得 2y的解析式 2 分情 况探讨得 1 x 9 时 利润 1p 售价 各种成本 10 x 12 时 利润 2p 售价 各种成本 并求得相应的最大利润即可 3 根据 1 至 5 月 的总利润 1700 万元得到关系式求值即可 解 1 设 bkxy 则 58026bk 解得 5420bk 41xy 1 x 9 且 取整数 设 baxy 2 则 751230ba 解得 630ba 63012 y 10 x 12 且 取整数 2 设去年第 x月的利润为 W元 1 9 且 取整数时 450 241862 3051 21 xxypW x 4 时 最大 450 元 10 x 12 且 取整数时 222 9 x 10 时 最大 361 元 3 去年 12 月的销售量为 0 1 12 2 9 1 7 万件 今年原材料价格为 750 60 810 元 今年人力成本为 50 1 20 60 元 5 1000 1 a 810 60 30 1 7 1 0 1 a 1700 设 at 整理得 09102 t 解得 49 t 9401 更接近于 9409 97401 1t 0 1 2t 9 8 1a 10 或 2 980 1 7 1 0 1 a 1 10 答案 1 6302 xy 10 x 12 且 x取整数 2 x 10 时 W最 大 361 元 3 10 针对训练 1 在 母亲节 前夕 我市某校学生积极参与 关爱贫困母亲 的活动 他们 购进一批单价为 20 元的 孝文化衫 在课余时间进行义卖 并将所得利润捐给 贫困母亲 经试验发现 若每件按 24 元的价格销售时 每天能卖出 36 件 若 每件按 29 元的价格销售时 每天能卖出 21 件 假定每天销售件数 y 件 与 销售价格 x 元 件 满足一个以 x 为自变量的一次函数 1 求 y 与 x 满足的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 2 在不积压且不考虑其他因素的情况下 销售价格定为多少元时 才能使每 天获得的利润 P最大 例 2 如图 已知二次函数图象的顶点坐标为 2 0 直线 1 xy与二次 函数的图象交于 BA 两点 其中点 A在 y轴上 1 二次函数的解析式为 y 2 证明点 12 m不在 1 中所求的二次函数的图象上 3 若 C为线段 AB的中点 过 C点作 xE 轴于 点 CE与二次函数的图 象交于 D点 y轴上存在点 K 使以 D 为顶点的四边形是平行四边形 则 KK 点的 坐标是 二次函数的图象上是否存在点 P 使得 ABDPOES 2 求出 P点坐标 若不 存在 请说明理由 考点 考察函数的图像与性质 与平面图形综合为主 一般涉及存在性问题 和动点问题 解析 1 由二次函数图象的顶点坐标为 0 2 故根据抛物线的顶点式写出 抛物线解析式 2 把该点代入抛物线上 得到 m的一元二次方程 求根的判 别式 3 由直线 1 xy与二次函数的图象交于 BA 两点 解得 BA 两点坐 标 求出 D点坐标 设 K点坐标 0 a 使 CDK为顶点的四边形是平行 四边形 则 CA 且 DB 进而求出 点的坐标 过点 作xBF 轴于 则 AOEF 又 为 B中点 求得 点坐标 可得到 ABDPOES 2 设 14 2 xP 由题意可以解出 x 1 解 12xy 2 证明 设点 m在二次函数 142 xy的图象上 则有 1412 整理得 082m 068 2 原方程无解 点 m不在二次函数 142 xy的图象上 3 解 3 K或 5 二次函数的图象上存在点 PP 使得 ABDPOES 2 如图 过点 B作 xF 轴于 则 CF 又 为 中点 EO 由于 142 y和 xy可求得点 9 8 5 1 0 4 CD A 轴 62 ABPOES 设 4 2 x 由题意得 21 41 222 xxSPOE ABDPOE 312x解得 6x或 0 当 6 x时 16341 y 当 0时 0 存在点 1 P和 使得 ABDPOES 2 答案 1 142 xy 2 见上述解答过程 3 存在 点 16 P和 0 基础闯关 1 已 知 二 次 函 数 cbxay 2的 图 象 如 图 所 示 那 么 这 个 函 数 的 解 析 式 为 2 已知二次函数 132 则函数 y的最小值是 3 把抛物线 xy 向上平移 5 个单位 所得抛物线的解析式为 4 将二次函数 42 化成 khxy 2 的形式 则 y 5 如 图 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 是 A2 xy B2C D xy 6 已知函数 cbxay2 0 a的图象如图所示 则函数baxy 的图象是 A B C D 7 二次函数 312 xy的图象的顶点坐标是 A 1 3 B 1 3 C 1 D 8 对于抛物线 3 1 22 xy 下列结论 抛物线的开口向下 对称轴 为直线 x 顶点坐标为 1 3 1 x时 y随 x的增大而减小 其中 正确结论的个数为 A 1 B2 C3 D4 9 已知 直线 baxy 过抛物线 32 xy的顶点 p 如图所示 1 顶点 p的坐标是 2 若直线 经过另一点 A 0 11 求出该直线 的表达式 3 在 2 的条件下 若有一条直线 nmxy 与直线baxy 关于 轴成轴对称 求直线 与抛物线32 的交点坐标 10 已知二次函数 32 xy 解答下列问题 1 用配方法将该函数解析式化为 kmxay 2 的形式 2 指出该函数图象的开口方向 顶点坐标 对称轴 以及它的变化情况 拓展提高 1 将二次函数 3 1 2 xy的图象沿 y轴向上平移 3 个单位 那么平移后的 二次函数图象的顶点坐标是 2 若抛物线 m 2的最低点的纵坐标为 n 则 m 的值是 3 抛 物 线 cbxay 2的 顶 点 坐 标 是 3 1 且 过 点 5 0 那 么 二 次 函 数 x 2的 解 析 式 为 A54 y B2 x C1 y D342x 4 抛物线 cby 2图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得图 象的解析式为 3 x 则 b c的值为 A b c B 0 C 1 c D b 2c 5 抛物线 cbay 2图象如图所示 则一次函数 24axy 与反比 例函数 x在同一坐标系内的图象大致为 A B C D 6 如图 在平面直角坐标系中 有两条位置确定的抛物 线 它们的对称轴相同 则下列关系不正确的是 k n h m k n h 0 k 0 7 将二次函数 32 xy化为 xy 2 的形式 结果为 A4 1 2 xy B4 1 2 C 1 2 D2 1 xy 8 企业的污水处理有两种方式 一种是输送到污水厂进行集中处理 另一种是 通过企业的自身设备进行处理 某企业去年每月的污水量均为 12000 吨 由于 污水厂处于调试阶段 污水处理能力有限 该企业投资自建设备处理污水 两 种处理方式同时进行 1 至 6 月 该企业向污水厂输送的污水量 y1 吨 与月 份 x 1 6 且 x取整数 之间满足的函数关系如下表 月份 x 月 1 2 3 4 5 6 输送的污水量 y1 吨 12000 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月 该企业自身处理的污水量 y2 吨 与月份 x 7 12 且 x取整数 之间满足二次函数关系式为 0 2 acx 其图象如图所示 1 至 6 月 污水厂处理每吨污水的费用 1z 元 与月份 x之间满足函数关系式 xz21 该企业自身处理每吨污水的费用 2z 元 与月份 x之间满足函数关 系式 x1243 7 至 12 月 污水厂处理每吨污水的费用均为 2 元 该 企业自身处理每吨污水的费用均为 1 5 元 1 请观察题中的表格和图象 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数 的有关知识 分别直接写出 21 y与 x之间的函数关系式 2 请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W 元 最多 并求出 这个最多费用 3 今年以来 由于自建污水处理设备的全面运行 该企业决定扩大产能并将 所有污水全部自身处理 估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的 基础上增加 a 同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加 a 30 为鼓励节能降耗 减轻企业负担 财政对企业处理污水的费用 进行 50 的补助 若该企业每月的污水处理费用为 18000 元 请计算出 a 的整 数值 参考数据 2 153 5 049 4 289 9 在直角坐标系中 点 A 是抛物线 y x 2 在第二象限上的点 连接 OA 过点 O 作 B 交抛物线于点 B 以 OA OB 为边构造矩形 AOBC 1 如图 1 当点 A 的横坐标为 时 矩形 AOBC 是正方形 2 如图 2 当点 A 的横坐标为 时 求点 B 的坐标 将抛物线 2xy 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y x 2 试判断抛物线 y x 2 经过平移交换后 能否经过 CBA 三点 如果可以 说出变换的过程 如果不可以 请说明理由