二次函数难题练习及答案一

37 2014 年山东泰安 第 29 题 二次函数 y ax2 bx c 的图象经过点 1 4 且与直 线 y x 1 相交于 A B 两点 如图 A 点在 y 轴上 过点 B 作 BC x 轴 垂足为点 C 3 0 1 求二次函数的表达式 2 点 N 是二次函数图象上一点 点 N 在 AB 上方 过 N 作 NP x 轴 垂足为点 P 交 AB 于点 M 求 MN 的最大值 3 在 2 的条件下 点 N 在何位置时 BM 与 NC 相互垂直平分 并求出所有满足条 件的 N 点的坐标 34 2014 德州 第 24 题 12 分 如图 在平面直角坐标系中 已知点 A 的坐标是 4 0 并且 OA OC 4OB 动点 P 在过 A B C 三点的抛物线上 1 求抛物线的解析式 2 是否存在点 P 使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合条 件的点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E 交直线 AC 于点 D 过点 D 作 y 轴的垂线 垂足为 F 连接 EF 当线段 EF 的长度最短时 求出点 P 的坐标 28 2014 株洲 第 24 题 10 分 已知抛物线 y x2 k 2 x 和直线 y k 1 x k 1 2 1 求证 无论 k 取何实数值 抛物线总与 x 轴有两个不同的交点 2 抛物线于 x 轴交于点 A B 直线与 x 轴交于点 C 设 A B C 三点的横坐标分别是 x1 x2 x3 求 x1 x2 x3的最大值 3 如果抛物线与 x 轴的交点 A B 在原点的右边 直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边 又抛物线 直线分别交 y 轴于点 D E 直线 AD 交直线 CE 于点 G 如图 且 CA GE CG AB 求抛物线的解析式 第 5 题图 24 2014 湘潭 第 25 题 ABC 为等边三角形 边长为 a DF AB EF AC 1 求证 BDF CEF 2 若 a 4 设 BF m 四边形 ADFE 面积为 S 求出 S 与 m 之间的函数关系 并探究当 m 为何值时 S 取最大值 3 已知 A D F E 四点共圆 已知 tan EDF 求此圆直径 第 1 题图 20 2014 邵阳 第 26 题 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 m n x mn m n 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 位于点 B 的右侧 与 y 轴相交于点 C 1 若 m 2 n 1 求 A B 两点的坐标 2 若 A B 两点分别位于 y 轴的两侧 C 点坐标是 0 1 求 ACB 的大小 3 若 m 2 ABC 是等腰三角形 求 n 的值 18 10 分 2014 孝感 第 22 题 10 分 已知关于 x 的方程 x2 2 k 3 x k2 1 0 有两 个不相等的实数根 x1 x2 1 求 k 的取值范围 2 试说明 x1 0 x2 0 3 若抛物线 y x2 2 k 3 x k2 1 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 点 B 到原点的距离分 别为 OA OB 且 OA OB 2OA OB 3 求 k 的值 解 1 由题设可知 A 0 1 B 3 则二次函数的解析式是 y x 1 2 设 N x x2 x 1 则 M P 点的坐标分别是 x x 1 x 0 MN PN PM x2 x 1 x 1 x2 x x 2 则当 x 时 MN 的最大值为 3 连接 MN BN BM 与 NC 互相垂直平分 即四边形 BCMN 是菱形 由于 BC MN 即 MN BC 且 BC MC 即 x2 x 且 x 1 2 x 3 2 解得 x 1 故当 N 1 4 时 MN 和 NC 互相垂直平分 分析 3 据垂线段最短 可得当 OD AC 时 OD 最短 即 EF 最短 根据等腰三角形的性 质 D 是 AC 的中点 则 DF OC 即可求得 P 的纵坐标 代入二次函数的解析式 即 可求得横坐标 得到 P 的坐标 解答 则抛物线的解析式是 y x2 3x 4 2 存在 第一种情况 当以 C 为直角顶点时 过点 C 作 CP1 AC 交抛物线于点 P1 过点 P1 作 y 轴的垂线 垂足是 M ACP1 90 MCP1 ACO 90 ACO OAC 90 MCP1 OAC OA OC MCP1 OAC 45 MCP1 MP1C MC MP1 设 P m m2 3m 4 则 m m2 3m 4 4 解得 m1 0 舍去 m2 2 m2 3m 4 6 即 P 2 6 第二种情况 当点 A 为直角顶点时 过 A 作 AP2 AC 交抛物线于点 P2 过点 P2作 y 轴的垂线 垂足是 N AP 交 y 轴于点 F P2N x 轴 由 CAO 45 OAP 45 FP2N 45 AO OF P2N NF 设 P2 n n2 3n 4 则 n n2 3n 4 1 解得 n1 2 n2 4 舍去 n2 3n 4 6 则 P2的坐标是 2 6 综上所述 P 的坐标是 2 6 或 2 6 3 连接 OD 由题意可知 四边形 OFDE 是矩形 则 OD EF 根据垂线段最短 可得当 OD AC 时 OD 最短 即 EF 最短 由 1 可知 在直角 AOC 中 OC OA 4 则 AC 4 根据等腰三角形的性质 D 是 AC 的中点 又 DF OC DF OC 2 点 P 的纵坐标是 2 则 x2 3x 1 2 解得 x 当 EF 最短时 点 P 的坐标是 0 或 0 考点 二次函数综合题 分析 1 由判别式 k 2 2 4 1 k2 k 2 k 2 0 即可证得无论 k 取何实数值 抛物线总与 x 轴有两个不同的交点 2 由抛物线于 x 轴交于点 A B 直线与 x 轴交于点 C 设 A B C 三点的横坐标 分别是 x1 x2 x3 可得 x1 x2 x3 k 1 继而可求得答案 3 由 CA GE CG AB 易得 CAG CBE 继而可证得 OAD OBE 则可得 又由抛物线与 x 轴的交点 A B 在原点的右边 直线与 x 轴的交点 C 在原 点的左边 又抛物线 直线分别交 y 轴于点 D E 可得 OA OB OD OE k 1 2 继而求得点 B 的坐标为 0 k 1 代入解 析式即可求得答案 解答 1 证明 k 2 2 4 1 k2 k 2 k 2 k 2 0 0 无论 k 取何实数值 抛物线总与 x 轴有两个不同的交点 2 解 抛物线于 x 轴交于点 A B 直线与 x 轴交于点 C 设 A B C 三点的横 坐标分别是 x1 x2 x3 x1 x2 令 0 k 1 x k 1 2 解得 x k 1 即 x3 k 1 x1 x2 x3 k 1 k 2 x1 x2 x3的最大值为 3 解 CA GE CG AB ACG BCE CAG CBE CAG CBE AOD BOE OAD OBE 抛物线与 x 轴的交点 A B 在原点的右边 直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边 又 抛物线 直线分别交 y 轴于点 D E OA OB OD OE k 1 2 OA OB OD OB2 OE OB k 1 点 B k 1 0 将点 B 代入抛物线 y x2 k 2 x 得 k 1 2 k 2 k 1 0 解得 k 2 抛物线的解析式为 y x2 4 x 3 考点 相似形综合题 二次函数的最值 等边三角形的性质 圆周角定理 解直角三角形 分析 1 只需找到两组对应角相等即可 2 四边形 ADFE 面积 S 可以看成 ADF 与 AEF 的面积之和 借助三角函数用 m 表示 出 AD DF AE EF 的长 进而可以用含 m 的代数式表示 S 然后通过配方 转化为二次 函数的最值问题 就可以解决问题 3 易知 AF 就是圆的直径 利用圆周角定理将 EDF 转化为 EAF 在 AFC 中 知道 tan EAF C AC 通过解直角三角形就可求出 AF 长 解答 解 1 DF AB EF AC BDF CEF 90 ABC 为等边三角形 B C 60 BDF CEF B C BDF CEF 2 BDF 90 B 60 sin60 cos60 BF m DF m BD AB 4 AD 4 S ADF AD DF 4 m m2 m 同理 S AEF AE EF 4 4 m m2 2 S S ADF S AEF m2 m 2 m2 4 m 8 m 2 2 3 其中 0 m 4 0 0 2 4 当 m 2 时 S 取最大值 最大值为 3 S 与 m 之间的函数关系为 S m 2 2 3 其中 0 m 4 当 m 2 时 S 取到最大值 最大值为 3 3 如图 2 A D F E 四点共圆 EDF EAF ADF AEF 90 AF 是此圆的直径 tan EDF tan EAF C 60 tan60 设 EC x 则 EF x EA 2x AC a 2 x x a x EF AE AEF 90 AF 此圆直径长为 2 抛物线 y x2 m n x mn m n 过 C 0 1 1 mn n B n 0 B 0 AO m BO CO 1 AC BC AB AO BO m m 2 2 2 AB2 AC2 BC2 ACB 90 3 A m 0 B n 0 C 0 mn 且 m 2 A 2 0 B n 0 C 0 2 n AO 2 BO n CO 2n AC BC n AB xA xB 2 n 当 AC BC 时 n 解得 n 2 A B 两点重合 舍去 或 n 2 当 AC AB 时 2 n 解得 n 0 B C 两点重合 舍去 或 n 当 BC AB 时 n 2 n 当 n 0 时 n 2 n 解得 n 当 n 0 时 n 2 n 解得 n 综上所述 n 2 时 ABC 是等腰三角形 解答 解 1 由题意可知 2 k 3 2 4 k2 1 0 即 12 k 5 0 2 x1 0 x2 0 3 依题意 不妨设 A x1 0 B x2 0 OA OB x1 x2 x1 x2 2 k 3 OA OB x1 x2 x1x2 k2 1 OA OB 2OA OB 3 2 k 3 2 k2 1 3 解得 k1 1 k2 2 k 2