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拼十年寒窗挑灯苦读不畏难;携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵。1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标:1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)自 主 预 习探 新 知1正弦曲线正弦函数ysin x,xR的图象叫正弦曲线图1412正弦函数图象的画法(1)几何法:利用单位圆中正弦线画出ysin x,x0,2的图象;将图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法:画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0),(,0),(2,0),用光滑的曲线连接;将所得图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)3余弦曲线余弦函数ycos x,xR的图象叫余弦曲线图1424余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象,只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),(,1),(2,1),再用光滑的曲线连接思考:ycos x(xR)的图象可由ysin x(xR)的图象平移得到的原因是什么?提示因为cos xsin,所以ysin x(xR)的图象向左平移个单位可得ycos x(xR)的图象基础自测1思考辨析(1)正弦函数ysin x的图象在x2k,2k2(kZ)上的图象形状相同,只是位置不同()(2)正弦函数ysin x(xR)的图象关于x轴对称()(3)余弦函数ycos x(xR)的图象关于原点成中心对称()解析由ysin x(xR)图象可知(1)正确,(2)错误;由ycos x(xR)图象可知(3)错误答案(1)(2)(3)2请补充完整下面用“五点法”作出ysin x(0x2)的图象时的列表x02sin x100_;_;_.01用“五点法”作ysin x(0x2)的图象的五个关键点为(0,0),(,0),(2,0)故为,为0,为1.3函数ycos x,x0,2的图象与直线y的交点有_个2由图象可知:函数ycos x,x0,2的图象与直线y有两个交点合 作 探 究攻 重 难正弦函数、余弦函数图象的初步认识(1)下列叙述正确的是()ysin x,x0,2的图象关于点P(,0)成中心对称;ycos x,x0,2的图象关于直线x成轴对称;正、余弦函数的图象不超过直线y1和y1所夹的范围. A0B1个C2个D3个(2)函数ysin|x|的图象是()(1)D(2)B(1)分别画出函数ysin x,x0,2和ycos x,x0,2的图象,由图象(略)观察可知均正确(2)ysin|x|结合选项可知选B.规律方法1.解决正、余弦函数的图象问题,关键是要正确的画出正、余弦曲线2正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到3正、余弦曲线的对称性对称中心对称轴ysin x(xR)(k,0),kZxk,kZycos x(xR),kZxk,kZ提醒:对称中心处函数值为0,对称轴处函数值为1或1.跟踪训练1关于三角函数的图象,有下列说法:ysin x1.1的图象与x轴有无限多个公共点;ycos(x)与ycos |x|的图象相同;y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称;ycos x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的序号是_对,ycos(x)cos x,ycos |x|cos x,故其图象相同;对,ycos(x)cos x,故其图象关于y轴对称;作图(略)可知均不正确用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出下列函数的简图(1)y1sin x(0x2);(2)y1cos x(0x2). 【导学号:84352075】思路探究解(1)取值列表如下:x02sin x010101sin x10121(2)取值列表如下:x02cos x101011cos x01210描点连线,如图所示规律方法用“五点法”画函数yAsin xb(A0)或yAcos xb(A0)在0,2上简图的步骤(1)列表:x02sin x (或cos x)0(或1)1(或0)0(或1)1(或0)0(或1)yb(或Ab)Ab (或b)b(或Ab)Ab (或b)b(或Ab)(2)描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),(,y3),(2,y5),这里的yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数yAsin xb(yAcos xb)(A0)的图象提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度跟踪训练2用“五点法”画出函数ysin x,x0,2的图象解取值列表如下:x02sin x01010sin x描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)正弦(余弦)函数图象的应用探究问题1方程sin xx的实根个数有多少个?提示:在同一坐标系内分别作出ysin x,yx图象(略)可知在x0,1内,sin x1时不会相交,所以方程只有一个实根为0.2函数f(x)cos x在0,)内有多少个零点?提示:令f(x)0,所以cos x,分别作出y,ycos x的图象(略),可知两函数只有一个交点,所以f(x)在0,)内只有一个零点(1)函数y的定义域为_(2)在同一坐标系中,作函数ysin x和ylg x的图象,根据图象判断出方程sin xlg x的解的个数. 【导学号:84352076】思路探究(1)(2)(1)(1)由2sin x10得sin x,画出ysin x的图象和直线y.可知sin x的解集为.(2)建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数ysin x,xR的图象描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到ylg x的图象,如图所示由图象可知方程sin xlg x的解有3个母题探究:1.本例(1)中的“sin x”改为“cos x”,应如何解答?解由2cos x10得cos x,画出ycos x的图象和直线y.观察图象可知cos x的解集是.2本例(1)中函数改为ylg,应如何解答?解要使原函数解析式有意义,必须满足sin x.首先作出ysin x在0,2上的图象,如图所示,作直线y,根据特殊角的正弦值,可知该直线与ysin x,x0,2的交点横坐标为和;作直线y,该直线与ysin x,x0,2的交点横坐标为和.观察图象可知,在0,2上,当x或x时,不等式sin x成立,所以sin x的解集为或.规律方法1.用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法(1)作出ya,ysin x(或ycos x)的图象(2)确定sin xa(或cos xa)的x值(3)确定sin xa(或cos xa)的解集2利用三角函数线解sin xa(或cos xa)的方法(1)找出使sin xa(或cos xa)的两个x值的终边所在的位置(2)根据变化趋势,确定不等式的解集当 堂 达 标固 双 基1用五点法画y3sin x,x0,2的图象时,下列哪个点不是关键点()ABC(,0)D(2,0)A五个关键点的横坐标依次是0,2.2函数ycos x与函数ycos x的图象()A关于直线x1对称 B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称C由解析式可知ycos x的图象过点(a,b),则ycos x的图象必过点(a,b),由此推断两个函数的图象关于x轴对称3函数ysin x,x0,的图象与直线y0.99的交点有() 【导学号:84352077】A1个 B2个C3个D4个B观察图象(略)易知:有两个交点4不等式组的解集是_(,5当x时0sin x1,当x5时sin x0,所以原不等式的解集为(,55用“五点法”画出y2cos x3(0x2)的简图. 【导学号:84352078】解列表:x022cos x202022cos x313531描点、连线得出函数y2cos x3(0x2)的图象:8
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