单位冲击函数卷积学习教案

会计学1单位单位(dnwi)冲击函数卷积冲击函数卷积第一页，共28页。0 xd (x)110 xd (x,y)yd -函数(hnsh)的图示:定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则-dxxxx x)0( )( )( 0 , 0)( ffddf(x)称为检验函数.第1页/共27页第二页，共28页。)( )()( 00 xdxxxxfdf-证明思路:二者对检验函数在积分(jfn)中的作用相同.(练习)( 1)( xaaxdd推论: d (x)是偶函数2. 缩放性质 scaling与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.第2页/共27页第三页，共28页。设f (x)在x0点连续(linx), 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3) 第3页/共27页第四页，共28页。)(comb1)( 1)( ddxnxnxnn-表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑(kol)缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔(jin g)为t 的脉冲系列:)( )(comb-nnxxd定义: n为整数第4页/共27页第五页，共28页。)-( )()( )()(comb1)(-nnnxnfnxxfxxfddf(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行(jnxng)等间距抽样.xy二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)第5页/共27页第六页，共28页。(hnsh)：(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)(2) g(x)= f(x)comb(x- x0)/b第6页/共27页第七页，共28页。0-4:0-5:0-6:g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a)( )()( 00bxfdxbxxxf-d= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a)= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)h(x) = f(x) d (ax- x0)-axxaaxxa001dd-axxaxfa001d作图第7页/共27页第八页，共28页。bx-xcomb)()(0 xfxgbx-xbb0comb1 )(0-nnbxxbd )()(00-nnbxxnbxfbd第8页/共27页第九页，共28页。(1)axaxaxf5rectcomb1)(1-aaxaxaxf5rectcomb1)(2(2)第9页/共27页第十页，共28页。第10页/共27页第十一页，共28页。探测器输出(shch)的光功率分布axf (x )1/f0 x-22)()(axaxdfxgxxxxxdaxrectf)()(-xxxdaxrectf)()(-卷积运算第11页/共27页第十二页，共28页。设：物平面光轴上的单位(dnwi)脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后(yhu)的结果. 需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)第12页/共27页第十三页，共28页。物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生(chnshng)的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用(x yn)卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)x)()( ) () ()(xhxfdxhfxg-xxx第13页/共27页第十四页，共28页。-xxxdxhfxhxfxg) () ( )()()(*: 卷积符号(fho) g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和. -hxhxhxddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),(g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:第14页/共27页第十五页，共28页。h()1/5 5 90f()1/3 4 60f()1/3 4 60h(-)1/5 -9 -50 xh(x-) x-9 x-5 4 60练习(linx): 计算rect(x)*rect(x) 9 11 13 15 g(x) x 0 2/151.用哑元t 画出函数(hnsh)f(t)和h(t);2.将h()折叠成h(-);3.将h(-)移位至给定的x, h-( -x)= h(x -);4.二者相乘;5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).步骤:第15页/共27页第十六页，共28页。练习(linx): 计算rect(x) *rect(x) -1 0 1 g(x) x 11.用哑元画出 二个 rect()2.将rect(t)折叠(zhdi)后不变;3.将一个rect(-)移位至给定的x0, rect-( -x0)= rect(x0 - );4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x0).rect()1 -1/20 1/2|x| 1; g(x) = 0-1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- xrect()1 -1/20 1/2 x0-1/2 x0 x0+1/2rect()1 -1/20 1/2rect(x)*rect(x) = tri(x)第16页/共27页第十七页，共28页。探测器输出(shch)的光功率分布:af (x )1/f0 xx)()()()()()(22axrectxfdaxrectfdfxgaxax-xxxxx第17页/共27页第十八页，共28页。-22)()()(axaxdfaxrectxfxgxx讨论(toln)这个结果0002202)2(2sin)2(2sin2)2cos(2faxfaxfadfaxaxxx-)2cos()( csin2)sin()2cos(200000 xfafafafxfaf(x)=2+cos(2f0 x)第18页/共27页第十九页，共28页。)()()(xgxhxf)()()(xgxfxh若证明(zhngmng)：)() () () () () () () (xgdxxxhxfdxxxhxfxdxxhxf-令 x-x = xxxxxxxdhxfdxfhxfxh)()()()()()(-证:第19页/共27页第二十页，共28页。)()()(xgxhxf若)()()(00 xxgxhxxf-证明(zhngmng)：第20页/共27页第二十一页，共28页。1. 卷积满足(mnz)交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x) = h (x)* f (x) 推论(tuln):卷积是线性运算 Linearity av(x) + bw(x)*h(x) = av(x)* h (x) + bw(x )* f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Propertyv(x) + w(x) * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 3.卷积满足结合律 Associative Property v(x) * w(x)*h(x) = v(x) * h(x) *w(x)= v(x)*w(x)* h(x)第21页/共27页第二十二页，共28页。4. 卷积的位移(wiy)不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0) 5. 卷积的缩放性质(xngzh) Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则 bxgbbxhbxf第22页/共27页第二十三页，共28页。即任意(rny)函数与d(x) 卷积后不变-)()()()()(xfdxfxxfxxdxd根据(gnj) 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置. f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:第23页/共27页第二十四页，共28页。ldxy(透透 过率过率=输出输出(shch)/输入输入)第24页/共27页第二十五页，共28页。若要求(yoqi)写出解析运算式:f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0？第25页/共27页第二十六页，共28页。*=ldxyt (x, y)2/circ22lyxd (x+d/2) + d (x-d/2 ) =* 位相板: 输出 输入(shr) ex(j ), 即: 透过率 ex(j ) -1d (x+d/2 - d (x-d/2)t (x, y)2/circ22lyx=*若右边(yu bian)园孔上加p 位相板, 则x0dlxyy第26页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结会计学。y。普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度。d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度。第3页/共27页。定义: n为整数。梳状函数与普通函数的乘积:。设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)。物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)。卷积 概念的引入：回到前面的例题。0-9. 利用(lyng)梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。第26页/共27页第二十八页，共28页。