结构动力学之结构的稳定计算学习教案

会计学1结构动力学之结构的稳定结构动力学之结构的稳定(wndng)计算计算第一页，共33页。第1页/共32页第二页，共33页。1）若结构能够回到原来的平衡位置， 则原来的平衡状态(zhungti)成为稳定平衡状态(zhungti)。2）若结构继续偏离，不能够回到原来的平衡位置， 则原来的平衡状态成为不稳定平衡状态。3）结构由稳定平衡过渡到不稳定平衡的中间状态 则为中性平衡状态。第2页/共32页第三页，共33页。 研究稳定问题是考虑变形后的状态来进行分析(fnx)的，分析(fnx)时有大变形和小变形两种理论。 稳定是指对结构(jigu)施加一微小干扰，使其离开初始位置，当干扰力撤去以后，结构(jigu)能恢复到原来的平衡位置。反之，若干扰力撤去以后不能回到原来的位置，则称结构(jigu)失稳。 工程中通常有两类失稳问题，即第一类稳定问题和第二类稳定问题。对于没有缺陷的完善体系，属于第一类失稳问题；对于存在初弯曲或初偏心等缺陷的结构，其失稳时一般遵循第二类稳定问题的规律。第3页/共32页第四页，共33页。中心(zhngxn)压杆的荷载位移曲线特征：当荷载小于临界荷载时，结构无初始位移，受到干扰力作用时，变形可恢复；当荷载大于临界荷载时，结构受到一微小(wixio)干扰就会突然产生较大的侧移而失稳。 Pcr称为临界荷载，它对应的状态称为临界状态，因为B点为稳定平衡与不稳定平衡的分支点，所以Pcr又称为分支荷载，又由于结构破坏的突然性，Pcr又称屈曲荷载。ABPPcrBAmB不稳定平衡稳定平衡 压杆和梁等结构屈曲后所承担的荷载可略有增加，但由于变形迅速增大，故不考虑此部分承载力。P2POP1DPc rDCAB稳定稳定不稳定不稳定小挠度小挠度大挠度大挠度第4页/共32页第五页，共33页。 第二类稳定问题(wnt)应按大挠度理论建立应力应变关系，并且在荷载达到临界值之前，结构部分进入塑性状态，不在讨论之列。特征：结构受力开始就有变形，当力大于Pcr时，结构变形发展很快，在此过程中无突然(trn)变化，但是由于变形的增大或材料的应力超出许可值导致结构不能工作。 偏心受压杆及荷载-位移曲线(a) 偏心受压杆PePPPOPe(b) 荷载位移曲线（P 曲线）Pc rCAB第5页/共32页第六页，共33页。稳定验算与强度(qingd)验算区别稳定验算强度验算目的防止出现不稳定的平衡状态保证结构的实际最大应力不超过相应的强度指标内容研究结构同时存在的两种本质不同的平衡状态的最小荷载值，即临界荷载求解结构在荷载下的内力问题分析方法根据结构变形后的状态建立平衡方程求临界荷载采用未变形前的状态建立平衡方程及变形协调条件求内力实质是变形问题是应力问题第6页/共32页第七页，共33页。以下图所示单自由度体系(tx)为例研究crPP 时，体系处于稳定平衡(wndng pnghng)状态crPP 时，体系处于不稳定平衡状态lABPPcrk第7页/共32页第八页，共33页。结构变形后的平衡(pnghng)状态如图（b），由B点平衡(pnghng)得：0sinkPl方程(fngchng)有两解：1、 0当lkP时，稳定平衡lkP不稳定平衡lkP随遇平衡sin0lkP按大挠度理论(lln)分析Lsin （b）PPcrkBAkPk/l（a）lsin HdHd稳定平衡不稳定平衡第8页/共32页第九页，共33页。为求P最大值，令0ddP0)cos(sinsin12lkddP0cossin即tan代入时式（1）可以(ky)得到：不考虑分枝点后P的增加，则lkPcr/0时2、随遇平衡(suy-pnghng)不稳定平衡(wndng pnghng)稳定平衡PcrDABCPOsinlkP (1)cos1sintanlklkP因此，按大挠度理论分析第9页/共32页第十页，共33页。 可以为任意值，即结构处于随意(su y)平衡状态。大小挠度理论求出的分枝点荷载临界值是相同的，但是失稳后的承载能力结论是不同的。按小挠度(nod)理论分析sintan1cos0kPl1、0 P为任意值，即无外界干扰时，结构无挠度(nod)，不会失稳。lkP/即有外界干扰时，结构失稳时的临界荷载为：lkPcr/02、由小挠度理论：平衡方程可以简化为：随遇平衡CABPOPcr第10页/共32页第十一页，共33页。求图示结构的临界求图示结构的临界(ln ji)(ln ji)荷载荷载. .P PEIlkyP P解解: :应变应变(yngbin)(yngbin)能能ykyVe21PPViie*外力势能外力势能2sin2cos2lllly)ly( l)( l22122222lPy22结构势能结构势能*PePVVE22ylPlk 0ylPlkdydEPlkPcr由势能驻值原理由势能驻值原理得临界荷载得临界荷载第11页/共32页第十二页，共33页。无限自由度体系的典型代表：压杆稳定无限自由度体系的典型代表：压杆稳定(wndng)(wndng)问题问题静力法解题静力法解题(ji t)(ji t)思路：思路： 1 1）先对变形状态建立平衡方程；）先对变形状态建立平衡方程； 2 2）根据平衡形式的二重性建立特征方程；）根据平衡形式的二重性建立特征方程； 3 3）由特征方程求出临界荷载）由特征方程求出临界荷载 无限自由度体系的平衡方程为无限自由度体系的平衡方程为微分方程微分方程而不是而不是代数方程，是区别于有限自由度体系的不同点代数方程，是区别于有限自由度体系的不同点第12页/共32页第十三页，共33页。pcryxx)1()( xlRypM)( 1 xlRpyyEIyEIM ）：）：代入式（代入式（将将 离体、写平衡方程离体、写平衡方程解：建立坐标系、取隔解：建立坐标系、取隔)2()( ,2 xlEIRyyEIp 则则：令令)( sin cos2xlpRxBxAy微分方程，其解：）为常系数二阶非齐次式（程程中中的的常常数数：由由边边界界条条件件确确定定微微分分方方 0pR0BlsinAlcos0 y lx0pR1BA00 y0 x0pRlB0A10 y0 x 00 sin cos1 0 0 1 ll l D ：稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）lltglll 0 sin cos plEIpcrM(x)yRl-x第13页/共32页第十四页，共33页。左式为“超越方程”lltg 解解“超越方程超越方程(fngchng)”(fngchng)”的两种方法：的两种方法：1、逐步逼近(bjn)法（试算法）：。而而求求得得使使其其逐逐渐渐逼逼近近于于零零，从从算算初初值值后后，代代入入方方程程，计计给给 , lltg 2、图解法： 以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点，确定l。l z02 23 225 493. 4lz ltgz 22222)7 . 0(19.20493. 4 493. 4 lEIlEIEIpEIplcrcr 得得：代代入入将将第14页/共32页第十五页，共33页。例14-1 试求图示结构(jigu)的临界荷载)1()( ypM ppyyEIyEIM 1 ）：代代入入式式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2( ,22 yyEIp则则：令令yxxpcrpcrM(x)y plEIlEIABCxBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解为为：第15页/共32页第十六页，共33页。xBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解为为：) sin cos(1 cos sin 3000 0020101 0012 BlAllBlAll y-yl xBA y xBA yxlx）（）（）（、边界条件：、边界条件：0sincoscossin l)Bll(l)All( 即即：00 sincoscossin(0 01 01 l) ll(l) ll 于是：于是：lltg 13 定定方方程程：、展展开开、整整理理后后，得得稳稳2274. 04lEIEIpcr 、解稳定方程，得：、解稳定方程，得：第16页/共32页第十七页，共33页。（另法）试求图示结构(jigu)的临界荷载)( ypppyMpyMA 离离体体写写平平衡衡方方程程下下半半部部为为隔隔解解：建建立立坐坐标标系系后后，以以yxxpcrplEIlEIABCAyM(x)p pMA xy亦亦得得同同样样结结果果。第17页/共32页第十八页，共33页。（一）用能量原理(yunl)建立的能量准则（适用于单自由度体系）2、解题(ji t)思路1、三种平衡状态（1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。（2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。（3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。图1图2图3（1）当外力为保守力系时（外外力力势势能能）（变变形形势势能能）（体体系系的的总总势势能能）WU 外力的功）(TWrrTU （2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时。则原体系处于稳定平衡则原体系处于稳定平衡若若, rTU 衡衡。则则原原体体系系处处于于不不稳稳定定平平若若, rTU 荷荷载载。，利利用用此此条条件件确确定定临临界界则则原原体体系系处处于于随随遇遇平平衡衡若若, rTU 第18页/共32页第十九页，共33页。（3）直杆稳定(wndng)（刚性杆）rTU 依依能能量量准准则则：)cos1 ()sin(21 2 pllk即即216421 75312542753.!cos.!sin221 22 pl)l (k klpcr k EI lcrp p第19页/共32页第二十页，共33页。lcrpexydxde dsEANdsGAkQdsEIMUlll 020202212121 )1( 变变形形能能：MyEI 不计剪力、轴力影响，不计剪力、轴力影响， (A)ds)yEI(21U l02 lrdeppeT0 )2(外外力力的的功功： lrBdxypTdxydxdxde0222)()(21)(212)cos1( )(dx)y(dx)y(EIpBA)(llcr2414 30202 ）：）：式（式（）依能量准则，令式（依能量准则，令式（第20页/共32页第二十一页，共33页。（二）用势能原理建立(jinl)的能量准则（适用于多自由度体系）设弹性(tnxng)曲线为多参数曲线： niiixaxaxaaxy1332211)()()()( dx)a(EIpdx)a(EIdx)y(EIpdx)y(EITUWUiiiir22222121 2121 总总势势能能： 依“势能驻值原理”：临界状态下真实的变形(bin xng)曲线应使体系的总势能为驻值。), 3 , 2 , 1( 0niai n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij 得：第21页/共32页第二十二页，共33页。 0SK 这就是计算临界荷载(hzi)的特征方程，其展开式是关于P的n次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载(hzi)。 00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaaSSSSSSSSSKKKKKKKKK得：n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij xEIKjiijd xPSjiijd 令：0S)a(K 简写为：第22页/共32页第二十三页，共33页。弹性(tnxng)支承等截面直杆的稳定计算具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况(qngkung)下有四类 MA= k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA= k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI第23页/共32页第二十四页，共33页。一端(ydun)固定、一端(ydun)为弹性支座 xlky)P(M x)(lky)P(MyEI xlkPPyyEI x)(lPk1xBcosxAsinyPc rBxklyxyEIEIP 令令 0BcosclAsin0PkA0Pkl1B00cososiniEIk0EIkl11022 由边界条件：x=0处，y=y=0；x=l处，y=。得到(d do)： xlEIkEIPyy 2 kEIlltan3 第24页/共32页第二十五页，共33页。MA= k ABPc rxxyyEI一端(ydun)自由、另一端(ydun)为弹性抗转支座00 1 y:x)( kPy:x)( 0 2EIkltanl 边界条件：)y(PM 平衡方程：稳定(wndng)方程：第25页/共32页第二十六页，共33页。一端铰支、另一端为弹性(tnxng)抗转支座0 2 y:lx)( klRy,y:x)(B 0 0 1边界条件： )xl (RPyMB 平衡方程：稳定(wndng)方程：lkEI)l(lltan 211 MA= k APc rxyyRBEI第26页/共32页第二十七页，共33页。一端(ydun)铰支、另一端(ydun)为弹性支座 yPc rBxkAEI0)(lcosR)P(lsin0,MBA 考虑在小变形(bin xng)情况下，取sin=、cos=1， 上式改写为 0lRPlB 弹簧(tnhung)的支反力 klRB 临界荷载 ： klPcr 第27页/共32页第二十八页，共33页。)1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 则则：令令lpRxBxAyxlpRxBxAycc cos sin )( sin cos 解解为为：0cossin )3(0 sin cos 0300 002001 0012 lplRlBlAlyl xlBlAl yxplRBA y xplRBA yxccc ）（）（）（、边界条件：、边界条件：补充补充(bchng)例题（例题（1）试求图示结构的临界荷载）试求图示结构的临界荷载yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRc第28页/共32页第二十九页，共33页。)1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 则则：令令 )( cos sinxlpRxBxAyc 解为：解为：lllBlAlylxBlAll yxBA yx sincos )3(0 cos sin 02000 0012）（）（、边界条件：、边界条件：补充例题（补充例题（2）试求图示结构的稳定方程及临界）试求图示结构的稳定方程及临界(ln ji)荷载荷载yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRclPRlRPMCCA 0 0lxBxAylxxBxAy sincos cos sin解为：解为：2467. 2 2 0lEIpllcr 临界荷载：临界荷载：稳定方程：稳定方程： 第29页/共32页第三十页，共33页。补充补充(bchng)例题（例题（3）试求图示结构的稳定方程及临界荷载）试求图示结构的稳定方程及临界荷载解：)()()(xlkypXM pEIEIlABCDp1IABk kB xy2I1 pl32233 ;3lEIkEIl EA pk k M(x)yx yxyxyx , 03 0 , 02 0 , 01 ）（）（）（边界条件：边界条件：第30页/共32页第三十一页，共33页。补充例题（补充例题（4）试求图示结构）试求图示结构(jigu)的临界荷载的临界荷载解：)()(xlQpyXM kQlyxylxyx , 03 0 ,2 0 , 01 ）（）（）（边界条件：边界条件：pxyxABM(x)yBQp3)(12llltg 726. 3 l 29 .13lEIpcr 1 zlEI3pEIlABEIl第31页/共32页第三十二页，共33页。NoImage内容(nirng)总结会计学。结构动力学之结构的稳定计算。假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微扰动而稍微偏离原来位置。则原来的平衡状态成为稳定平衡状态。则原来的平衡状态成为不稳定平衡状态。3）结构由稳定平衡过渡到不稳定平衡的中间状态。有大变形和小变形两种理论。工程中通常有两类失稳问题，即第一类稳定问题和第二类。当荷载大于临界荷载时，结构受到一微小(wixio)干扰就会突然产生较大的侧移而失稳。(b) 荷载位移曲线（P 曲线）。p第三十三页，共33页。