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初中数学竞赛辅导资料（60）解三角形甲内容提要1 .由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形2 .解直角三角形所根据的定理（在RtAABC中，/ C=Rt/）. 边与边的关系：勾股定理一一 c2=a2+b2 角与角的关系：两个锐角互余/ A+/B=Rt/ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA= , CosA=, tanA=, CotA=. 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90 A尸 CosA ,Cos(90 A)= SinA ,tan(90 A)= CotA,Cot(90 A)= tanA.角A的度数030456090SinA的值01CosA的值10tanA的值01不 存 在CotA的值不 存 在10锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）;余弦、余切随着角度的增大特殊角的三角函数值：而减小（即减函数）3 .解斜三角形所根据的定理（在4ABC中）正弦定理：=2R.（R是 ABC外接圆半径）. 余弦定理：c2=a2+b22abCosC; b2=c2+a22ca CosB; a2=c2+b2-2cbCosA. 互补的两个角的三角函数的关系：Sin（180-A）= sinA ,Cos（180 A尸 一cosA ,tan（180 A）= cotA , cotA（180 A）= tanA. Saabc = absinC=bcsinA=casinB.4 .与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角,方位角等.乙例题CDXAD , CB = 2, CD = 1.例1.已知：四边形 ABCD中，/A = 601 CBXAB , 求：AC的长.解：延长 AD和BC相交于E,则/ E= 30 :CD在 RtAECD 中， sinE= ,EB = 4.CE=-1_z=1- 1 = 2.sin 302AB在 RtAEAB 中， tanE=EBAB=EBtan30 =匕!3又解：连结BD ,设 根据勾股定理根据勾股定理AC = 22+ （AB 为 x, AD 为 y.AC2 = x2+22=y2+12根据余弦定理BD2=x2+y22xyCos60 ：=22+ 122X 2 X 1Cos120 ：.得方程组二 2x2x2_ yy23 = 0,解这个方程组,4.3，一，.x=一一.（以下同上一解）例2. 已知：如图，要测量山 AB角的度数为n和m, CD=a.解：设AB为x, BD为y.的高,在和B同一直线上的 C, D处，分别测得对A的仰试写出表示AB的算式.在 RtA ABD 和 RtAABC 中,ABxCotm=xCotn a .y =xcotm,y +a = xcot n.x=Cotn -Cotm答：山高AB =Cotn 一 Cotm例3.已知：四边形 ABCD中，/ABC =135 ,/ BCD =120 CD=6, AB =（1991年全国初中数学联赛题）BFXAE 于 F,CGXAE 于 G.BC= 5 73 .求：AD的长.解：作AE / BC交CD于E在 RtA ABF 中，BF= 45二，那么下列函数的取值范围是：SinA, CosA, tanA, cotA 已知：30 Z A60那么如下的函数的取值范围是/ A的余弦, / A的正切 .A从塔顶A测得地面上aCBDBED30mCD=mAB.BCABCc=10787DB.CDABC11E如不能N求证AC=1D13Cc1CBBC边的高AF(h)并延长交圆于返回目录12A的仰角为G,连结GE说明理由；如能请解这个三角形SinC=3 : 5发出呼救，报告说：它沿着方位角240NR MA15和20海里，3小时后a=21, b=17先在楼下C测得对顶端A10.已知 求证提示13. 如图已知：锐角 ABC0, 456.如图要测量建筑物 ABABCD为圆内接四边形 ,连结PR和MQ交1PN BMSaabc . ABC 中，SinA : SinB ABC的最大角的度数.求CD的距离.4.船A在船B的正北，它们同时向东航行，时速分别是 在船A的东南，问这时两船相距多远？的北偏西60 ,求船的航行速度仰角为45 ,然后在楼上D测得对求证： Coscw CosA+ . 3 SinA求AB的长.3.如图观测塔AB的高为aBC=2 ,不用正弦定理能解G5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A的北偏东30一，相距15海里，2小时后，灯塔在船方向前进，速度是每小时9海里.A艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向 要经过几小时才能靠近船 B ?锐角三角形 ABC的外接圆直径 AE交BC tanBXtanC=AD : DE9.船B在艇A的方位角120 相距24海里处A=45 ， AB=12. 如图已知：BC, CD, AD,AB=c同一方向上的两个目标C, D的俯角分别是30二和452.已知： ABC 中，/ B = 45 AC =7,点 D 在 BC 上，CD = 3, D = 5.
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