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第六章 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第六章 数列第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一局部 五年高考体题荟萃2021年高考题一、选择题1.(2021年广东卷文)等比数列的公比为正数，且=2，=1，那么= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】设公比为,由得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.(2021安徽卷文为等差数列，那么等于A. -1 B. 1 【解析】即同理可得公差.选B。【答案】B3.2021江西卷文公差不为零的等差数列的前项和为.假设是的等比中项, ,那么等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C【解析】由得得,再由得 那么,所以,.应选C4.2021湖南卷文设是等差数列的前n项和，那么等于( )A13 B35 C49 D 63 【解析】应选C.或由, 所以应选C.5.2021福建卷理等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 那么公差d等于A1 B C.- 2 D 3【答案】：C解析且.应选C 6.2021辽宁卷文为等差数列，且21, 0,那么公差dA.2 B. C.【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d【答案】B7.2021四川卷文等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为，那么.0，解得2，1008.2021宁夏海南卷文等差数列的前n项和为，,那么A.38 B.20 C 【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即2m1238，解得m10，应选.C。9.2021重庆卷文设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，那么的前项和= A B CD【答案】A【解析】设数列的公差为，那么根据题意得，解得或舍去，所以数列的前项和二、填空题10.2021全国卷理 设等差数列的前项和为，假设,那么= 答案 24解析 是等差数列,由,得. 11.2021浙江理设等比数列的公比，前项和为，那么 答案：15解析 对于12.2021北京文假设数列满足：，那么 ；前8项的和 .用数字作答答案 225解析 此题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于根底知识、根本运算的考查.，易知，应填255.13.2021全国卷文设等比数列的前n项和为。假设，那么= 答案：3解析：此题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=314.2021全国卷理设等差数列的前项和为，假设那么 解析 为等差数列，答案 915.2021辽宁卷理等差数列的前项和为，且那么 解析 Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4答案 三、解答题16.2021浙江文设为数列的前项和，其中是常数 I 求及； II假设对于任意的，成等比数列，求的值解当， 经验，式成立， 成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 17.2021北京文设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.假设，求；假设，求数列的前2m项和公式；是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】此题主要考查数列的概念、数列的根本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法此题是数列与不等式综合的较难层次题.解由题意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整数为7，即.由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当或时，得或， 这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.18.(2021山东卷文)等比数列的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 1求r的值； 11当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以2当b=2时，, 那么 相减,得所以【命题立意】:此题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及求的基此题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.19.2021全国卷文等差数列中，求前n项和. 解析：此题考查等差数列的根本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设的公差为，那么 即解得因此20.2021安徽卷文数列 的前n项和，数列的前n项和求数列与的通项公式；设，证明：当且仅当n3时， 【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比拟大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于当时, 又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为 (2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立. 因此,当且仅当时, 21.2021江西卷文数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 22. 2021天津卷文等差数列的公差d不为0，设假设 ,求数列的通项公式；假设成等比数列，求q的值。假设1解：由题设，代入解得，所以 2解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得3证明：由题设，可得，那么 -得，+得， 式两边同乘以 q，得所以3证明：=因为，所以假设，取i=n，假设，取i满足，且，由12及题设知，且 当时，由，即，所以因此 当时，同理可得因此 综上，【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等根本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。23. 2021全国卷理设数列的前项和为 I设，证明数列是等比数列 II求数列的通项公式。解：I由及，有由， 那么当时，有得又，是首项，公比为的等比数列II由I可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第I问思路明确，只需利用条件寻找第II问中由I易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。24. 2021辽宁卷文等比数列的前n 项和为，,成等差数列1求的公比q；2求3，求 解：依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 由可得 故 从而 10分25. 2021陕西卷文数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。1证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。2解由1知当时，当时，。所以。26.2021湖北卷文an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：假设数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前n项和Sn 解1解：设等差数列的公差为d，那么依题设d0 由a2+a7 由得 由得将其代入得。即 2令两式相减得于是=-4=27. 2021福建卷文等比数列中， I求数列的通项公式； 假设分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。解：I设的公比为由得，解得由I得，那么， 设的公差为，那么有解得 从而 所以数列的前项和282021重庆卷文本小题总分值12分，问3分，问4分，问5分求的值； 设为数列的前项和，求证：；求证：解：，所以由得即所以当时，于是所以 当时，结论成立当时，有所以 20052021年高考题一、选择题1.2021天津假设等差数列的前5项和，且，那么( )A.12 B.13答案 B2.2021陕西是等差数列，那么该数列前10项和等于 A64 B100 C110 D120答案 B3.2021广东记等差数列的前项和为，假设，那么 A16 B24 C36 D48答案 D 4.2021浙江是等比数列，那么= A.16 B.6 C. D.答案 C5.2021四川等比数列中，那么其前3项的和的取值范围是()A. B.C. D.答案 D6.2021福建)设an是公比为正数的等比数列，假设n1=7,a5=16,那么数列an前7项的和为( )A.63B.64答案 C7.2007重庆在等比数列an中，a28，a564，那么公比q为A2 B3 C4 D8答案 A 8.2007安徽等差数列的前项和为假设A12 B10 C8 D6答案 B9.2007辽宁设等差数列的前项和为，假设，那么A63 B45 C36 D27答案 B10.(2007湖南) 在等比数列中，假设，那么该数列的前10项和为A B C D答案 B11.(2007湖北)两个等差数列和的前项和分别为A和，且，那么使得为整数的正整数的个数是A2 B3 C4 D5答案 D12.(2007宁夏)成等比数列，且曲线的顶点是，那么等于A3 B2 C1 D答案 D13.(2007四川)等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,那么n=A9 B10 C11 D12答案 B14.2006湖北假设互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且，那么A4 B2 C2 D4答案 D解析 由互不相等的实数成等差数列可设abd，cbd，由可得b2，所以a2d，c2d，又成等比数列可得d6，所以a4，选D15.2005福建等差数列中，的值是 A15B30C31D64答案 A16.2005江苏卷在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ，前三项和为21，那么a3+ a4+ a5=( )A .33 B. 72 C. 84 D .189答案 C二、填空题17.2021四川设等差数列的前项和为，假设，那么的最大值为_.答案 418.2021重庆)设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,那么S16= .答案 -7219.(2007全国I) 等比数列的前项和为，成等差数列，那么的公比为答案 20.2007江西等差数列的前项和为，假设，那么答案 721.2007北京假设数列的前项和，那么此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项答案 22.2006湖南数列满足：，2，3.那么. 答案 解析 数列满足： ，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .三、解答题23.2021四川卷 设数列的前项和为，证明：当时，是等比数列；求的通项公式解 由题意知，且两式相减得即 当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。当时，由知，即 当时，由由得因此得24.2021江西卷数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.1求；2求证.解：1设的公差为，的公比为，那么为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子之一，解得故225.2021湖北.数列和满足：,其中为实数，为正整数.对任意实数，证明数列不是等比数列；试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；设,为数列的前，使得对任意正整数，都有?假设存在，求的取值范围；假设不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等根底知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，总分值14分证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，那么有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)nan-3n+21=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以18为首项，为公比的等比数列.()由知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -+18n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSn2.26.2005北京数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 Ia2，a3，a4的值及数列an的通项公式； II的值.解：I由a1=1，n=1，2，3，得，由n2，得n2，又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为27.2005福建是公比为q的等比数列，且成等差数列. 求q的值；设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比拟Sn与bn的大小，并说明理由.解：由题设 假设当 故假设当故对于第二局部 三年联考题汇编2021年联考题一、选择题1.(北京市朝阳区2021年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，假设，那么等于 A0 B2 C2021 D4018 答案 D2. (北京市西城区2021年4月高三一模抽样测试理) 假设数列是公比为4的等比数列，且，那么数列是 A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列答案 A3.2021福州三中等差数列an的前n项和为Sn，假设，那么的值为 A2B4C7D8答案 B4.2021厦门一中文在等差数列中， ,那么 其前9项的和S9等于 A18 B 27 C 36 D 9答案 A5.2021长沙一中期末各项不为零的等差数列中，那么的值为 AB4CD答案 B6.2021宜春在等差数列中，那么数列的前9项之和等于 A.66 B99 C144 D.297答案 B7.辽宁省局部重点中学协作体2021年高考模拟设等差数列的前n项和为 A18B17C16D15答案：C.二、填空题8.(北京市东城区2021年3月高中示范校高三质量检测理)等差数列的公差，且成等比数列，那么的值为 答案 9.2021福州八中数列那么 , 答案 100 5000；10.2021宁乡一中第三次月考11、等差数列中，且，那么公差= 答案 1011.2021南京一模等比数列的各项均为正数，假设，前三项的和为21 ，那么 答案16812.2021上海九校联考数列的前项和为，假设，那么 .答案 128三、解答题13.2021龙岩一中设正整数数列满足：，当时，有I 求、的值；求数列的通项；() 记，证明，对任意， .解时，由，得，因为为正整数，所以，同理2分由可猜测：。3分证明：时，命题成立；假设当与时成立，即，。4分于是，整理得：，5分由归纳假设得：，6分因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。综上：由知知对于，有成立7分()证明：由 得 式减式得 9分 式减式得 11分13分那么 14分14.2021常德期末数列的前n项和为且，数列满足且求的通项公式；求证：数列为等比数列;求前n项和的最小值解： (1)由得, 2分 4分(2),; 由上面两式得,又数列是以-30为首项,为公比的等比数列.8分(3)由(2)得，= ，是递增数列 11分当n=1时, 0；当n=2时, 0；当n=3时, 0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且13分9月份更新一、选择题1.2021滨州一模等差数列中，那么的值为A15 B23 C25 D37答案 B2.2021上海十四校联考无穷等比数列各项的和等于 ABCD答案B3.2021聊城一模两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，假设ab，那么双曲线的离心率e等于 A B C D答案B二、填空题1.2021上海十四校联考假设数列为“等方比数列。那么“数列是等方比数列是“数列是等方比数列的 条件2.2021上海八校联考在数列中，且，_。答案 2550三、解答题1.2021滨州一模曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中I求与的关系式；II令，求证：数列是等比数列；III假设为非零整数，nN*，试确定的值，使得对任意nN*,都有cn+1cn成立。(1) 解：过的直线方程为联立方程消去得即2是等比数列 ，;III由II知，要使恒成立由=0恒成立，即1n-n1恒成立。当n为奇数时，即n1恒成立又n1的最小值为1n-1恒成立，又n1的最大值为，11分即1，又0，为整数，1，使得对任意nN*,都有12分2.2021上海青浦区设数列的前和为，一般地，1求；2求；3求和：1； 3分2当时， 6分所以， 8分3与2同理可求得：， 10分设=，那么，用等比数列前n项和公式的推导方法，相减得，所以 14分3.2021上海八校联考点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、构成以为顶点的等腰三角形。1证明:数列是等差数列；2求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；3对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分解: (1)依题意有,于是.所以数列是等差数列. .4分(2)由题意得,即 , () 所以又有. 由得：,所以是常数分由都是等差数列. ，那么得 ,. ( 分故 1分(3) 提出问题：假设等腰三角形中，是否有直角三角形，假设有，求出实数 提出问题：假设等腰三角形中，是否有正三角形，假设有，求出实数解：问题 1分当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为那么,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 分当为奇数时,有,即 ， 当, 不合题意.15分当为偶数时,有 ，,同理可求得 当时,不合题意. 1分综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 1分解：问题 1分当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为那么,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 分当为奇数时,有,即 ， 当时，. 不合题意15分当为偶数时,有 ，,同理可求得 .；当时，不合题意1分综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为；1分20072021年联考题一、选择题1. 上海市局部重点中学高三第一次联考 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，假设是一个定值，那么以下各数中为定值的是 A、 B.S C、 D、答案 B2.(山东省潍坊市20072021学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，那么的值为 ABC. D或答案 C3.(湖南省2021届十二校联考第一次考试)在等比数列 ABCD答案 D4. (200年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考一)正项等比数列满足,那么数列的前10项和是A65 B65 C25 D. 25答案 D5. (上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试二) 等差数列an共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，那么该数列的公差为 A3 B3 C2 D1答案 B二、填空题6.江苏省省阜中2021届高三第三次调研考试数学 在等差数列中，假设它的前n项和有最大值，那么使取得最小正数的 . 答案197.20072021学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷为等差数列的前n项和，假设，那么= 答案 4解析： 由，即 ，得，故=48.山东省潍坊市2021年高三教学质量检测 设等差数列an的前n项和为Sn，假设，那么S19=_答案 1909.(江西省临川一中2021届高三模拟试题)等差数列有如下性质，假设数列是等差数列，那么当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当数列 时，数列也是等比数列。 答案 三、解答题10.2021江苏省阜中2021届高三第三次调研考试试题设集合W是满足以下两个条件的无穷数列的集合：； M是与n无关的常数(1)假设是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；(2)设数的通项为，求M的取值范围；(4分)解 (1)设等差数列的公差是d ，那么a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d =2， 所以，(2分)，得适合条件. (4分)；又，所以当n = 4或5时，Sn取得最大值20，即Sn 20，适合条件， (3分)，综上，. (1分)(2)因为，(2分)，所以当n3时，此时数列bn单调递减；(1分)当n = 1，2时，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7，所以M7(3分)11.(山东省潍坊市20072021学年度高三第一学期期末考试)数列，设 ，数列。 1求证：是等差数列； 2求数列的前n项和Sn； 3假设一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解：1由题意知，1分数列的等差数列4分2由1知，5分于是两式相减得8分3当n=1时，当当n=1时，取最大值是又即12分12.(武汉市2021届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列的前n项和，。1求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和解：1数列的前n项之和在n=1时，在时，而n=1时，满足故所求数列通项7分2因此数列的前n项和12分13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.(1)求数列，的通项公式；(2)假设 ， 问是否存在，使得成立；假设存在，求出的值，假设不存在，说明理由.(3)求证： + (2, )解 (1) (2) 假设存在符合条件的()假设为偶数，那么为奇数，有如果，那么与为偶数矛盾.不符舍去；() 假设为奇数，那么为偶数，有这样的也不存在.综上所述：不存在符合条件的.(3)
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