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正余弦定理例题解析例1在ABC中,如果a18,b24,A,则此三角形解的情况为( B ).A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定解: 由 bsinAab 故 有两解 选B例2在ABC中,a,b,A,则c等于( C ).A. 2B. C. 2或D. 以上都不对解: 由 bsinAab 故 有两解 选C例3在ABC中,abc357,则此三角形的最大内角是( B ).A. B. C. D.解:设a3k,b5k,c7k,由余弦定理易求得cosC-,所以最大角C为.例4(1) 在ABC中,若B,AB2,AC2,则ABC的面积是_.(2) ABC中,若AB1,BC2,则角C的取值范围是_.解:(1)sinC,于是C或,故A或, 由SABC可得答案2或.(2)如图所示,由已知得BC2AB,又 sinC 又 0CA 0C例5在ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A2absinC证明:由正弦定理知 故原式成立.例6在锐角三角形ABC中,A,B,C是其三个内角,记 求证:S1证明: , , cotBtanA即1, S1.例7在ABC中,如果lga-lgclgsinB-lg,且B为锐角,判断此三角形的形状.解:由lga-lgclgsinB-lg,得 sinB, 又B为锐角, B,又 得, sinC2sinA2sin(-C), sinCsinC+cosC, cosC0 即C, 故此三角形是等腰直角三角形.例8已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边. 若ABC面积为,c2,A,求b,a的值. 若acosAbcosB,试判断ABC的形状,证明你的结论.解: 由已知得, b1. 由余弦定理a2b2+c2-2bccosA3, a. 由正弦定理得:2RsinAa,2RsinBb,2RsinAcosA2RsinBcosB 即sin2Asin2B, 由已知A,B为三角形内角, A+B或AB, ABC为直角三角形或等腰三角形.例9如图所示,已知在梯形ABCD中ABCD,CD2, AC,BAD,求梯形的高.解:作DEAB于E, 则DE就是梯形的高. BAD, 在RtAED中,有DE=AD ,即 DEAD. 下面求AD(关键): ABCD,BAD, 在ACD中,ADC,又 CD2, AC, 即 解得AD3,(AD-5,舍). 将AD3代入, 梯形的高例10如图所示, 在ABC中,若c4, b7,BC边上的中线AD, 求边长a.解: AD是BC边上的中线, 可设CDDBx. c4, b7, AD, 在ACD中,有 在ACB中,有 x, a2x9.
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