普通高等学校招生全国统一考试正文附答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷n)理数本卷总分值150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分)一、选择题：此题共12小题,每题5分,在每题给出的四 个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+ 8)D.(- -3)2. 集合 A=(1,2,3,B=(x|(x+1)(x-2)5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(I) 求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率(n)假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比基本保费高出60%勺概率；(m)求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值19.(本小题总分值12分)如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6，点E,F分别在 AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点 孔将 DEF沿EF 折到ADEF的位置，OD= 一.(I)证明:DH 平面 ABCD;(II )求二面角 B-DA-C的正弦值.20.(本小题总分值12分)椭圆E:-+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点，点N在E上,MALNA.(I )当 t=4,|AM|=|AN| 时，求AMN的面积；(II)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.21.(本小题总分值12分)(I )讨论函数f(x)=ex的单调性，并证明当x0时,(x-2)e x+x+20;(n )证明：当a 0,1)时，函数g(x)= (x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.请考生在第2224题中任选一题作答，如果多做，那么按所 做的第一题计分.22.(本小题总分值10分)选修4 1:几何证明选讲如图，在正方形ABC帅,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重 合),且DE=DG过D点作DFLCE,垂足为F.(I )证明:B,C,G,F四点共圆；(n )假设AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF勺面积.23.(本小题总分值10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6) 2+y2=25.(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(n)直线1的参数方程是(t为参数),1与c交于A,B两点,|AB|= 求1的斜率.24.(本小题总分值10分)选修45:不等式选讲函数f(x)=- - +- ,M为不等式f(x)2的解集.(I )求 M;(n)证明:当 a,b CM 时,|a+b|1+ab|.2021年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷n)一、选择题1. A 由可得？- ?-3m1.应选A.2. C 由(x+1)(x-2)0 ?-1x2,输出 s=17.应选 C.9. D 解法一 :sin 2 a =cos- =cos 2 -=2cos 2 -1=2 X - -1=-.应选 D.解法二:cos -=一(cos a +sin a )=? cos a +sin a ? 1+sin 2 a, sir2a。一.应选 D.10. C 如图，数对(xi,yi)(i=1,2, -,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影局部)内，那么由几何概型的概率公式可得 一=二？兀=一.应选C.11. A 解法一：由 MF1x 轴，可得 M - , . |MF=.由 sin zMF2F=-,可得 cos zMF2F1 =- =，又 tan zMF2F1=, .-=- , 2=ac,2=a2+b2? b2=c2-a2, -2-a2-c=0 ? e2-一e-1=0,二 e=.应选 A.解法二：由MF1 _tx轴，得M - ,|MF=-，由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF 1|=2a+-,又sin zMF 2F1 =-？ a2=b2?a=b,e= =.应选 A.解题思路 解法一是利用三角函数的知识求出tan ZMF2F1,得到关于a,b,c的一个等式；解法二是先由双曲线的定义得出 |MF2|,再由sin zMF2F=-，得到关于a,b的一个等式，最后求出e.12. B由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称，又易知y=1 + -的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，那么X1+Xm=X2+Xm-1 = =0,y 1+ym=y2+ym-1 = =2,(xi+yi)=0 J+2X=m.应选 B.二、填空题13. 。答案 一解析 由可得 sin A=-,sin C= ，那么sin B=sin(A+C)= -又一+-x=,再由正弦定理可得 =? b=.解后反思在解三角形问题中，给出边长及角的正弦或余弦值时，往往要用到两角和或差的 正、余弦公式及正、余弦定理. 1答案爆解析 由m !n,m a，可彳晶/政n在a内，当n /时,a与6可能相交也可能平行，故错. 易知都正确.15.。答案 1和38解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.假设丙的卡片上的数字是1和2,那么乙的卡片上的数字是 2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意；假设丙的卡片上的数字是1和3,那么乙的卡片上的数字是 2和3,此时，甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.思路分析先由丙说的话判定丙的卡片上的数字一定不是2和3,再按丙的卡片上的数字为1和2,1和3分类讨论即可解题.16Y 答案 1-ln 24解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切，设切点分别为 A(xi,yi),B(X2,y2),由y=ln x+2 得 y=-,由 y=ln(x+1) 得 y=,k=,i=,x2=-1, . .广-ln k+2,y 2=-ln k.即A - ,B - -, . A、B 在直线 y=kx+b 上,-?-三、解答题17.崔解析(I ) in的公差为d,据有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b 11=lg 11=1,b 11=lg 101=2.(6 分)(n )因bn=(9 分)所以数列bn的前 1 000 项和为 1X 90+2X 900+3X 1=1893.(12 分)疑难突破充分理解x的意义，求出bn的表达式，从而求出bn的前1 000项和.18解析(I )没表示事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费，那么事件A发生当且仅当 一年内出险次数大于1,故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(n )语表示事件：“一续保人本年度的保费比根本保费高出60% ，那么事件B发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)=一=.因此所求概率为一.(7分)(m)记续保人本年度的保费为 X元，那么X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a x 0.30+a 乂 0.15+1.25a 乂 0.20+1.5a 乂 0.20+1.75a 乂 0.10+2a 乂 0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为1.23.(12分)易错警示对条件概率的定义理解不到位，或者不会运用条件概率的求解公式，导致出错.19. 蜜解析 (I )由停C JBD,AD=CD.又由 AE=CF 得一=一，故 AC /EF.因此 EF 1HD,从而 EF _LDH.(2 分)由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= -=4.由 EF /AC 得一=一=-.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 DH2+OH 2=32 + 12=10=DO 2,故 DH _LOH.(4 分)又 DH JEF,而 OH CEF=H,所以 DH 上平面ABCD.(5 分)(n )如降以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz.那么H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).(6 分)设m =(x1 ,y1,Z1)是平面 ABD的法向量，那么即 -所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,Z2)是平面 ACD的法向量，所以可取n=0,-3,1.10 分于是 cos=_ =.sin=.因此二面角B-DA-C的正弦值是 .12分思路分析I 利用条件及翻折的性质得出DH JEF,利用勾股定理逆定理得出DH JOH,从而得出结论；n 在第I问的根底上建立恰当的空间直角坐标系，从而求出两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式求其余弦值，从而求出正弦值，最后转化为二面角的正弦值.20. 蜜解析I iMxi,yi,那么由题意知yi0.当 t=4 时,E 的方程为一+一=1,A-2,0.1 分由及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为-.因此直线AM的方程为y=x+2.2分将 x=y-2 代入一+=1 得 7y2-12y=0.解得y=0或y=，所以y=.4分因此AAMN 的面积 Szamn=2X-。=.5 分n 由题意t3,k0,A- 一,0.将直线AM的方程y=kx+ 一代入一+一=1得3+tk 2x2+2 tk2x+t2k2-3t=0.7 分由 x1 - =得 x1 =,故|AM|=|x 1+一|=.8 分由题设，直线AN的方程为y=-x+ ,故同理可得|AN|=.9 分由 2|AM|=|AN| 得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立，因此t=.(10分)-t3等价于 = 0,即0.(11分)-、 .一- -_ .一 由此得或解得 k3,建立关于k的不等式，从而得出k的取值范围.21. K解析(I )f(x)的定义域所-2)侦-2,+ 8).(济)- -f (x)=洵，且仅当x=0时,f (x)=0,所以f(x)在(-OO-2),(- 2,+ 8)单调递增因此当 x (0,+ oo) fx)f(0)=-1.所以(x-2)e x-(x+2),(x-2)e x+x+20.(4 分)(n )g(x) =(f(x)+a).(5 分)由(I )#f(x)+a 单调递增.对任意 a q0,1), f(0)+a=a-10, f(2)+a=a 可.因此,存在唯一 xa 0,2,使得 f(xa)+a=0,即 g(xa)=0.(6 分)当 0xx a 时，f(x)+a0,g(x)xa 时，f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.(7 分)因此g(x)在x=x a处取得最小值， 取小值为g(xa)=.(8如)于是 h(a)=，由 =0,得 y=单调递增.所以，由 xa0,2,得-=h(a)=w=.(10 分)因为y=_单调递增，对任意入& -，存在唯一的Xa 0,2,a=-f(x a)q0,1),使得h(a)=入.所以h(a)的值域是.综上，当a q0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是- 一 .(12分)疑难突破此题求解的关键是“设而不求方法的运用，另外，注意将对g(x)符号的判断灵活地转化为对f(x)+a符号的判断.22. 解析(I )因为F 王C,所以ADEF s/DF，那么有ZGDF= ZDEF= ZFCB,所以DGF szCBF,由此可得/ DGF= ZCBF.因此ZCGF+ / CBF=180，所以B,C,G,F四点共圆.5分(II )胡,C,G,F 四点共圆,CG _LCB 知 FG JFB.连结 GB.由G为RtFC斜边CD的中点，知GF=GC,故 Rt ABCG 尖t 至FG,因此，四边形BCGF的面积S是AGCB面积S zgcb的2倍，即 S=2S ZGCB =2X*X 1=.(10 分)23. 。解析 (I )囱=p cos 0 ,y= p sin 可得圆 C 的极坐标方程 p2+12p cos 0 +11=0.(3 分)(n )在(I )中建立的极坐标系的线l的极坐标方程为0 =a ( R)4分)设A,B所对应的极径分别为何，2,将l的极坐标方程代入 C的极坐标方程得p2+12 p cosa +11=0.于是 p+p2=-12cos a , 132=11.(6 分).8 分|AB|=| 1- p2|=由 |AB|= 得 cos2 a 二,tan 济= .(9 分)所以l的斜率为或-.(10分)方法总结利用数形结合的思想方法及整体运算的技巧极大地提高了解题效率24. 。解析 (I )f(x)= - (2 分)当 xv-时，由 f(x)2 得-2x-1;(3 分)当-x -时，f(x)2;(4 分)当xA时，由f(x)2得2x2,解得x1.(5分)所以 f(x)2 的解集 M=x|-1x1.(6 分)(n )证明由(I )融 a,b CM 时,-1a1,-1b1,从而(a+b) 2-(1+ab) 2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b 2)0.因此 |a+b|1+ab|.(10 分)方法总结解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解，另外，假设所证不等式的两边均为非负数，那么先把两边平方，然后利用作差法求解.