2015届高考数学二轮解题方法篇：专题3 解题策略 第6讲

第6讲分离参数法在解题中的应用方法精要分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题题型一用分离参数法解决函数有零点问题例1已知函数g(x)x2ax4在2,4上有零点，求a的取值范围破题切入点函数g(x)x2ax4在2,4上有零点，等价于方程x2ax40在2,4上有实根，把方程x2ax40中的变量a分离，转化为求函数的值域问题即可求出a的取值范围解函数g(x)x2ax4在2,4上有零点，方程x2ax40在2,4上有实根，即方程ax在2,4上有实根令f(x)x，则a的取值范围等于函数f(x)在2,4上的值域又f(x)10在x2,4上恒成立，f(x)在2,4上是增函数，f(2)f(x)f(4)，即4f(x)5.4a5.题型二用分离参数法解决不等式恒成立问题例2已知函数f(x)lnx，(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)f(x)x2，lnx0，axlnxx3令g(x)xlnxx3，h(x)g(x)1lnx3x2，h(x)6x，当x1时，h(x)0，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)2，即g(x)0，g(x)在1，)上也是减函数，g(x)g(x)，当f(x)1，所以2x1-22222，(当且仅当xlog2(1)时取等号)，所以a22.总结提高分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围1已知直线l：(2m1)x(m1)y7m40，mR，则直线l恒过定点()A(3,0) B(1,3)C(1,1) D(3,1)答案D解析直线l的方程可化为xy4m(2xy7)0.设直线l恒过定点M(x，y)由mR，得M(3,1)所以直线l恒过定点(3,1)2若函数f(x)x2ax在(，)是增函数，则a的取值范围是()A1,0B1，)C0,3D3，)答案D解析由题意知f(x)0对任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x(，)恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，须a(2x)max，令h(x)2x，x(，)，因为h(x)2，所以当x(，)时，h(x)0，即h(x)在x(，)上单调递减，所以h(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，k12，即kg(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，)6已知函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案，)解析f(x)2mx20对一切x0恒成立，2m()2，令g(x)()2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故2m1，即m.7已知不等式mx22xm10对满足2m2的所有m都成立，则x的取值范围是_答案(，)解析原不等式可化为(x21)m2x10，此不等式对2m2恒成立构造函数f(m)(x21)m2x1，2m2，其图象是一条线段根据题意有即解得x0在x(，1上恒成立，设t2x，则有at2t10在t(0,2上恒成立，分离参数可得a，即a()max，令，则，)，易得二次函数f()2在，)上的最大值是f()，所以a的取值范围是a.10设0，不等式cos22msin2m20，当时，不等式显然成立；当00有2(1m)1sin，设t1sin，则f(t)t，其中0t1，则f(t)t在0t1上是减函数，所以f(t)f(1)3，即f(t)的最小值是3，所以2(1m).综上知，m的取值范围是m.11已知函数f(x)exax1，其中a为实数(1)若a时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x时，若关于x的不等式f(x)0恒成立，试求a的取值范围解(1)当a时，f(x)exx1，f(x)exx，从而得f(1)e1，f(1)e，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye1(e)(x1)，即(e)xy0.(2)由f(x)0，得axexx21，x，a，令g(x)，则g(x)，令(x)ex(x1)x21，则(x)x(ex1)，x，(x)0，即(x)在，)上单调递增所以(x)()0，因此g(x)0，故g(x)在，)单调递增则g(x)g()2，因此a的取值范围是a2.12已知函数f(x)a(x21)lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在(0，上是增函数；若x，则f(x)0，故f(x)在，)上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20.所以实数m的取值范围为m2.