3平面曲线的弧长概要

(1)3平面曲线的弧长教学目的与要求:理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中，计算平面曲线的弧长的公式教学重点，难点：在直角坐标系、参数方程、极坐标中，计算平面曲线的弧长的公式.教学内容：一平面曲线的弧长在这一局部中我们首先建立了曲线弧长的相关概念，然后曲线在三种表示情形，即分参数方程、直角坐标方程、极坐标方程给出时，得到了相应的弧长公式。其中曲线 c由参数方程给出时的弧长公式 是以定理10.1的形式给出的，其余两种类型通过转化为参数方程，也很简便地得到了相应的弧长公式。先建立曲线弧长的概念。设平面曲线 C=。如图1014所示，在C上从A到B依次 取分点：A=P0, Pl, P2，Pn-1, Pn=B,它们成为对曲线 C的一个分 割，记为To然后用线段联结 T中每相邻两点，得到 C的n条弦P Ji (i=1, 2,，n),这n条弦又成为C的一条内接折线。记T 二mmax分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1对于曲线C的无论怎样的分割 T,如果存在有限极限1m =s,那么称曲线C是可求长的，并把极限 s定义为曲线C的弧长。定义2设平面曲线C由参数方程x=x (t) , y=y (t), tC 豆，P 给出。如果x (t)与y (t)在Q, P上连续可微，且x (t)与y (t)不同时为零(即 x 2+y 2(t) w0, tC尸，P),那么称C为一条光滑曲线。定理10.1设曲线C由参数方程(1)给出。假设C为一光滑曲线，那么C是可求长的，且弧长为s= 1jx，2(t 广 y2(t dt证1。对C作任意分割T=P0, P1,，Pn,并设P0与Pn分别对应1=口与t=p ,且Pi (xi, y。= (x (ti), y (h),i=1 , 2,，n1。于是，与T对应地得到区间口，P的一个分割T ： Ot=totit2 - tn 1i ), 那么有sr=Z 卜色)+y“K ) + 1.i 1利用三角形不等式易证. WlyVMTyGfWyCMrRJ,由y (t)在a , P上连续，从而一致连续，故对任给的 名0,存在6 0,当丁 0) 一拱的弧长(见图 103)。解 x (t) =a (1 cos t), y (t) =a sin t,由公式(2)得s= x 2 t y 2 t dt = j ；;2a2 1 - cost dtins n2 Iot . c dt =8a。2x - x e e 例2 求悬链线y=从x=0到x=a 0那一段的弧长。22x _ -xx x解 y =e 飞,1+y 2=-一由公式(4)得a 2-ias=.o 1ydx = .ox_xa_ae e_ , e -e- dx =。22例3 求心形线r=a (1+cosO ) (a0)的周长。解由公式(5)得2 iCC-Cs= 0 Jr +L d8 =2 0 寸2a (1+cos日评月 6=4a cos-dH =8a口- 02下面简单介绍弧微分与微分三角形。假设把公式(2)中的积分上限改为 t,就得到曲线(1)由端点Po到动点P (x (t), y (t)的弧长， 即s (t) = jJx2U 九y 中由于被积函数是连续的，因此22dsIfdx i dy ；/ 22=J I + I ) ds= x dx d dy 。dt d dt Jdt J特别称s (t)的微分ds为弧微分。如图1015所示，PR为曲线在点P处的切线，在直角三角形 PQR 中，PQ为dx, QR为dy, PR那么为ds。这个三角形称为微分三角形。课后作业题：1. 1)3)5)