土木工程测量测量误差理论学习教案

土木工程土木工程(tm gngchng)测量测量误差测量测量误差理论理论第一页，共118页。差不等精度观测系统的中误差估计最小二乘原理与条件平差第1页/共118页第二页，共118页。真值之差定义为观测值的真真值之差定义为观测值的真误差误差。iiLiLiXLii第2页/共118页第三页，共118页。这三个因素被统称(tngchng)为观测条件第3页/共118页第四页，共118页。这三个因素被统称为观测(gunc)条件第4页/共118页第五页，共118页。第5页/共118页第六页，共118页。第6页/共118页第七页，共118页。（2）来源：仪器）来源：仪器观测者的感观测者的感官能力的限制官能力的限制(xinzh)外界条件外界条件（3）特点：统计规律性，并）特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明且观测次数越多，规律越明显显（4）处理方法：）处理方法：误差理论误差理论第7页/共118页第八页，共118页。第8页/共118页第九页，共118页。第9页/共118页第十页，共118页。第10页/共118页第十一页，共118页。第11页/共118页第十二页，共118页。理论模型第12页/共118页第十三页，共118页。理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9第13页/共118页第十四页，共118页。理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8含粗差点位含粗差点位第14页/共118页第十五页，共118页。第15页/共118页第十六页，共118页。XLXcbaLiii :180: ,:真误差真值观测值aibici所观测(gunc)的三角形个数：n=162第16页/共118页第十七页，共118页。三角形内角(ni jio)和真误差统计表第17页/共118页第十八页，共118页。误差直方图误差直方图误差区间误差出现的频率一定区间内的dnvi2 . 0 d图中正态分布曲线正态分布曲线(qxin)第18页/共118页第十九页，共118页。0limlim, 0)(1nnEnniin或第19页/共118页第二十页，共118页。For example, the darts on the dart boards below represent sets of measurements. A bulls eye represents a perfect measurement-a measurement exactly the same as the true value. 第20页/共118页第二十一页，共118页。close to each other, the set of five measurements here is not very precise either.第21页/共118页第二十二页，共118页。they are precise.第22页/共118页第二十三页，共118页。第23页/共118页第二十四页，共118页。第24页/共118页第二十五页，共118页。第25页/共118页第二十六页，共118页。nEEEDnlim)()()()(2222nEDnlim)()(2第26页/共118页第二十七页，共118页。nmn2第27页/共118页第二十八页，共118页。76 . 4625)4() 1()7(686 . 26) 3(0) 1()2(25222222222222 mm乙甲有甲乙(ji y)两组，各自观测了6个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）第28页/共118页第二十九页，共118页。21221121)(21)(0ff22221)(ef曲线I表现较陡峭，即误差分布比较集中(jzhng)，或称离散度较小，故观测精度较高。第29页/共118页第三十页，共118页。22221)(ef 故得由010) 1(21)(2222222ef第30页/共118页第三十一页，共118页。955. 021)22(22222deP997. 021)33(33222deP683. 021)(222deP第31页/共118页第三十二页，共118页。222)(21)(sxxexf第32页/共118页第三十三页，共118页。T1观测值误差的绝对值相对误差第33页/共118页第三十四页，共118页。第34页/共118页第三十五页，共118页。第35页/共118页第三十六页，共118页。).(). (),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfxfxffZZfZ故按台劳级数展开设独立观测值的函数为一、误差传播一、误差传播(chunb)定定律推导律推导第36页/共118页第三十七页，共118页。2.22.131321222222212211121nnnnxxxfxxxfxxxfZNnnxfxfxfxxfxxfxxf得个关系式平方后再总和将误差误差(wch)传播定律推导传播定律推导 （续）（续）第37页/共118页第三十八页，共118页。mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnnnmmNNZN22222212222222122222222122.212121或时当得两边除以时当第38页/共118页第三十九页，共118页。),.,(21xxxnfZ ).(2211dxdxdxnnxfxfxfdZmxfmxfmxfxnxxZnm22222212.21第39页/共118页第四十页，共118页。22222221212211222121. 3. 2. 1xnnxxZnnxxZxZmmmkmxkxkxkZmmmxxZkmmkxZkk线性函数和差函数倍数函数第40页/共118页第四十一页，共118页。)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP结果可写成中误差mmD01. 0第41页/共118页第四十二页，共118页。差。两点间的高差及其中误求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CAmmmhCBmmmhhBCBChABAB,009. 0 ,747. 5 ,012. 0 ,476.15 B,A 2.)(015. 0223.21015. 0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：第42页/共118页第四十三页，共118页。差。两点间的高差及其中误求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CBmmmhBAmmmhhABABhABAc,0012. 0 ,476.15 ,015. 0 ,223.21 B,A 3.)(019. 0747. 5019. 0012. 0015. 0747. 5476.15223.212222mmmhmmmhhhAChABhAChBCABACBC解：第43页/共118页第四十四页，共118页。)(009. 0747. 5009. 0012. 0015. 0747. 5476.15223.212222222mmmhmmmmmmhhhhhhAChABhAChBChBChABhACBCABACABACBC解：第44页/共118页第四十五页，共118页。)(15. 030015053030303001030mDmmmmlDmDlD但解：全长第45页/共118页第四十六页，共118页。)(016. 030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全长第46页/共118页第四十七页，共118页。及其中误差。求相应水平距离，其中误差并测得倾斜角其中误差丈量倾斜距离Dmmmmss ,03000015: ,05. 0,00.50: 第47页/共118页第四十八页，共118页。m 048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscosm 296.4815cos00.50cos22222222 ssDmDmsDmsDsDsD解：(m) 048. 0296.48D故第48页/共118页第四十九页，共118页。第49页/共118页第五十页，共118页。LlmlLmmlLnnlLlnmmmhhhhhhn站站站站则即全长设每站距离均为，则均为设每一站高差的中误差,21三、误差传播三、误差传播(chunb)定律的应用定律的应用第50页/共118页第五十一页，共118页。LmmkmLLmlmhh2,1,中站的中误差为每公里往返测高差中数中误差。是每公里水准测量高差即时，当则令第51页/共118页第五十二页，共118页。mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152)(25 . 725 . 7.5 . 7容许高差闭合差为的中误差即闭合差公里往返高差之差中误差为公里单程水准测量高差则平均值的中误差不大于要求每公里往返测高差铁路线路水准测量中，单单单单第52页/共118页第五十三页，共118页。034327122122122626,6 故铁路线路测量规定为误差，则有若取两倍中误差为容许误差为：两半测回角值之差的中故半测回角的中误差为一测回角的中误差为一测回方向中误差为对于半半方方mmmmmmmmJ第53页/共118页第五十四页，共118页。03,422:21226266 为两测回角值之差的限差对于定差，故铁路线路测量规考虑到还有一些其他误误差，则容许误差若取两倍中误差为容许差为：两测回角值之差的中误一测回角的中误差为DJmmm第54页/共118页第五十五页，共118页。差是单位长度的偶然中误，则令DmlmDlmlDmnmmnlDDD第55页/共118页第五十六页，共118页。gggggKfnggcDgnDnKDnfncnDcDcKDnfncDmKDmDmfDmnDmcDmKnfncD)2(2)2(21 )2(22000022222222202020第56页/共118页第五十七页，共118页。22222222202022222222220202020164212)212)2(2KfgngcDKfnggcDggmmfmnmcmDmmmmfDmnDmcDmfncDfDfKDnfncfD或第57页/共118页第五十八页，共118页。一、等精度独立观测(gunc)值的最可靠值在测量工作中，除了要对观测成果评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为(chn wi)最或然值(Most probable value, MPV)。当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则算术平均值(arithmetic mean)就是观测值的最或然值。第58页/共118页第五十九页，共118页。XxnnXnLxXxnnXnLXnLnXXXnnnnLLLlim0lim2211算术平均值设对某一个量进行(jnxng)了n次同精度观测，得观测值L1, L2, , Ln, 求该观测量的算术均值。第59页/共118页第六十页，共118页。nmMnmnmnMnnnnLxLLLn故22222111.11第60页/共118页第六十一页，共118页。观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14nmM 第61页/共118页第六十二页，共118页。nmiiLxv第62页/共118页第六十三页，共118页。012,: )2() 1 ()2() 1 (2LnLnLxnvvvvnnvXxXxvXLLxvxxixixiiiiii）得由（和得个如上式子两边平方求则令最或然误差第63页/共118页第六十四页，共118页。nnnnnnnXLXLXLXnLXxmnnnnnxnx22213121213121222212221)2.2(2)2.22.(1)(.)()( 第64页/共118页第六十五页，共118页。)1(1222nnvvnmMnvvmvvmmnvvm算术平均值的中误差为（白赛尔公式）故第65页/共118页第六十六页，共118页。mm 6 . 462 .11mm 2 .1116340.6311m 539.346nmMnvvmLxvnLxii次序观测值Li (m)改正数 vi (mm)1346.535+4.32346.548-8.73346.520+19.04346.546-6.75346.550-10.76346.537+2.3第66页/共118页第六十七页，共118页。nddmmmmnddnmdLLddd22d , 0 ，则设单次观测中误差为故为较差的真误差故的真值为因7-4 按真误差按真误差(wch)求观测值的中误差求观测值的中误差(wch)第67页/共118页第六十八页，共118页。123456hh”第68页/共118页第六十九页，共118页。测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24mmmmmmnddm8 . 125 . 22 :5 . 252632中的中误差为每公里往返测平均高差hhd h往测h 返测第69页/共118页第七十页，共118页。菲列罗公式）为故每个角的测角中误差差为三角形的内角和的中误(3333211321nmmmmmmmmmnnm第70页/共118页第七十一页，共118页。(unequal-precision observations)第71页/共118页第七十二页，共118页。第72页/共118页第七十三页，共118页。第73页/共118页第七十四页，共118页。222222112222122222212211:1:1:nnnnnmpmpmpmmmmmmppp或任意给定的常数任意给定的常数22iimp2222222121,nnmpmpmp第74页/共118页第七十五页，共118页。4, 9,366394, 1, 4491,41, 11,3,2,1,7232322222121222323222221212223232222212122121321 mpmpmpmpmpmpmpmpmpmmmLLL时，当时，当时，当则他们的权为其中误差分别为：已知观测值例第75页/共118页第七十六页，共118页。以任意选定的。即单位权中误差也是可时得，当由2222,1mpmp第76页/共118页第七十七页，共118页。iiiiiiiinpcncpmcnmnmmpnmmnmmnmmmmmm则若取则令相应的权为：则若观测一次的中误差为。差分别为解：设各观测值的中误, 1, , , , ,22222222332211321第77页/共118页第七十八页，共118页。第78页/共118页第七十九页，共118页。高差的权为单位权即则若取高差的权为单位权即则取则令解：kmLpckmLpcLcpmcLmmpLmmLmmLmmiiiiiikmikmiikmkmkm2,2, 21,1, 1 ,222222332211第79页/共118页第八十页，共118页。第80页/共118页第八十一页，共118页。的权。、求的中误差均为、设每个设222212., iiHHmhhhhhHhhhH1nn111221222222111 ,1,npnpmnmmpnmmnmmiiii则令解：第81页/共118页第八十二页，共118页。第82页/共118页第八十三页，共118页。均值为L2。问题：如何求该角度的最或然值？第83页/共118页第八十四页，共118页。称为加权平均值）值，有对于多个不等精度观测即最或然值(,2122112122112122112221111212121121nnnnnLLLLLLpppLpLpLpxppLpLpxnnLnLnxLnLLLLnLLLnnxnn 第84页/共118页第八十五页，共118页。22222222212221222222222222122122211pMppppppppppMpmmppmppmppMLppLppLppppLxnniinnnn得根据第85页/共118页第八十六页，共118页。1npvv) 1(nppvvpM第86页/共118页第八十七页，共118页。npnpppnmpmmpppLLnniLiiLiiiiiiii)()()(11222221122222222其真误差为：的等权虚拟观测值构建如下一组权为第87页/共118页第八十八页，共118页。022)(22pvppLxpLxppvLpxpvpppvpvvppvpvvppvxXvLXLxviiiiixxxixiiiiiiiixiiiiiii第88页/共118页第八十九页，共118页。) 1(1222222nppvvpMnpvvpvvnnppvvppppvvMppvvp故故第89页/共118页第九十页，共118页。第90页/共118页第九十一页，共118页。) 1(11, 1 ,nppvvpuMnpvvuppLxspcscpiiii则取权第91页/共118页第九十二页，共118页。测段测段高程高程(gochng)观测值观测值 /m水准路线水准路线(lxin)长度长度kmLi/iiLP1权vPvPvvAEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.615. 1P0Pv0 .123Pvv第92页/共118页第九十三页，共118页。E点高程点高程(gochng)的最或是值为的最或是值为40. 050. 025. 0332.4240. 0320.4250. 0347.4225. 0EHm330.42单位权观测单位权观测(gunc)值中误差为值中误差为mmnPvv8 . 7130 .1231最或是最或是(hu sh)值中误差为值中误差为mmPM3 . 715. 18 . 7第93页/共118页第九十四页，共118页。水准观测水准观测(gunc)精度评定结果精度评定结果最后(zuhu)结果可写成 HE=527.4690.009（m） 第94页/共118页第九十五页，共118页。第95页/共118页第九十六页，共118页。11231111111113212311111)()()(HHhhHhHHHhfppHpHpHHLLcphhHHLcphHHBAABhBA 闭合差的最或然高程为相应的权为相应的权为A1BM2BMB3L1L2L1h3h2h第96页/共118页第九十七页，共118页。 )()()()(22112113211111111111111111hhAhAhhhhfLLhfLLhHHfLLhHfLLLLHHppfpHppfHpHpHfHH故第97页/共118页第九十八页，共118页。11231111111113212311111)()()(HHhhHhHHHhfppHpHpHHLLcphhHHLcphHHBAABhBA 闭合差的最或然高程为相应的权为相应的权为A1BM2BMB3L1L2L1h3h2h第98页/共118页第九十九页，共118页。 )()()()(22112113211111111111111111hhAhAhhhhfLLhfLLhHHfLLhHfLLLLHHppfpHppfHpHpHfHH故第99页/共118页第一百页，共118页。第100页/共118页第一百零一页，共118页。ABCL13LL2ABCD1h2hh3h4h5h6第101页/共118页第一百零二页，共118页。第102页/共118页第一百零三页，共118页。第103页/共118页第一百零四页，共118页。第104页/共118页第一百零五页，共118页。第105页/共118页第一百零六页，共118页。第106页/共118页第一百零七页，共118页。第107页/共118页第一百零八页，共118页。第108页/共118页第一百零九页，共118页。第109页/共118页第一百一十页，共118页。000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna第110页/共118页第一百一十一页，共118页。第111页/共118页第一百一十二页，共118页。第112页/共118页第一百一十三页，共118页。第113页/共118页第一百一十四页，共118页。第114页/共118页第一百一十五页，共118页。第115页/共118页第一百一十六页，共118页。第116页/共118页第一百一十七页，共118页。第117页/共118页第一百一十八页，共118页。