概率论与数理统计 公式大全

第1章 随机事件及其概率1排列组合 2关系运算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3几何概型v （1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某个区域,面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空间上的某个立体,体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。根据题意，这是一个几何概型问题，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P()=1- P(B)6条件概率事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)08独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立. 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。9伯努利概型概率P(A)=p , 发P()=1-p=q，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。 第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2连续型随机变量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函数 1 ； 2、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2)； 3 ， ； 4 右连续性： 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量， 二项分布， 当时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 , 0, , , x2)二维随机变量的数字特征期望 函数的期望方差协方差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X与Y的相关系数(标准协方差):=X的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均方差”若记则E(X*)=0， D(X*)=1|1，当|=1时，称X与Y完全相关：1. 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。2. 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A =E(X )为X的k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,)，数学期望E(X)即为X的一阶原点矩；2、B =EX-E(X) 为X的k阶中心矩(k=1,2,)，方差D(X)即为X的二阶中心矩。3、=E(X Y )为X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2)。4、为随机变量的k+l阶混合中心矩(k,l=1,2,)。协方差矩阵CC=(C ) =第五章 大数定律和中心极限定理大数定律切比雪夫若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则伯努利当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小辛钦中心极限定理 列维林德伯格/独立同分布的中心极限棣莫弗拉普拉斯随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。泊松定理若当，则 其中k=0，1，2，n，。第六章 样本及抽样分布数理统计的基本概念所研究的对象的全体称为总体,总体的每一个基本单位称为个体.设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,Xn)。n称为样本容量。当总体X是离散型时，其分布律为样本的联合分布律为当总体X是连续型时， Xf(x)，则样本的联合密度为（）为样本函数，其中为一个连续函数。若中不包含未知参数，则（）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 样本方差 样本标准差样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 ，,其中为二阶中心矩。正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布 定义 若XN(0, 1)，Yc2(n)，X与Y独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。p3、(1) t分布表构成(P296)： Pt(n)=p(2) Pt(n) tp(n)=p，tp(n)为水平p的上侧分位数(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即 =。样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设n个相互独立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，则 称为自由度为n的c2分布。（1）求解：(2) c2分布的可加性X1,X2 相互独立，则X1+X2 c2(n1+n2)p(1)构成 Pc2(n)=p，已知n,p可查表(P298)求得;水平为的上侧分位数分位点(2)。样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布 若Xc2(n1)，Yc2(n2) ，X,Y独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布，其概率密度为F分布表(P294)及有关计算(1)构成：PF(n1,n2)=p(2)有关计算PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2)性质：样本函数 其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。正态总体的抽样分布定理4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的样本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的样本，且相互独立，S12，S22是样本方差，则(1)(2) 称为混合样本方差。1.若 则2.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则(1)与S2独立(2)(3) 3.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则第七章 参数估计（1）点估计(用某个函数值作为总体未知函数的估计值)矩估计极大似然估计样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有样本的似然函数,简记为Ln. 为样本的似然函数。最大似然估计量。 估计量的评选标准无偏性若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。区间估计(对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值)置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出的置信区间第八章 假设检验基本步骤1）提出零假设H0（2）选择统计量K（3）对于检验水平查表找分位数（4）由样本值计算统计量之值K；将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。第一类错误(弃真错误)当H0为真时，作出拒绝H0的判断, 记=P拒绝H0| H0真；第二类错误(取伪错误)当H0不真时，作出接受H0的判断, =P接受H0| H0假单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否定域已知N（0，1）未知未知