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2019全国各地模拟分类汇编理:圆锥曲线(1)-18 -【哈尔滨市六中2019学年度上学期期末】过F1,若值为(.abf2的内切圆周长为-:,)X y2椭圆1的左右焦点分别为 F2 ,弦AB2516A, B两点的坐标分别为(治,yJ,(X2, y2),则* yB.【答案】【江西省赣州市2019届上学期高三期末】右焦点,M为心PF1F2的内心,若S纫PF1已知点P是椭圆上一点,FnF2分别为椭圆的左、=S MIF1F S MPF2成立,则的值为A.Ja2 _b2【答案】A【河南省郑州市2019届高-1 a 0,b - 0的左焦点、厂a2 -b2D.2a第一次质量预测】右顶点,点 B (0, b)已知点F、A分别为双曲线满足FBAB = 0,则双曲线的离心率为A. .2B. 3D. 152【答案】【株洲市2019届高三质量统一检测】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1, F2,若曲线C上存在点 P 满 PF1 : F1F2 : PF2 =4:3:2,则曲线C的离心率等于(1卡3r 2亠小1卡cr 2卡3A 或B.或 2C. 或 2D. 或223232【答案】A2 2【安师大附中2019届高三第五次模拟】设F1、F2分别为椭圆二+ y2= 1的左、右焦点,c = a b, a b2若直线 x = a-上存在点 P,使线段 PF的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是cB.D.【答案】D【山东聊城市五校2019届高三上学期期末联考】已知P是以F1、F2为焦点的椭圆2x2 a= 1(a b 0)上一点,且 PF, PF2 =0,tan. PF,F|,则该椭圆的离心率)121、.5A.-B.-C _D.2333【答案】D【2019大庆铁人中学第一学期高三期末】2已知直线y = k(x 2)(k - 0)与抛物线C : y = 8xFATFB.则 k =122A. 3B.3C.3D.【答案】D【湖北省武昌区2019届咼三年级兀月调研】相交于A,B两点,F为C的焦点,若2、22 2x V已知双曲线 -=1( a0,b0)的右焦点a b为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A. (1,2)B. ( 1,2 C. 2,+ s)D. (2,+血)【答案】A【江西省赣州市2019届上学期高三期末】若圆(x-2)2,y2=2与双曲线2 x-2 a2笃-1(a0,b 0)的渐近线相切,则双曲线的离心率是b【答案】、2【2019大庆铁人中学第一学期高三期末】 率是。55【答案】3或4双曲线的渐近线方程为_3x4则双曲线的离心【浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考】x2P是双曲线一921的右支上一点,16. 2 2 2 2点M,N分别是圆(x+5) + y =4和(x5) + y =1上的动点,贝U PM - PN的最小值为()A.1 B .2 C . 3 D . 4【答案】C2 2【浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考】P是双曲线 1的右支上一点,916点M ,N分别是圆(x+5)2 +y2 =4和(x 5)2 +y2 =1上的动点,贝U PM PN的最小值为()A.1 B .2 C .3 D . 4【答案】C2 2【江西省赣州市 2019届上学期高三期末】若椭圆 冷每=1(a b 0)的左右焦点分别为a bF1, F2,线段F1F2被抛物线y2 =2bx的焦点F内分成了 3:1的两段.(1) 求椭圆的离心率;(2) 过点C( 1,0)的直线丨交椭圆于不同两点 A、B,且-2CB ,当 AOB的面积最大时,求直线 l和椭圆的方程【答案:(1)由题意知,c_=3(c_b) 2分2 2丿2 2-b = c , a 2b 3分(2)设直线 l :x =ky -1, A(x1,y1),B(x2,y2),AC =2CB (T -为,-yj =2(X2 1,y2),即 2y2% =07分由(1)知,a2 =2b2 ,椭圆方程为 x2 2y2 =2b2由 X2一 矽;12,消去 x 得(k2 2)y2-2ky 1-2b2 =0x 2y = 2b2k1 -2b2由知,力鳥4kk2 21 1 1-s aob石丨屮丨才y2卜?10 - y21 st|k| |k|2 ;|k|3211分当且仅当|k|2=2,即k - - 2时取等号,此时直线的方程为x= 2y -1或12分2_2k又当k 2时,yy厂二k 24k2k2k2 2(k2 2)2由y21 -2b22 得 b2 = 5k2 2214分椭圆方程为2【哈尔滨市六中2019学年度上学期期末】 设椭圆C: A 2 =1(a b 0)的左焦点为F , a b上顶点为A,过点A作垂直于 AF直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点 Q,且8AP PQ5求椭圆C的离心率;(6分)若过A,Q,F三点的圆恰好与直线 丨x3y-5=0相切,求椭圆C的方程.(6 分)(0, b )知 FA =(c,b), AQ =(Xo,-b)FA _ AQ,. cx0 -b2 =0,x0c8设 P(X1, y1),由 APPQ,得 X158b213c,yi8b2、2因为点p在椭圆上,所以13c(2b)2整理得2b2 =3ac,即卩2( a22 2 1-c )=3 ac, 2e ,3e-2=0,故椭圆的离心率 e=2b由知2b2 =3ac,得一c1F(- 2a,0),3吟,0) AQF的外接圆圆心为(1严,半径r= 1 |FQ|=2所以J1a,得 a =2,2所求椭圆方程为4丄=13【哈尔滨市六中2019学年度上学期期末】已知椭圆2 x C:a2b2=1(a b 0)经过点31M(1,),其离心率为丄.22(1)求椭圆C的方程;(4分)设直线丨与椭圆C相交于 代B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形 OAPB ,其中顶点(8 分)P在椭圆C 上 ,O为坐标原点.求O到直线l的距离的最小值【答案】:(1)X2(4分)y kx m(2)当直线l有斜率时,设l : kx m,由 x2 y2彳消去y,得1 .432 2 2(3 4k2)x2 8kmx 4m2-12 =0,2 2 2 2 2 2:=64km -4(3 4k )(4m -12) = 48(3 4k -m ) 0 设A, B, P三点的坐标分别为 X, y1), (x2, y2), (x0, y0),则以线段OA,OB为邻边作平行四边形 OAPB ,OA OB =OP ,(6 分)x2 二8km3 4k2y k(x1 x2) 2m 二6m3 4k2”0*1由于点P在椭圆上,所以4316k 2m2(3 4k2)2(3 4k2)二1,化简得2 24m = 3 4k ,经检验满足式3-2又点O到直线1的距离为 .1 k2j k21 - 4(1).3当且仅当k=0时等号成立.(10分)当直线1无斜率时,由对称性知,点P 一定在x轴上,从而点P为(-2,0)或(2,0),直线1为x = 1,所以点O到直线1的距离为1.%丫2 =0,2 2即 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) = (1 k )x1x2 km(x1 x2) m = 0,2272将式子(*)代入上式,得 m2 (k21). 9分10又直线MN : y =kx m与圆x2 yr2相切知:2272227所以r鴛,即存在圆x y兀满足题意;当直线MN的斜率不存在时,可得X1 = X2 =,% 二一讨2 二满足OMON = 0.2227综上所述:存在圆x y窗满足题意.12分2 2【安师大附中2019届高三第五次模拟】 已知双曲线 C:%-占=1(a0,b0)与圆a2 b2O : x2 y2 = 3相切,过C的左焦点且斜率为3的直线也与圆O相切.(1) 求双曲线C的方程;(2) P是圆0上在第一象限内的点,过 P且与圆0相切的直线l与C的右支交于 A、B两 点,:AOB的面积为 3 2,求直线I的方程.【答案】:(1 )双曲线C与圆0相切, a =, 2分由过C的左焦点且斜率为3的直线也与圆0相切,得c = 2,进而b = 12故双曲线C的方程为-y23(2)设直线 I : y 二 kx m , (k : 0 , m 0) , A(x1 , y1) , B(x2 , y2)圆心O到直线I的距离d由 d = ,3得 m2 = 3k2 3得(3k2 -1)x2 6kmx 3m2 3=0贝y x-i x2 口6 km2 ,3k -1x1x23m2 323k -1AB = Jk2 +1 x2 -禺=Jk2 +1 T(X2 +x1)2 4x1X2、厂 一362212(叮Y(3k2-1)23k2-1k2 136k2 (3 k23)12(3k24)(3k2 -1)23k2 -11又AOB的面积S =丄OP2AB =|AB =3丁2 , AB| = 2后11分43.k2 13k2 -1= 2.6 ,得k工1, m“6,此时O式:0直线l的方程为y = -x 6 13分2y0(-x/ -3x。2 4)x。4 4x03 2x。2 -8x -8从而直线PN恒过定点G(1,0) 15分22【湖北省武昌区 2019届高三年级元月调研】已知椭圆xy22 = 1(a0,b0)的离心率为ab1,两焦点之间的距离为 4。2(I)求椭圆的标准方程;(II )过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2 =4x于A B两点,(1) 求证:OAL OB(2) 设OA OB分别与椭圆相交于点 D E,过原点O作直线DE的垂线OM垂足为 M 证明|OM|为定值。(2c = 4,【答案】解:(I)由 c 1 得,故 b2 =12 .,c = 2 a 222xy所以,所求椭圆的标准方程为1 .1612(4分)(n) ( 1)设过椭圆的右顶点4,0的直线AB的方程为x二my 4 .代入抛物线方程 y2 =4x,得y24my16 = 0 .丿 、 + y2 = 4m,设 Ah,% )、B(X2,y2 ),则yy? = 16.eec2二 NX?y2=m%4my24= 1 myy4m %y?16 = 0. OA _ OB . ( 8 分)2 2(2)设D X3,y3、E X4,y4,直线DE的方程为x =ty ,代入11,得16 123t2 4 y2 6t y 3 2 -48 = 0 .于是y3y46t23t24,Y3Y4 二32 -4823t24从而 x3x4 二 ty3ty4 ;心2 24 2 -48t23t2 4OD _ OE , X3X4 y34 = 0 .代入,整理得7 =48t21 .原点到直线DE4 21为定值.7(13 分)【安徽省六校教育研究会2019届高三联考】2已知椭圆 y2 =1(a 0)的右顶点为 A ,a上顶点为B,直线y二t与椭圆交于不同的两点 E, F ,若DX ,y)是以EF为直径的圆上的点, 当t变化时,D点的纵坐标y的最大值为2 .(I)求椭圆C的方程;(n)过点(0八2)且斜率k为的直线丨与椭圆C交于不同的两点 P,Q,是否存在k,使 得向量OP OQ与AB共线?若存在,试求出 k的值;若不存在,请说明理由.y =t222【答案】(1)由22 22=X =a(1t) , 1ctc1x +a y = aEF:2ra、-1 -1,圆心为(0,t)2以EF为直径的圆的方程为:x2 y2 =a2(1-t2)2分=y mt a 1 -t2 (当 x = 0时取等)令t 二cost(三(0,二)则二 y - cost asinv - a2 1sind依题.a 1 = 2= a $ =32椭圆C的方程为:X y2 = 16分3(2)丨:y =kx +72, 由上消去 y: (1 +3k2)x2 +6./5kx + 3 = 0 +3y =3爲,;.=72k2 -12(1 3k2)0= k 设 P(% ,yJ,Q(X2, y2),PQ 的中点 M(x0,y)由点差法:X,-x22 =-3(%2 -y22) = “ y2x1 x2为X23(%+y2)x即 k0 x0 - -3ky0 -3y0M在直线丨上=y0 = kx2LTlTTttt又 A( .3,0), B(0,1)= AB=(- .3,1),而 OP OQ 与 AB共线,可得 OM / AB=x = - 3y0 ,12分由得k二仝,3这与kA矛盾,故不存在13分【浙32 2 江省杭州第十四中学 2019届高三12月月考】 设椭圆Ci: $ Z =1( a b 0 )的一a b个顶点与抛物线 C2: x2=4、.3y的焦点重合,F, F2分别是椭圆的左、右焦点,离心率1e=,过椭圆右焦点 F2的直线I与椭圆C交于M, N两点.2(I )求椭圆C的方程;(II)是否存在直线I,使得OM ON - 一2,若存在,求出直线I的方程;若不存在, 说明理由;(III )若AB是椭圆C经过原点0的弦,MN/AB,求证:LABL为定值.|MN |【答案】解:(1)椭圆的顶点为(0, .3),即b=$3cb 1x ye12 ,解得a = 2 ,.椭圆的标准方程为1 3分aa 243(2)由题可知,直线l与椭圆必相交.当直线斜率不存在时,经检验不合题意.设存在直线 I 为 y = k(x 1)(k =0),且 Mg,%) , N (x2, y2).2 2由 43 一 得(3 4k2)x2 -8k2x 4k2 -12 =0 ,y =k(x -1). 8k2x1 x2 2 ,3 4k2OMON=人灭2 y1 y2 =x1x2kx- (x1x2)14k2-12,2“4k2-12 8k2八-5k2-12o=rk (22-1)223 4k23 4k2 3 4k23 4k2所以k =_.2,故直线I的方程为y- 2(x-1)或y=rj2(x-1)(3)设 My), Ng?) ,4)由(2)可得:X14k2 -12x2亍,3 4k1 MN= . 1 k2 | 捲一X21(1 k2)(X1X2)2 4x1X2第忧V(if2 2 x_ . y_ 由43y =kx二 1消去y,并整理得:x-3 4k212|AB|= r|xX443(1k2),二理3 4 k248(1 k2)13 4k 4为定值|MN |12(k2 1)3+4k215分【山东聊2彳=1(a 0),a2城市五校2019届高三上学期期末联考】如图,椭圆的方程为X2a其右焦点为F,把椭圆的长轴分成 6等分,过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1,P2,P3,P4,P5五个点,且|P1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P5F|=52 .(1) 求椭圆的方程;(2) 设直线I过F点(I不垂直坐标轴),且与椭圆交于 A、B两点,线段AB的垂直平分线 交x轴于点M (m,0),试求m的取值范围.【答案】:(1)由题意,知R与P5.P2与P3分别关于y轴对称.设椭圆的左焦点为F1 ,则|P1F|+| P5F|=| PiF|+| P1F1|=2a ,同时 |P2F|+| P3F|=2a 而 | P3F| =a | P1F|+| P?F|+| P3F|+| F4F|+| P5F|=5a=5.2 a = $22椭圆方程为y2 =12(2)由题意,F (1, 0),设I的方程为y =k(x-1)(k式0)2代入椭圆方程为 y2 =1整理,得(V 2k2)x2 -4k2x 2k2 - 2 = 0因为 2I过椭圆的右焦点, I与椭圆交于不同的两点A,B.设 A(X1, yj, B(X2, y2), AB中点为(x, y),k2k212 2则 x-ix24k1 ,、 2k(捲 X2)2,yo-k(x1) =1 2k22k 1.AB的垂点平分线方程为y-y。k(x-xo)2k2令 y = 0,得 m = xo ky。22k2k22k21k22k2由于2 k72,【2019大庆铁人中学第一学期高三期末】2x+22 2已知椭圆a b1(a b 0)的长轴长为4 ,且点(1于)在椭圆上.(I)求椭圆的方程;为直径的圆过原点,(n)过椭圆右焦点的直线1交椭圆于A,B两点,若以AB求直线l方程.【答案】:(I)由题意:2a = 4 , a = 2 .所求椭圆方程为2 2歸=1又点在椭圆上,可得b二1 .所求椭圆方程为y2 = 1(n)由(I)知a =4,b =1,所以,椭圆右焦点为因为以AB为直径的圆过原点,所以OA OB若直线AB的斜率不存在,则直线 AB的方程为 3 .(73,丄),(屈-丄)直线AB交椭圆于22两点,4,不合题意.若直线AB的斜率存在,设斜率为 k ,则直线AB的方程为y = k(x - 3).y k(x-.3),由 x2 4y2 -4 =0,可得(1 4k2)x2 8.3k2x 12k2 -4 = 0 .由于直线AB过椭圆右焦点,可知=0 .+ _ 83k2_12k2-4设为,)出区2),则x1 x2 一而一不匸尹,y2 =k2(xi -3)( x- .3)二 k2xiX2 -、3(xi X2) 31 4k212k2 421 4k-k211k24(1 4k2 1 4k2!rOA QB =mx2 +yiy2 = 所以211k -4由 OA OB = 0,即 1 4k2-0k,可得二 k411 11所以直线i方程为晋)12分【湖北省武昌区2019届高三年级元月调研】2已知椭圆笃a2y_2= 1(a0,b0)的离心率为1,两焦点之间的距离为4。求椭圆的标准方程;2(I)(II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线=4x于A、B两点,求证:OA丄OB;设OA、OB分别与椭圆相交于点M,证明|OM|为定值。(1)(2)D、E,过原点O作直线DE的垂线OM,垂足为【答案】:(I)由彳2c =4,2,得“4,2故 b2 =12 .所以,所求椭圆的标准方程为2 2 x_. y_16 12=1 .(4 分)(n) ( 1)设过椭圆的右顶点4,0的直线AB的方程为x二my 4 .代入抛物线方程 y2 =4x,得y2-4my-16 = 0 .j 、 丄 i+ y2 = 4m设 Agy )、Bgy ),则yy? = -16.ii2iii二 NX?%y2him%4my24y$2 =1 my24m % y?16 = 0.OA _ OB .(8分)2 2(2)设D x3,y3、E x4, y4,直线DE的方程为x二ty ,代入-1,得16 123t2 4 y2 6t y 3 2 -48 = 0 .于是y3y4 -6t 23t 423 -482从而x3x4=ty;-皿42 48t23t2 43t 4OD _ OE ,X3X4 丫3丫4 = 0 .代入,整理得7 =48t21 .九 421原点到直线DE的距离d =竺a 为定值.(13 分)G +t27
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