空间向量的坐标表示PPT课件

一、空间向量定义：既有大小又有方向的量。模模、零向量零向量、单位向量单位向量、相等的向量相等的向量、一个向量的负向量负向量、向量的夹角向量的夹角等概念，空间向量的和向量的和、差差、数乘数乘、数量数量积积等运算的定义及其运算律都与平面向量的相应概念、运算及其运算律具有相同的意义。第1页/共25页Oxyijaixjy向量向量轴方向相同的两个单位轴方向相同的两个单位轴轴分别取与分别取与 y、x，、作为基底作为基底ji ， a任作一个向量任作一个向量，由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知yx 、有且只有一对实数有且只有一对实数jyixa 使得使得叫做叫做我们把我们把 ),( yx的坐标的坐标向量向量 a第2页/共25页ijk，三个基向量互相垂直三个基向量互相垂直如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的，1且且长长都都为为则这个基底则这个基底。来来表表示示常常常常用用 , kji，叫叫做做单单位位正正交交基基底底xyzO的方向的方向分别以分别以为原点为原点以点以点 kjiO、， 、：轴轴轴轴为为正正方方向向建建立立三三条条数数轴轴yx。，它们都叫做坐标轴它们都叫做坐标轴轴轴 z这这时时我我们们说说建建立立了了一一个个，xyzO 空空间间直直角角坐坐标标系系第3页/共25页ijkxyzO , ，、都都叫叫做做坐坐标标向向量量向向量量叫叫做做原原点点点点kjiO，面面叫叫做做坐坐标标平平面面通通过过每每两两个个坐坐标标轴轴的的平平。，平平面面平平面面平平面面分分别别称称为为 zOxyOzxOy，时时作作空空间间直直角角坐坐标标系系 xyzO9045135yOzxOy), ( 或或一般使一般使让让右右手手拇拇指指在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，轴轴食食指指指指向向轴轴的的正正方方向向指指向向 yx，轴轴的的如如果果中中指指能能指指向向的的正正方方向向 z，则则称称这这个个坐坐标标系系为为正正方方向向 ，。右右手手直直角角坐坐标标第4页/共25页三个坐标平面将整个空间分为八个部分，被称为八个。（如图）第5页/共25页Oijkxyz，、，为坐标向量为坐标向量且设且设系和向量系和向量给定一个空间直角坐标给定一个空间直角坐标 kjia),( 321，aaa存在唯一的有序实数组存在唯一的有序实数组由空间向量基本定理由空间向量基本定理kajaiaa321 使使在在叫做叫做有序数组有序数组 ),( aaaa321. 中中的的坐坐标标空空间间直直角角坐坐标标系系xyzO),( 321aaaa 记作记作aja2ia1ka3第6页/共25页OijkxyzjyixkzA),(zyx对对应应一一个个向向量量对对空空间间任任一一点点中中在在空空间间直直角角坐坐标标系系， AxyzO， OAkzjyixzyxOA 是是数数组组于于是是存存在在唯唯一一的的有有序序实实，、对对应应的的有有序序实实数数组组中中与与向向量量在在单单位位正正交交基基底底 OAkji、在在此此空空间间叫叫做做点点 ),(Azyx，直角坐标系中的坐标直角坐标系中的坐标. ),( zyxA记记作作其中叫做点的横坐标其中叫做点的横坐标xA叫做点的纵坐标叫做点的纵坐标A叫做点的竖坐标叫做点的竖坐标Ayz第7页/共25页xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3ABADBC2C41342,.例 、在长方体中，写出所有顶点的坐标OABCD A B COAOCOD 0 , 0 , 02 , 4 , 02 , 0 , 3第8页/共25页练习：已知正四面体V-ABC，底面边长为2，先建立空间直角坐标系，再求出各顶点的坐标.第9页/共25页二、向量的直角坐标运算二、向量的直角坐标运算112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR1 122330a ba ba b;ab则设),(),(321321bbbbaaaa;ab/;.ab;a b;a;ab)(Rba0ba第10页/共25页三、距离与夹角三、距离与夹角2222123| aa aaaa1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。_是是的的单单位位向向量量0aa第11页/共25页| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz（2 2）空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标第12页/共25页cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，向量的夹角在什么范围内？时，向量的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b第13页/共25页练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1, 0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0 ,2 ,3) .CD),(33-2 a )(0011b），），（),(- a )(1011112b），），（21,cosba36,cosba1|AB22|CD第14页/共25页都垂直。都垂直。、与与，使，使求单位向量求单位向量、已知向量、已知向量baccba),(),(8022313),(czyx解：设解：设1082023222zyxzxzyx211212214zyx211212214zyxor),(cor ),(c211212214211212214第15页/共25页定比分点公式定比分点公式第16页/共25页例例2已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdOABM（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。 、AB(, )P xy z,xy z （3）A、B、C(x,y,9)共线，求x、y。第17页/共25页（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。 、AB(, )P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(, )P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是 、AB(, )xy z46870 xyz例例1已知、，求：已知、，求：(3,3,1)A(1,0,5)B第18页/共25页例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF第19页/共25页例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF第20页/共25页五、课堂小结：五、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。第21页/共25页思考题：思考题：。的面积方法求用向量（、（已知SABC),5 , 1, 1 (),6 , 1 , 2B) 3 , 2 , 0AC第22页/共25页用向量方法）的距离。到直线求点求的中点，分别是、，正方体(EFA)2,1)ADCCFEABCDDCBA1111111EFABFEC1B1A1D1DABC第23页/共25页。求证：的值；求的长；求的中点，、分别为、，棱，中，底面：直三棱柱如图MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC, 11111111o111BACBAABCBCC1A1B1ANM第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页