离散型随机变量的概率分布

教学要求：1. 理解随机变量的概念;2. 理解离散型随机变量的分布律及性质; 3. 掌握二项分布、泊松分布; 4. 会应用概率分布计算有关事件的概率; 5. 理解随机变量分布函数的概念及性质. .随机变量随机变量一一 .分布分布离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率二二 .几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布三三 .随机变量的分布函数随机变量的分布函数四四 .注意事项及课堂练习注意事项及课堂练习五五第二章 随机变量及其分布 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建 立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概 率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机 现象及其统计规律的基本方法然而实际中由一个 随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想 通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规 律性显得很不方便 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念 随机变量随机变量的引进是概率论发展史上的 重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随 机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们 用分析的方法来研究随机现象的统计规律 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分 布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及 计算，最后给出随机变量函数的分布随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念. 实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型这样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个结果都与唯一的实数对应起来(1) 掷一枚骰子，观察出现的点数.)6(,),2(),1(621点点出现出现点点出现出现点点出现出现eeeS 引入: 654321 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)(eeeeeeeeeeeeeXX,33来表示来表示可用可用点点出现出现且事件且事件 X.44来表示来表示可用可用出现点数不大于出现点数不大于事件事件 X(2)将一枚硬币掷三次，观察出现正反面的情况, 用正面描述. S=正正正，正正反，正反正，反正正，正反反， 反正反，反反正，反反反 ,87654321eeeeeeeeS 引入: 87654321 , 0, , 1, , 2 , 3)(eeeeeeeeeeeeeXX由此可见，随机试验的结果可以用一个变量来表示.这就是随机变量.2. 定义 .)(,)(,上的随机变量上的随机变量叫做样本空间叫做样本空间则将单值实函数则将单值实函数与之对应与之对应有一个实数有一个实数如果对于每一个如果对于每一个的样本空间为的样本空间为设随机试验设随机试验SeXXeXSeSE .X记为记为3. 注意 (1)实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化. ,)2(来表示来表示母母随机变量通常用大写字随机变量通常用大写字ZYX.,表示它们可能取的值表示它们可能取的值用小写字母用小写字母zyx(3)随机变量为一个实值函数，定义域为样本空间. :)()4(与一般函数的区别与一般函数的区别eXX ;)(是单值函数是单值函数eXX 自变量e取哪一点具有随机性，由于随机变量取值有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性； .)(法则法则一般是人为规定的对应一般是人为规定的对应eXX (5)有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示.,:等等比如比如xXxX (6)随机变量的分类: 离散型随机变量：随机变量所取的一切可能值为有限多个或可列个. 连续型随机变量：随机变量所取的一切可能值可以充满某个空间. 其他类型随机变量. 随机变量的引入，使随机事件的发生可以用随机变量的取值表示这样，我们可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究，使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能随机变量是研究随机试验的有效工具二、离散型随机变量的概率分布 定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为 ), 2 , 1( kxk相应的概率为, 2 , 1 , kpxXPkk称上式为随机变量X的概率分布或分布律. 注意 1.概率分布可用表格表示为: Xkp1x2xnx1p2pnp2.概率分布满足两个条件: );, 2 , 1( , 10)1( kpk. 1)2(1 kkp以上两式即为概率分布的性质. ex1. 设随机变量X的分布律为 X02 .2,231 XPXP求求P414121Solution. ; 0)(231 PXP.412 XPXPex2. 从一装有4个红球，2个白球的口袋中，按以下两 种方式取出5个球：(1) 每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；(2) 取后不放回； 求取出球中红球个数X的分布律.Solution. X012345P556254115624C53225624C52335624C5445624C5564X34P562234CCC561244CCC三、几个常用的离散型分布 1. 0-1分布 or 两点分布设随机变量X只能取两个值, 它的分布律是Xkp01qp,1pq 则称X服从0-1分布或两点分布,)., 1(pBX记为记为2. 伯努利试验与二项分布 伯努利试验的定义: 在一固定不变的条件下做一种试验（n次） ;:)1(AA与与有两个有两个每次试验的可能结果只每次试验的可能结果只; 1,)(,)()2( qpqAPpAP(3)各次试验的结果互不影响,即相互独立. 这样一串试验称为n重伯努利试验. 当n=1时,称为两点分布. 在n重贝努利试验中A出现k次的概率公式 .1,)( ,pqpAPqpCkXPknkkn 其中其中Proof. 根据独立事件概率的乘法定理，在n次试验中，事件A在指定的k次实验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为 ,knkqp 而事件A在n次试验中发生k次，而不限定哪k次，所以应有 ,种种不不同同方方式式knC由此有 .1 ,pqqpCkXPknkkn 注意到: k的取值为0，1，2,n，于是 )()1()0()(0nPPPkPnnnnkn . 1)( nqp二项分布设随机变量X的分布律是)., 2 , 1 , 0( ,1 ,nkpqqpCkXPknkkn 则称X服从二项分布,).,(pnBX记为记为ex4.设每支步枪射击飞机的命中率为p=0.004，现用 250支步枪同时独立地进行一次射击，求击中飞 机（A）的概率.Solution. ,996. 0004. 01,004. 0,250 qpn,X机变量机变量设击中飞机的次数为随设击中飞机的次数为随),004. 0 ,250( BX则则1)( XPAP 2501kkXP01 XP.63. 0)004. 01(12500250 C3. 泊松分布(Poisson)分布 设随机变量X的分布律是)., 2 , 1 , 0( , 0 ,! kekkXPk 则称X服从泊松分布, ).( X记为记为4. 几何分布 设随机变量X的分布律是)., 2 , 1( ,)1(1 kppkXPk则称X服从几何分布, ).(pGX记为记为注意: 1. 两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点 分布的推广. 2. 二项分布以泊松分布为极限分布. ).,( ,! nnpekqpCkknkkn ex5.设一女工照管800个纱锭，若每一个纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为0.005，求单位时间内扯断次数不大于10的概率.Solution. 设X为单位时间内扯断次数，则).4()005. 0 ,800( BX)10( XP所所求求概概率率为为0.997160查表ex6. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了1000台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求:(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰好有两件不能出厂的概率;(3)其中至少有两件不能出厂的概率.Solution. 设A=仪器能出厂，B1 =仪器能直接出厂,B2=仪器需进一步调试,.21SBB 则则, 7 . 0)(1 BP且且3 . 0)(2 BP, 1)|(1 BAP, 8 . 0)|(2 BAP由全概率公式得: .94. 0)|()()|()()(2211 BAPBPBAPBPAP设X为所生产的1000台仪器中能出厂的台数，则X作为1000次独立试验中仪器能出厂的次数，为贝努利试验，,94. 0 p并且并且).94. 0 ,1000( BX即即;)94. 0(1000)1(1000 XP ;)06. 0()94. 0(21000)2(29989981000CXP 998010009991)3(kXPXPkXP .)94. 0()06. 0()94. 0(110009999991000 C2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 对于离散随机变量X，我们可以用分布律来描述概率分 布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列 出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能 的然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取 值的概率如,考虑对于任意实数 （ ），落在区间 上的概率 , 但由于 = 因此我们只需考虑 和 形式的概率就可以 了，而 与 具有相同的形式，因此，我们有 下面的概念. 21xx，21xx 21xx，21xXxP21xXxP12xXPxXP2xXP1xXP2xXP1xXP1. 分布函数的定义 .)( ,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设XxXPxFxX 注意:;1 , 0),()()1(值域为值域为的定义域为的定义域为分布函数分布函数xF.)()2(00 xXPxF 引入随机变量分布函数后，随机事件的概率就与普通的函数联系起来了。2. 分布函数的性质 性质1. , 1)(0 xF, 0)(lim)( xFFx. 1)(lim)( xFFx性质2. .)(为单调不减函数为单调不减函数xF).()(,2121xFxFxx 时时即当即当性质3. .)(是右连续的是右连续的xF).()(lim)0(000 xFxFxFxx 即即对 对于任意实数 ，有 (1). = ; (2). = ； 证明 类似可证 (3). =1 ； (4). =1 ； xxXP 0 xFxFxXP0 xFxXPxXPxXP)0()0()()(xFxFxFxFxXP xFxXP0 xF几个经常用到公式 三、分布函数与离散型随机变量分布律的关系 一般地 （1）若离散型随机变量的分布律为： 则对于任意实数 ,X的分布函数为 = 即, 的值等于所有不大于 的 对应的概率之和 （2）设离散型随机变量X的分布函数为 ， 为其间断 点 =1, 2, , 则X的分布律为 = , =1，2，. x xXPxFxxkkp xFxkx xFkxkkkxXPp 0kkxFxFk