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第一章：三角形的证明【基础知识】1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS”、 、 、 、 。2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：等腰三角形的 相等。（“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )等腰三角形是 图形。 （3）判定：定义 “ ” （4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：三角都等于 具有等腰三角形的一切性质。 判定：定义 有一个角 是等边三角形。3、直角三角形 （1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。 （2）性质：“勾股定理” 。直角三角形两锐角 。直角三角形斜边上的中线等于 。在直角三角形中，30角所对直角边等于 。 （3）判定：定义 两锐角 的三角形是直角三角形“勾股定理逆定理” 。ABCDEF4、角平分线 （1）定义： 。 （2）性质：角平分线上的点 相等。三角形的三条角平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。 （4）角平分线的作法：5、线段的垂直平分线 （1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 （2）性质：线段垂直平分线上一点 相等。三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。（4）线段的垂直平分线的作法：6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理【典例讲解】一、选择题1、到ABC的三条边距离相等的点是ABC的（ ） A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点2、如图，从等腰ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF，分别交AC、AB于点E、F，则AFDE的周长等于这个等腰三角形的( ) A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长3、如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则ABC的大小是（ ） A.45 B.50 C.55 D.604、如图，在，90，15，的中垂线交于，为垂足，若10，则等于（）10 8 5 255、如图，已知在中，30，3，则AC的长等于（） 2题 3题 4题 5题6、ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm7、下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等8、下列说法正确的是（ ）A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理C每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 二、填空题1、命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_。这条逆命题是_命题（填“真”或“假”）2、已知，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10 cm，则ODE的周长 .3、如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，则PD的长为 .4、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 5、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在ABC的三条线的交点最适当6、如图（九），一个正方体的棱长为2cm，一只蚂蚁欲从A点处沿正方体侧面到B点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .AB7、如图（十）的(1)中，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在（2）中EF上，折痕交AE于点G，那么ADG= .三、解答题1已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？ 2、如图，AB=AD=8，四边形的周长为32，求BC和CD的长。3、作图题（保留作图的痕迹，写出作法）（共6分） 如图（十一），在AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的 距离相等，并且P点到M，N的距离也相等.4、如图（十五），ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F.求证：（1）ADEF ；（2）当有一点G从点D向A运动时，DEAB于E，DFAC于F，此时上面结论是否成立？ 5、如图（十六），ABC、DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：CNM为等边三角形.4如图，ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DEAC，求证：AD+CE=DE5、如图2所示，已知：在ABC中，AD为ABC的中线，F为AC上一点，且AF=AC，连结BF交AD于E，若EF=5cm.求BE的长。 A F E B D C6、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.7、已知：菱形ABCD中（如图），A72，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法 分法一： 分法二： 分法三：8、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若A=60，DCB=EBC=A，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3） 在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且DCB=EBC=A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论. 9、巳知：如图，在ABC中ABAC， 延长AB到D使BDAB，E为AB的中点，求证：CD2CE 【巩固练习】1.一个等腰三角形有一角是70，则其余两角分别为_.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_.3.如下左图，ABC中，C=90，AM平分CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_ 4.如上右图，等边ABC中，F是AB中点，EFAC于E，若ABC的边长为10，则AE=_，AEEC=_.5.如下左图，ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则ACD的周长为_. 6.如上右图，C=90，ABC=75，CDB=30，若BC=3 cm，则AD=_ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，ACE=25，ADE=_. （17题）8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_ cm.9.如上右图，在AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_，这个逆命题是_命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2bc=a(bc)，则这个三角形（按边分类）一定是_三角形.12.等边三角形的高为2，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.B.90 C. D.90n14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=，c= C.a=9，b=12，c=15 D.a=，b=2，c=15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5 C.10D.1216.ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm17.如右图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则A的度数为（ ） A.55 B.45 C.36 D.3018.等腰ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ） A.13 cm B. cm C. cm D.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.aB. aC.aD. a22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ） A.等腰三角形B.等边三角形 C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC中，A=120，BC中点为D，过D作DEAB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ） A.8 cm B.7 cmC.6 cm D.4 cm24.下列说法中，正确的是（ ）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（ ） A.8 B.5 C.3 D. 26.将两个全等的有一个角为30的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A.4B.3 C.2D.1 27.下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5B.2C.D.129.已知：如图，AB=AC，DEAC，求证：DBE是等腰三角形.30.已知：如图，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB.31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+ (n0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，ABC中，AB=AC，1=2，求证：AD平分BAC.33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边ABD，连结DC，以DC当边作等边DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求BE的长.*34.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M， A=30，求NMB的大小.如果将中的A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的大小.你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）将中的A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？ 【连接中考】 1.（2011山东济宁，9，3分）如图，ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则ABD的周长是A22cm B20 cm C18cm D15cmBCADEABCOyx 2.（2011湖北黄冈，14，3分）如图，把RtABC放在直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6上时，线段BC扫过的面积为（ ）A4 B8C16D3. （2011安徽，6，4分）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）A7B9C10D114. （2011山东威海，3，3分）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 5. （2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，BAE=120, B=E=90，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得AMN的周长最小时，则AMN+ANM的度数为（ ）A. 100 B110 C. 120 D. 130ABCDEFG6. （2011浙江金华，15，4分）如图，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 7. （2011四川南充市，10，3分）如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tanAEC=;SABC+SCDESACE ;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个8. （2011浙江义乌，10，3分）如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90， 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个9. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在中，点为的中点，垂足为点，则等于（） A B C D D10. （2011浙江杭州，16，4）在等腰RtABC中，C=90，AC1，过点C作直线lAB，F是l上的一点，且ABAF，则点F到直线BC的距离为 11. （2011浙江台州，14,5分）已知等边ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB,EB分别交边AC于点F，G，若ADF=80 ，则EGC的度数为 12. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则 13. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰RtABC的直角边长为1，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_14. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上且CGCD，DFDE，则E 度15. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中， 是高和的交点，则线段的长度为（ ）. AB 4CD16. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 417. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）718. （2011河北，9，3分）如图3，在ABC中，C=90，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）A B2 C3 D4 ACBEFD ACEDBF3045 19. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在RtABC中，ACB = 90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _cm 20. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. 21. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2 B. C. D.6 22. （2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D423. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3四边形A2B2C2D2是矩形; 四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A5B5C5D5的周长; 四边形AnBnCnDn的面积是 A. B. C. D. 24. （2011山东临沂，11，3分）如图，ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，已知A30，BC2，AFBF,则四边形BCDE的面积是（ ）A2 B3 C4 D425. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H下列结论：AEDDFB；S四边形BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF其中正确的结论A只有B只有C只有DABCDEFGHABCDEFGH26. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形27. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH 28. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_cm. 29. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 。30（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 ABCDE31. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求证：ABBC；（2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD31（2011宁波市，23，8分）如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形 32. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形 33（2011四川内江，18，9分）如图，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想 ABCDE34. （2011四川成都，20,10分） 如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK=KC，求的值； (2)连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明 - 12 -
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