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复习复习1. 三角比的定义三角比的定义 2. 同角三角比的关系同角三角比的关系 1cossin22 22sec1 tg 22csc1 ctg1cscsin 1seccos1 ctgtg tg cossin ctg sincosry sinrx cosxytg yxctg xr secyr csc 是是 角的余弦值，角的余弦值， 不能简单的应用分配律用不能简单的应用分配律用 “cos” 乘以乘以 乘以乘以 )cos( )( coscos)cos( 引入引入 是否成立？是否成立？ coscos)cos( 答：将答：将 代入上式，代入上式， 0,2左边左边右边右边02cos)02cos( 10cos2cos问题：问题： 因此因此 cos(-） cos-cos一、作（一、作（）角）角 1.1.在坐标系中作在坐标系中作单位圆单位圆,推导推导cos(-)公式公式 oYX 单位圆就是以原点为圆心单位圆就是以原点为圆心,以以1为半径的圆为半径的圆3.3.（-）角的始边是）角的始边是OQOQ，终边是，终边是OPOPPQ11-1-12.作作任意任意角角角角, ,终边分别与单位终边分别与单位圆相交于圆相交于P P，Q Q两点。两点。应用数形结合的数学思想，推导应用数形结合的数学思想，推导cos(-)公式公式oYXPQ 推导推导cos(-)公式公式 二、旋转（二、旋转（-）角）角6. 全等，有全等，有OQP,/PQO/QPPQ 5.点移到，点移到。点移到，点移到。/Q/PP/Q/ 4. 4.将将 角绕角绕O O点旋转点旋转 角角)(/QPPQ 重要的发现重要的发现推导推导cos(-)公式公式oYXP(cos(),sin(-)(1,0)三、分析四个点的坐标三、分析四个点的坐标 sin1,cos1 ppyxsin1,cos1QQyxP点坐标为：点坐标为：)sin,(cos Q点坐标为：点坐标为：)sin,(cos )sin(1),cos(1/PPyx P/ 点的坐标点的坐标 ： )sin(),(cos()0 , 1 (Q/点的坐标为：点的坐标为：Q)sin,(cos)sin,(cos P/Q/QPPQ 重要的发现重要的发现222/0)sin( 1)cos(QP推导推导cos(-)公式公式oYX两点间距离公式两点间距离公式 ：22122121)()(yyxxPP )(sin1)-2cos(-)-(cos22)cos(22222)sin(sin)cos(cosPQ2222sinsinsin2sincoscoscos2cos)sinsincos(cos22)cos(22)sinsincos(cos22由由 得到：得到： /QPPQ P/(cos(),sin(-)Q/(1,0)四、演算四、演算/QPPQ 因此因此cos(-)=coscos+sinsinQ(cos，sin)P(cos,sin)/QPPQ 重要的发现重要的发现Wonderful!它的关鍵四步是：它的关鍵四步是： 推导过程回顾推导过程回顾 两角差余弦公式推导思路是两角差余弦公式推导思路是, ,构造构造(-)(-)角，将角，将(-)(-)角旋转角旋转-， 由由|PQ|=|P|PQ|=|P/ /Q Q/ /| |，得到两角差余弦公式。，得到两角差余弦公式。 这个推导方法称为图形构造法。这个推导方法称为图形构造法。P/(cos(),sin(-)Q/(1,0)XoYQ(cos，sin)P(cos,sin)3. 3. 四个点的坐标分别是四个点的坐标分别是 2. 2. 将（将（-）角绕）角绕O O点旋转点旋转-角；角；)cos(22)sinsincos(cos22 4. 4. 由由 |PQ|=|P|PQ|=|P/ /Q Q/ /| | ， 得到得到)sin(),(cos(),0 , 1 (/PQ)sin,(cos),sin,(cosQPcos(-)=coscos+sinsin1. 1. 作（作（-）角；）角；/QPPQ 重要的发现重要的发现公式说明公式说明 两角差的余弦公式 1.,1.,角是任意角，（角是任意角，（-）也是任意角。）也是任意角。2.两角差的余弦公式中，前面是两角差的余弦公式中，前面是“号号”，后面是，后面是“号号”。 3. cos（-）的展开式是两个同名三角弦乘积的和。）的展开式是两个同名三角弦乘积的和。说明：说明：cos(-)=coscos+sinsin练习1.计算：(1)(2)(3)15cos10sin53sin10cos53cos课堂练习：课堂练习： 20sin80sin20cos80cos 46222232221sin45sin60cos45cos60)4560cos(解：原式)3045cos(15cos（方法二）30sin45sin30cos45cos462 2160cos)2080cos(解：原式02cos)10106cos()1053cos(解：原式由于由于两角差余弦公式是对两角差余弦公式是对任意的任意的,角角都成立，都成立， 问题：问题： cos(+)=? 两角和余弦公式的推导两角和余弦公式的推导 )sin(sin)cos(cos)(cos()cos(sinsincoscos 两角和的余弦公式：两角和的余弦公式：cos(+)=coscos-sinsinsinsincoscsin)sin(cos)cos()cos()(cos)cos(os两角差的余弦公式：两角差的余弦公式：cos()=coscossinsin方法二：方法二：+=（)方法一：方法一：+= ()课堂练习：课堂练习： 练习练习2.2.计算：计算：(1) (2) (3) 105cos解：（1）)4560cos(105cos45sin60sin45cos60cos 4622223222115sin15cos224622122232230sin135sin30cos135cos)30135cos(105cos（方法二）42sin18sin42cos18cos解：（2）42sin18sin42cos18cos2160cos)4218cos(解：（3）15sin15cos2215sin15sin15cos15cos2330cos)1515cos(例题已知例题已知求求9030,53)30cos( cos课堂练习：课堂练习： 练习练习3.化简：化简：(1)(1) (2) sin)sin(cos)cos(30sin)30sin(30cos)30cos()cos(sin)sin(cos)cos(cos解：解：30)30cos(30sin)30sin(30cos)30cos(cos解：解：60300,9030 54)53(1)30(cos1)30sin(22解：解：30sin)30sin(30cos)30cos(30)30cos(cos1043321542353展开，求方程的解，能解决问题？展开，求方程的解，能解决问题？正确的思路正确的思路: : （30300 0）30300 0这种方法称为角变换方法，关鍵是这种方法称为角变换方法，关鍵是 30)30( 小结：小结： 1.两角差的余弦公式推导的关键四步：两角差的余弦公式推导的关键四步： 3.3.两角和的余弦公式两角和的余弦公式: :2.2.两角差的余弦公式两角差的余弦公式: :4. “角变换角变换” 数学方法数学方法：（1 1）作（作（-）角；）角；（2 2）将（）将（-）角绕）角绕O O点旋转点旋转-角；角；（3 3）分析四个点的坐标分析四个点的坐标（4 4）由）由 |PQ|=|P|PQ|=|P/ /Q Q/ /| | cos(-)=coscos+sinsincos(+)=coscos-sinsin如如=（300）300 （）作业：作业： 1.1.练习册：练习册： P15 4P15 4(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)2.补充题：补充题： 1已知已知 求的值。求的值。 2已知已知 求求 。 31)cos( 22)cos(cos)sin(sin cos9030,135)30cos(例题例题. . 已知已知 求求 解解：例题讲解：例题讲解： 9030,53)30cos( cos56sincos353sin21cos235330sinsin30coscos53)30cos(221cos1sincostt令cos356-12t移项得)(025113512433562)56(12222ttttt两边平方得：25256251144)3512(2上式方程中：1043342252563512)(2, 1t式方程的解是：此时还要根据函数的单调性，讨论此时还要根据函数的单调性，讨论这两个根的取舍。这两个根的取舍。因此这种解法不是一个好方法。因此这种解法不是一个好方法。思考：用什么方法解这一题？思考：用什么方法解这一题？
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