Gram方阵的探讨

目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言11欧几里得空间1欧几里得空间1标准正交基2标准正交基的定义2Gram-Schmidt正交化3Gram方阵4Gram方阵的定义4Gram方阵的性质5Gram方阵的几何意义93.1平行六面体93.1.1平行六面体的定义9平行六面体的体积10Gram方阵的几何意义113.2.1超平行六面体113.2.2Gram方阵的几何意义114结论13致谢13参考文献13附录A14Gram方阵的探讨信息与计算科学王作宾指导老师叶传秀摘要：欧几里得空间是极其重要的向量空间，而Gram方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵，它具有一些重要的特征.这里将对Gram方阵的定义、行列式、性质及其几何意义等做进一步探讨首先介绍内积、欧几里得空间、标准正交基和施密特正交化等概念然后给出在欧几里得空间中一组向量下的Gram方阵的定义及其一些重要性质,如Gram方阵的正定性、合同性等.最后探讨一下Gram方阵的几何意义，即在欧几里得空间中,Gram行列式等于超平行六面体体积的平方关键词：内积Gram方阵标准正交基施密特正交化合同超平行六面体DiscussiononGramMatrixInformationandComputingScieneeWangZuobinTutorYeChuanxiuAbstract:Euclideanspaceistheextremelyimportantvectorspace.However,GrammatrixinEuclideanspaceisaspecialmeasurematrix,whichhassomeimportantfeatures.Heretherewillbetodoafurtherstudyonthedefinition,determinant,propertiesandgeometryinterpretationofGrammatrix.Firstly,itintroducestheconceptsofinnerproduct,Euclideanspace,thestandardorthogonalbasisandtheSchmidtorthogonalization.Secondly,itpresentsthedefinitionoftheGrammatrixandsomeofitsimportantpropertiesunderagroupofvectorintheEuclideanspace,suchasthepositivedefinitenessandthecontractofGrammatrix.Finally,itwilldiscussthegeometryinterpretationofGrammatrix,thatistosay,theGramdeterminantisequaltothesquareofthehyper-parallelepipedvolumeintheEuclideanspace.Keywords:innerproduct；Grammatrix;standardorthogonalbasis;Schmidtorthogonalization;contract;hyper-parallelepiped引言欧几里得空间是极其重要的向量空间，而Gram方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵，它具有一些重要的特征.许多专家学者对Gram方阵的定义、性质及其应用做过一些探讨，本文主要是在前人的一些工作成果的基础上对Gram方阵做进一步的研究，包括Gram方阵的定义、行列式、性质以及其几何意义和它们之间的关系.1.1 1欧几里得空间欧几里得空间定义1.1设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作(),它具有以下性质：1)I，,；3）二亠卩，=二，I，+：；,;4）i：_0,当且仅当、；=0时：；,：-0.这里的:,是V中的任意向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间简称为欧氏空间.1.2.1 例：任意一个n维的欧几里得空间V都等距同构于E（n）=R（n）,这里的列向量空间R（n）的内积为TX,yi=xy=X1X22亠亠XnYn（对于X=（Xi，Xn）T,y，yn）TR（n）.E（n）称为n维经典欧几里得空间）标准正交基标准正交基的定义定义1如果向量的内积为零，即（：,J=0那么称它们正交或相互垂直，记为壽.1显然,这里的正交定义与解析几何中对于正交的说法是一致的.由定义立即看出，只有零向量才与自己正交.定义2欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.应该指出，按定义，由单个非零向量所组成的向量组也是正交向量组.不难证明，正交向量组是线性无关的.事实上,设正交向量组u2,，n有一线性关k“1k22宀k/n用二与等式两边作内积，即得ki（i,二）=0由:i,有（二，二）0,从而ki-0（i=1,2，,n）.这就证明了U，n是线性无关的.定义3在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单的表示出来，即=（；1，）；1-（；2,）；2（；n）；n事实上,设二召-X2Xn用；i与等式两边作内积，即得Xi=（；i,（i2，n）1.2.2 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式，设?-X!.X2；2亠亠Xn；n,:=yi；1y2；2yn；n那么（，：）=Xiyi畑2、Xnyn=XTY这个表达式正是几何向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广Gram-Schmidt正交化定理1（基扩充定理）n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明：设I,2,，九是一正交向量组，我们对nm作数学归纳法.当n_m=O时，：、就是一组正交基了假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以找到向量,一：2，,使得1,2，-m,-1,1，-k成为一组正交基现在来看n-m=k+1的情形.因为m：n,所以一定有向量1不能被：2,，m线性表出，作向量二m1=-_：-k2-：2_5-：订这里的k-k2,km时待定系数.用d与一:咕1作内积，得Ci/m1）Wi）-ki（i,：i）（i=1,2，m）.取（-i）ki-（i=1,2,m）.C:）有dm1）=（i=1,2，m）.由1的选择可知，：1=0.因此12，m,m.1是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2,，m,m1可扩充成一正交基.定理的证明实际上给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果我们从任一非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空间的一组基对于这种情形，有下面的结果：定理2（Gram-Schmidt正交化）对于n维欧氏空间中的任意一组基；_；2,；n,都可以找到一组标准正交基2,，n,使L（；1,；2,，；i）二L（1,2,，i）（i=1,2，,n）首先，可取i二-证明：设-，；n是一组基，我们来逐个地求出1,2，般地，假定已求出1,2，m,它们是单位正交的，具有性质L（1,；2,，；i）=L（1,2,，i）（i=1,2，m）下一步求m1.因为L（；。，；J=L（1,2，i）,所以；m1不能被1,2，m线性表出按上述定理的证明方法，作向量mm1=；m1二.（；m4,i）ii二显然m1=0,且（鳥1,i）=0（i=1,2，m）.令=m_Lm十产.-m十1，2，m，m1就是一组正交向量组同时L（；1,；2,，；m1）=L（1，2，m1）.由归纳法原理定理可得证2.1 （还有一种求标准正交基的方法，在后面的Gram方阵性质里面将会提到）2Gram方阵Gram方阵的定义在实数域上的欧氏空间中，我们总可以定义向量的内积设1,4,，亠为n维欧氏空间V中的任意一组向量，用这组向量的一切可能的内积作成一个方阵，即（oti,o（i）（0（1,0（2）（0ti,0（n）（0（2，口1）（0（2，口2）（。2,5）AA.AA2n，aJ（O（n，C（2）（dnOn）丿这样的方阵定义为向量组u2,，亠的Gram方阵,记为gc.：。，：）简记为G.并称Ge,4,（n）|为口i,g,5的Gram行列式.2.2 Gram方阵的性质定理3Gram方阵是对称阵.（由内积的对称性易知）特别的当这组向量_:,二2,，二n为实数域上的n维欧氏空间V的基时，此时称G为此基的Gram方阵,仍记为G,并且有下面的事实成立.定理4欧氏空间V中的不同基的Gram方阵是合同的正定方阵证明：设宀，2,，r为n维欧氏空间V的一组基，.氏三7贝U：=乂勺亠-x2：2一.-xn：n（:,：）=（Xi*X22X-n,X/-i-X22X/n）二（Xi,X2,仏,）（SS）（企,）（。2,並）（並,5）X2.aJOnOi）（5心2）gOn）,Xn）其中:T二ZGZXiX2Xn丿G=（J,-：打）nnTZGZ=G:）-0ztgz是正定二次型G是正定方阵设、1,2,，：J,厂2,，是n维欧氏空间V的两组基.同一内积在基、，2,，r下的Gram方阵为a在基门2,，/下的Gram方阵为B-，：=V:-,关于基L1，:匕,，：的坐标为Z,Y:,1关于基二，爲，鳥的坐标为乙，丫i设由基，n到基Cl，-，/的过渡矩阵为C，则Z二CZi，Y二CYi又(：，J=ztay(CZ1)TA(CY1Z1TCTacyz1by1T.B=CAC推论1若G为对角矩阵，则基L，2，亠*为n维欧氏空间V的一组正交基.推论2若G为单位矩阵，则基宀，:2,，:为n维欧氏空间V的一组标准正交基.上述定理说明了这样一个事实，n维欧氏空间V的一切基的Gram方阵恰好是n阶正定矩阵所组成的合同类.而这个合同等价类中含有单位矩阵I，从而以单位矩阵为Gram方阵的基一定存在，它就是V的一组标准正交基.由此提供了一个求标准正交基的方法.例：在欧氏空间R3中，内积按通常的定义，由基（1，0，0），（1,1，0），（1,1,1）求R3中的标准正交基.解：易求得基=（1,o,0）,2=（1,1,0）,3=（1,1,1）的Gram方阵为111G=122Q23因G的各阶顺序主子式大于0,从而G为正定阵，于是存在可逆阵j-10P=01-1使得ptgp=101有（；1,；2,；3）=（：】，2,3）P从而得巾=(1,0,0)；2二匕-二=(0,1,0)；3=二-2=(0,0,1)故1,；2,；3为一标准正交基推论3n维欧氏空间V的两个内积在同一基下的Gram方阵是合同的.由合同的传递性，我们可得推论4n维欧氏空间V的任一内积在任一基下的Gram方阵是合同的.例：在欧氏空间R3中,已知宀=(1,1,1),2=(0,1,2),3=(2,0,3)是R3的一个基,一内335、积关于&,g应3的Gram方阵为A=356,求这一内积在基(5613J=(2,0,1),=(0,1,-2),爲=(1,-1,1)下的Gram方阵.解：设由基:1,二，7到基.,J的过度矩阵为c101201)I1-21,3/5-4/54/5/在基：1,：2,：3:下的Gram方阵Br52/53B=CTAC=2/55-9/5、39/53定理5设:-，亠是n维欧氏空间V中的一组向量，它的格莱姆方阵为G,则8,，Gm线性无关的充要条件是g|0.证明：设J,，亠线性无关，则总可以将其扩充为V的一组基J,，九,九.1,，n由于此基的格莱姆方阵是正定的，从而其m阶顺序主子式*卜0反之，设GI式0则讯,%必线性无关.推论3向量组：1，m线性相关的充要条件是它的格莱姆方阵的行列式为零定理6设匚是n维欧氏空间V的一个线性变换，在基二，2,，亠下的矩阵为A,则匚是对称变换的充要条件是ATG=GA,其中G为基的格莱姆方阵.证明：设=X1X22宀x/n,二y；1y2；2yn；n为V中的任意两个向量，则C-,JXTGY.X=（Xi,，Xn）丫=（y，yn）G=（_：d：j）为基_:订，2,，二n的格莱姆方阵,由于二在基1,2,，：n上的矩阵为A,因此关于基的坐标分别是AX与AY.故（；（:），）=（ax）tgy二xtatgy（n（J）=XTG（AY）二XTGAY因为X,Y是任意的，从而二是对称变换的充要条件是ATG=GA.定理7设亠,，亠，匚，.为欧氏空间V的两组向量，如果它们的格莱姆方阵相等，则子空间Vi=L（1,，:m）与V2=L（i，-m）同构.证明：-G（：,，:韦）=G（，-）二Ga，）|=|G（Bi,，驚）|.设:d，m的一个极大线性无关组为1,，亠（r乞m）二G（企，ar）式0又G,，ctr,Gj）|=0（j=r+1,m）二G（Pi,卫）|式0且|g（R,卫，）|=0,（j=r+1,m）由此知：,，线性无关，而-1，-r，j线性相关（j=r-1/,m）即1,是，m的一个极大线性无关组因此V1二LG，Cm）,V2二L：1,）由于dimV1=dimV2，故V1=L（1,，m）与V?=L（1,，）同构.定理8令11，2,，n1是欧氏空间V中的一组线性无关的向量，门1,，是由这组向量通过正交化方法所得的正交组，证明：这两个向量组的格莱姆行列式相等，即Ggq，,Gn）HG（01,氏,，忙）|=（01卫）沖2，02厂（忙，忙）证明：；，冷，1是由：,2n通过正交化方法而得的-可设：氏=匕2口1+。2(Pn=上仆0(1+t2nOf2十+tn,nOtn丄+0(n0其中Mr0t1211nt2n0且M=1于是（01,曳，Bn）=（口1心2,，On）MT且M=1.行1,Rd(02),Bn)(5q)（5,02）即(02,氏)（島,）（蔦点）=M(gq)（弧弧）,(An,%)(Bn,Bn)丿gnSQnS)Jn氏尸M(S5:nM(口1，Gn)(。2,5)MQnOn)两边取行列式得:G(B,P2,，3)=G(C(i,0(2,，C(n)(注意到|M=M=1)又；,：n是正交组(，)U),(iF)0,(i=j)G(01,曳,n)=(E,)(02,B2)(Bn*n)故Gag，,%）=G（R2,，Bn）=少）（氏2厂（为，耳）.3Gram方阵的几何意义我们先讨论三维几何中的平行六面体的体积，然后推广到n维欧几里得几何中的超平行六面体.3.1.1 平行六面体平行六面体的定义在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体它与平行四边形的关系,正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体平行六面体的三个等价的定义为：六个面都是平行四边形的多面体；*有三对对面平行的六面体；底面为平行四边形的棱柱平行六面体可由正方体经线性变换而成平行六面体的体积平行六面体平行六面体的体积是底面A与高h的乘积.这里的高是底面与对面的垂直距离.另外一个方法是用向量a=佝,a2,a3),b=(b1,b2,b3),以及c=(q,c2,c3)来表示相交于一点的三条棱.于是,平行六面体的体积就等于三重积a(bc):V=a，(bxc)=b(cxa)=c(axb)这是因为,如果我们选择b和c来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积为：A=bcsinO=bxc其中二是b与c之间的角,而高为：h=acosa其中是a与h之间的角.从图中我们可以看到，:的大小限定为0乜:：90.而向量bc与a之间的角B则有可能大于90U80).也就是说,由于bc与h平行，:的值要么等于1，要么等于=180丄：.因此：cosa=士cosB=cosP且h=|a|cosP.我们得出结论：V=Ah=|a|bXc|cosP,于是,根据数量积的定义，它等于a(bc)的绝对值.最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值a2a3iV=detb1b2b3C2c3/3.2.1 3.2Gram方阵的几何意义超平行六面体定义设向量九二,，亠是n维欧氏空间V的一组基,则由向量：“二,，亠所决定的超平行六面体是指D=D（略，用2,，用n）=*上2用2亠亠tn、n|0_ti_1,1_i_n”例如，n=2时,D为平行四边形；n=3时,D为平行六面体.对于平行六面体的情况在3.1中已经有所介绍.3.2.2 Gram方阵的几何意义定理9（Gram方阵的几何意义）设二，2,，亠是n维欧氏空间的一组基,则向量组亠，：2,，:、下的Gram方阵的行列式等于由该组基所决定的超平行六面体体积的平方，即2G=DSS，）其中G=（：,）为二，2,，亠的Gram方阵.证明：由Gram-Schmidt正交化过程容易得出超平行六面体的体积|Ds,，5）.设（1,2,，：，n）=（；1,；2,，；n）P,其中（,；2,，；n）是1,2，n正交化得到的标准正交基，P=（Pj）=T亠（这里的T如附录A）,也就是说aj=P1j各+P2j6+p.注意En正交于Vn丄二L（：G2,，n）,而n在；n的投影为（亠，；n）=Pnn,故按体积定义有DU，）|TDgS，Onj|Pnn.递归之得_切,_：2，-g决定的超平行六面体体积为过渡方阵的行列式：DQS，）=P11Pnn=P现设eg,，en为V的任意的标准正交基，（1,2,，n）=G,e2,，en）Q,则有（色,骂，哲）P二心弋,en）Q,故PQ亠为正交方阵,故|PQ=1,即D,%，毎）=P=土Q这也就是说,超平行六面体D（冷，2,n）的体积由2,，n在任意的标准正交基下的坐标行构成的行列式的值给出这一结果在n等于3的情况下是熟知的，在上面的讨论中也有所表现现在注意:，宀,，亠的Gram方阵为G=（：）=pT（；j）p=pTp（Gram方阵的合同性）则两边取行列式得22G=P=D（Cti，C（2，C（n）.即Gram行列式等于超平行六面体体积的平方.例：已知W二R3是3维标准的欧式空间.（1）设V是由W中的向量：，所张成的平行六面体的体积.证明Y（g,g）（g,B）V=，其中矩阵G（a,B,Y）=|（B,g）（B,B）（B,Y）（Y,。）（Y,B）f（2）设ABCD是一个对棱长度均相同的四面体，假设该四面体三对对棱的长度分别是4，5，6.试求该四面体的体积.证明（1）由定理9可得.（2）设：，为该四面体的同一节点出发的三条棱对应的三个向量，且a=4,|P|=5,f=6.则由a,P,?可在W=R3的欧氏空间中确定一平行六面体，并且设其1体积为V，则四面体的体积V1为该平行六面体体积的四分之一，即V1二-V.由（1）可4知V=G（o（,0,?）|（G同（1）,由余弦公式可得：2a+即屮|22町十K-H22cos(:,)=costsI：-)=47/60.故由(、,1；-)=1/8，cos(,)=2：2-9/16|P|cos(ct,0)得:5/227/22547/247/23616G(a,3,Y)=|5/2.27/2W顾吋1宀4结论通过上面的探讨,我们对Gram方阵的定义、性质及其几何意义都有了进一步的认识.最后探讨的Gram方阵的几何意义，即在n维欧氏空间中,在基仆：2,n下的Gram方阵的行列式等于由这组基向量所决定的超平行六面体体积的平方，在维欧氏空间n=3时有较好的应用，即求平行六面体的体积.主要思路是，只要知道该平行六面体的由一顶点出发的三个边所对应的向量组在直角坐标系下的坐标，然后利用在R3中所定义的内积求出该向量组下的Gram方阵的行列式，则该平行六面体的体积就很容易的求出了.致谢本论文选题及写作都是在叶传秀老师的亲切关怀和细心指导下完成的.他的严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多为人处事的道理，在此,我对叶老师表示深深的感谢.与此同时，我还要感谢教过我的所有的老师，没有他们谆谆的教导就不会有我今天论文的完成，谢谢了老师，您们辛苦了.参考文献：1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003:359-370.2 魏献祝.高等代数M.上海：华东师大出版社，1997:295-296.3 王正文.高等代数分析与研究M.济南：山东大学出版社,1997:251-253.4 张贤科，许甫华.高等代数学M.北京：清华大学出版社,2004:281-283.张禾瑞，郝鈵新.高等代数M.北京：高等教育出版社，2007:325-330附录A设1,】2,，是欧几里得空间V的基,则存在标准正交基；1，；2,，；n和实的上三角方阵T（而且T的对角线元素均为整数）使得（；1,；2,，；n）=（冷，2,，n）T证明把i,2,n进行Schmidt正交化可得一组标准正交基；1,；2,，；n.则由正交化过程可知有（2,；1）:（;T）（n，：nj：_（n，：n/）（和丄，2（，）（n，：1）:L1）1可得其中（；1，；2；，n亏-（1，2_；nT）tl1七22，其中tii页2.定理得证.