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1章解三角形13正弦定理蕃余弦定理的 应用（二）【学习目标】1会运用测仰角（或俯角）解决一些有关底部不可到达的物体的高度测量问题2 会用测方位角解决立体几何中求高度问题3 进一步培养学习数学、应用数学的意识.H问题导学-知识点一测量仰角（或俯角）求高度问题思考 如图，AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，如果能测出点 C,D 间的距离 m 和由 C 点，D 点观察 A 的仰角，怎样求建筑物的高度 AB（已知测角仪器的高是h）?梳理 问题的本质用am 表示 AE 的长，所得结果再加上 h.知识点二测量方向角求高度问题思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北 15。的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 25。的方向上，仰角 为 8怎样求此山的高度 CD?梳理 问题本质是：如图，已知三棱锥D ABC, DC 丄平面 ABC, AB= m,用a氏 m、丫表示 DC 的长.题型探究类型一测量仰角（或俯角）求高度问题命题角度 1 仰角问题例 1 如图所示，D, C, B 在地平面同一直线上,DC = 10 m，从 D, C 两地测得 A 点的仰角分别为 30和 45求 A 点离地面的高 AB.引申探究 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的坡度为 15,向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45若 CD = 50 m，山坡对于地DA平面的坡度为0,求 cosa命题角度 2 俯角问题例 2 在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是_m.反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要对所给的实际背景进行加工、提炼,抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题.跟踪训练 1 江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45。和 30而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.类型二测量方位角求高度问题例 3 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45/ BAD = 120又在 B 点测得/ ABD = 45其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.30 60则塔高为反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点 所在直线不经过 “目标物”.解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题 转化为平面内解三角形问题.跟踪训练 2 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东 方向上，测得点 A 的仰角为 60再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 m 到位置 D，测得/ BDC当堂训练1.一架飞机在海拔 8 000 m 的高空飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30。和45 则这个海岛的宽度为 _ m .（精确到 0.1 m）2甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30则甲、乙两楼的高分别是 _米.3 .如图所示，在地面上共线的三点A, B, C 处测得一建筑物的仰角分别为30 45 60 4 .设 A 是厶 ABC 中最小的内角，贝 U sin A + cos A 的取值范围是 _规律与方法1 .在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐, 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式.2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角=45 则塔 AB 的高是m.且 AB = BC= 60 m,则建筑物的高度为三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.4问题导学知识点一在 Rt AEC 中，AE = ACsina,AB= AE+ h.丁、“r msinasin3.所以 AB =+ h.sin(a3)知识点二思考 先在 ABC 中，用正弦定理求 BC=5sin 15”再在 RtADBC 中求 DC = BCtan 8 sin 10题型探究 例 1 解方法一设 AB= x m,则 BC = x m. BD = (10+ x)m. tan / ADB = AB =-=週DBDB10+x3 3解得 x= 5( 3+ 1)m. A 点离地面的高 AB 为 5( 3 + 1)m.方法二I/ACB = 45,/ ACD = 135,/ CAD = 180 135 30 = 15由正弦定理，得10o20 =sin 30 = .sinsin 1515.6.6 . . 2 2 - AB = ACsin 45 = 5(訪 3+ 1)m.引申探究答案精析思考解题思路是：在厶ACD 中,AC_msin3sina 3.所以 AC =ms in3sina 3 AC =CDsin / CADsin/ ADCAB解在厶 ABC 中，由正弦定理-AB-sin 30 cos0=sin(0+90 =AC15解析如图，在ABC 中,BC= ABtan/ BAC=200 xtan 3020033(m),AE= BC,则 DE = AEtan 303 =2 2r r(m)(m)，由于 CD 丄平面 ABD , / CAD = 45 所以 CD = AD.因此只需在 ABD 中求出 AD 即可.在厶 ABD 中，/ BDA = 180 45 120= 15由 snBT =SiAD5，得AB sin 45AD = sin 15 =6；2ACCD心 ADC 中，sin(0+ 90=前1515，ACSinAC5ACAC=100100 2 2.所以塔高CD = 200晋=晋(m).跟踪训练1 30。800 x宁4=800( .3 + 1)(m).即山的高度为 800( , 3+ 1) m跟踪训练 210 6当堂训练厂4031.5 856.42.20 3, 亍4. (1 ,2 3.30 6
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