《概率论与数理统计》习题三答案

概率论与数理统计习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.解X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.解X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P=03.设二维随机变量X,Y的联合分布函数为Fx,y=求二维随机变量X,Y在长方形域内的概率.解如图题3图说明：也可先求出密度函数,再求概率。4.设随机变量X,Y的分布密度fx,y=求：1 常数A；2 随机变量X,Y的分布函数；3 P0X1,0Y2.解1 由得 A=122 由定义,有 5.设随机变量X,Y的概率密度为fx,y=1 确定常数k；2 求PX1,Y3；3 求PX1.5；4 求PX+Y4.解1 由性质有故 2 题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在0,0.2上服从均匀分布,Y的密度函数为fYy=求：1 X与Y的联合分布密度；2 PYX.题6图解1 因X在0,0.2上服从均匀分布,所以X的密度函数为而所以 7.设二维随机变量X,Y的联合分布函数为Fx,y=求X,Y的联合分布密度.解8.设二维随机变量X,Y的概率密度为fx,y=求边缘概率密度.解题8图 题9图9.设二维随机变量X,Y的概率密度为fx,y=求边缘概率密度.解 题10图10.设二维随机变量X,Y的概率密度为fx,y=1 试确定常数c；2 求边缘概率密度.解1 得. 11.设随机变量X,Y的概率密度为fx,y=求条件概率密度fYXyx,fXYxy. 题11图解所以12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.1 求X与Y的联合概率分布；2 X与Y是否相互独立？解1 X与Y的联合分布律如下表YX345120300 因故X与Y不独立13.设二维随机变量X,Y的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.031求关于X和关于Y的边缘分布；2 X与Y是否相互独立？解1X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38 因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在0,1上服从均匀分布,Y的概率密度为fYy=1求X和Y的联合概率密度；2 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.解1 因故 题14图 方程有实根的条件是故 X2Y,从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计,并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为fx=求Z=X/Y的概率密度.解如图,Z的分布函数 当z0时,2 当0z1时,这时当x=1000时,y=题15图 当z1时,这时当y=103时,x=103z如图b即 故 16.设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从N160,202分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.解设这四只寿命为Xi,则XiN160,202,从而17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为PX=k=pk,k=0,1,2,PY=r=qr,r=0,1,2,.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=,i=0,1,2,.证明因X和Y所有可能值都是非负整数,所以于是 18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.证明方法一：X+Y可能取值为0,1,2,2n.方法二：设1,2,n;1,2,n均服从两点分布参数为p,则X=1+2+n,Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以,X+Y服从参数为2n,p的二项分布.19.设随机变量X,Y的分布律为XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 求PX=2Y=2,PY=3X=0；2 求V=maxX,Y的分布律；3 求U=minX,Y的分布律；4 求W=X+Y的分布律.解12所以V的分布律为V=max012345P00.040.160.280.240.28 于是U=min0123P0.280.300.250.17类似上述过程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点X,Y在屏幕上服从均匀分布.1 求PY0YX；2 设M=maxX,Y,求PM0.题20图解因X,Y的联合概率密度为1 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量X,Y在区域D上服从均匀分布,求X,Y关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图解区域D的面积为 X,Y的联合密度函数为X,Y关于X的边缘密度函数为所以22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1y2y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61解因,故从而而X与Y独立,故,从而即：又即从而同理又,故.同理从而故YX123.设某班车起点站上客人数X服从参数为0的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p0p1,且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求：1在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率；2二维随机变量X,Y的概率分布.解 . 24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X,而Y的概率密度为f,求随机变量U=X+Y的概率密度g. 解设Fy是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立,可见由此,得U的概率密度为25. 25. 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0,3上的均匀分布,于是有因为X,Y相互独立,所以推得 .26. 设二维随机变量X,Y的概率分布为XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为常数,且X的数学期望E= -0.2,PY0|X0=0.5,记Z=X+Y.求：1 a,b,c的值；2 Z的概率分布；3 PX=Z. 解 由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由,可得.再由 ,得 .解以上关于a,b,c的三个方程得. Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,即Z的概率分布为Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 . .