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第1章随机事件及其概率排 列组合 公式pmn 鹏工从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m n）!cm “m!从m人中挑出n个人进行组合的可能数。n!（m n）!加 法和乘 法原埋加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由用塘法完成，第二种方 法可由n种方法来完成，则这件事可由m+rf中方法来完成。乘法原埋（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m#方法完成，第二个步 骤可由n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。一 些常见 排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4）随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止 个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基 本事 件、样 本空间 和事件在 个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这组事件, 它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，功不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件; 同埋，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必后事件B发生）：A B如果同时有A B, B A,则称事件a与事件B等价，或称A等于 B: A=BA B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+R属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B, 也可表示为A-ABK者AB ,它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：A B,或者AB A B2 则表示A与B不可能同时发 生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为X。它表示A不 发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA(BUC)=(AU B)UC分配率：(AB)U C=(AJ C)A (BUC)(AU B) AC=(AC)J (BC)德摩根率：AiAiABAB，ABABi 1i 1概 率的公 理化定 义设 为样本空间，a为事件，对每一个事件a都有一个实数P(A), 若满足卜列三个条件：1 0WP(A)W,2 P(Q)=13对于两两互不相容的事件A1 , A2,有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古 典概型11 , 2n ,一。12 P( 1) P( 2)P( n)。n设任一事件A,它是由1, 2 m组成的，则有P(A尸(1)(2)( m) =P( 1) P( 2)P( m)几 何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同 时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称 此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A) L(A其中L为几何度量(长度、面积、体积)b(10)加法公 式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)= 0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11) 减法公 式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q日P(B)=1-P(B)(12)条件概 率定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称PPAB)为事件A发生条件下，P(A)事件B发生的条件概率，记为P(B/A) 1。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 P(b/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件A, A,A,若P(AAr-A-1)0,则有P(A1A2- - An) P(A1)P(A21 A1)P(A3| A1A2)P(An| A1A2-An 1)。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立 的。若事件A、BIK独立，且P(A) 0,则有若事件A、B相互独立,则可得到人与b、A与后、人与否也都相 互独立。必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设AB0三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件B1, B2, ,Bn满足1B1, B2, ,Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2, , n),n2 ABi ,i 1则有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn) P(A | Bn)。(16)贝叶斯 公式设事件B1, B2,，Bn及a满足1 B1，B2 ,，Bn 两两互不相容,P(Bi)0, i 1, 2,，n, n2 ABi , P(A) 0 ,i 1则P(B/A)P(Bi)P(A/Bi)P(Bi /A) n, i=1 , 2, - noP(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i 1, 2,，n),通常叫先验概率。P(BA), (j 1,2， n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并 作出了 “由果朔因”的推断。(17)我们作了 n次试验，且满足伯努利每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；概型n次试验是重复进行的，BPA发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则云发生的概率为1 p q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) C：pkqnk，k 0，1,2，n 第二章随机变量及其分布(1)离设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值散型随 的概率，即事件(X=X)的概率为机变量 的分布 律P(X=x)=pk, k=1,2,，的概率分布或分布律。有时也则称上式为离散型随机变量X 用分布列的形式给出：X . x1,x2, ,xk, |。 P(X xk) p1, p2, , pk, 显然分布律应满足下列条件:(1) pk 0, k 1,2, (2)pk 1。k 1连 续型随 机变量 的分布 密度离 散与连 续型随设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意 实数x,有xF (x) f (x)dx ,则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：A _1 f(x) 0。2 f (x)dx 1。积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。机变量 的关系(4)分 布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率 分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-s, X内的概率。 分布函数具有如下性质：1 0 F(x) 1, x ;2 F(x)是单调不减的函数，即x1 x2时，有F(x1) F(x2)；3 F( ) Jim F(x) 0, F( ) Jim F(x) 1.4 F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；5 P(X x) F(x) F(x 0)。八 大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为P。事 件A发生的次数是随机变量，设为X ,则X可能取 值为 0,1,2, ,noP(X k) Pn(k) Ckpkqn k,其中 q 1 P,0 P 1, k 0,1,2, ,n , 则称随机变量X服从参数为n , P的二项分布。记为 X B(n, p)。当 n 1 时，P(X k) pkq1k,k 0.1,这就是(0-1) 分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k)e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X ()或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=X , n-8)。超几何分 布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 pA0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。对于离散型随机变量，F(x)Pk；xk xx对于连续型随机变量，F(x) f(x)dx。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f (x) 在a, b上为常数,即b a1ax bf(X)b, a 其他，则称随机变量X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a b)。分布函数为?/ 0, xa,-X aF(x) x f (x)dx 1 b a，a& x b当awxiX2Wb时：X熔和殳。间(x1,x2)内的概率为P(xi X x2) x2 x1。b a指数分布xe ，x 0, f(x)?0 x 0?其中，0 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为1 e x, x 0 ,F(x) 0,x01记住覆分公式：正态分布设随机变量X的密度函数为1-f(x) 2 e 2,x,其中、o为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(GausS分布，记为2X N( , 2)。f(x)具有如下性质：1 f(x)的图形是关于X对称的；12当x 时，f( )为最大值；V2若X N( , 2)，则X的分布函数为1 x (2F (x)e 2 dt。参数9、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,1),其密度函数记为1 二(x) je ，x，分布函嗷%1 x -(x)1 e 2 dt。V2(x)是不可求积函数，具函数值，已编制成表可供 查用。1(-x) =1-0(x)且(0)= -。,EC-X2如果XN( , 2),则N(0,1)。P(x1 X x2)。分下分位表：p(x)=；上分位表：p(x)=。函 数分布离散型已知X的，o X分布列为x1, x2, xn,?P(X xi)Y g(X)(Yp1, p2, Q猊,pn,)yi g(gx(xn导不相等)如下：P(Y yi)若由某些 的概率。p1,P2, pn,g(xi)相等,则应将对应的pi相加作为g(xi)连续型先利用X的概率密度f G)写出Y的分布函数Ry) = P(g(X)wy),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章二维随机变量及其分布联合 分布离散型如果二维随机向量 (X, Y的所用口能取值为 至多可列个有序对仅,y),则称 为离散型随机量。设=(X, Y)的所启可能取值为(xi,yj)(i,j 1,2,)，且事件=(为.)的概率为Pij,称为二(X, Y的分布律或称为X和Y的联合分布律。 联合分布有时也用卜面的概率分布袋来表示：y2yjXiP11P12P1jX2P21P22P2jXiPi1这里Pj具有卜面两个性质： (1)PijA0 (i,j=1,2,)； i j Pij 1.连续型1)对于一维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f (x, y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a0;f(x,y)dxdy 1.二维 随机变量 的本质(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)lX( J x,Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x, y) 1;F (x,y)分别对x和y是非减的，即当 x2x 时,有 F(x2,y) F(xi,y);当 y2yi时,有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y)分别对x和y是右连续的，即(4) F(,)F(, y) F(x,) 0,F(,) 1.对于X x2, y1 y2,F(x2, y2)F(x2,y1)F3, y)F(x1，y1)0.(4)离散 型与连续 型的关系(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi? P(X X)Pj(i,j 1,2, ).j，Y的边缘分布为P?jP(Y yj)Pj(i, j 1,2, )o连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为 在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y) ( ,y) .fY(y)在已知X=x的条彳下，Y的条件分布密度为(7)独立 性一般型F(X,Y)=F(x)Fy)离散型有零不独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态 分布=0随机变量 若X,X2, XXm+-X相互独立，h,g为连续函数, 的函数 贝U：h (X,应 淘 和g (Xn+厂-X)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维设随机向量(X, Y)的分布密度函数为均匀分布 其中&为区域D的面积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布，记为(X YU (D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。维正态分布，记为(X Y) -N ( 1, 2, 12, 2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN( i, ；),YN( 2, 2).但是若XN( 1, 12),YN( 2, ；) ,(X, Y)未必是二维正态分布。(10)函 数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f(x, z x)dx两个独立的F态分布的禾加为M杰分布(l2,12 ) n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态 分布。Ci i2C：iiZ=max,mi n(Xi,X2, X)若Xi,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx(x), Fx2(x) Fxn(x),则 Z=max,min(XX2,淘的 分布函数为：2分布设n个随机变量Xl,X2, ,Xn相互独立，且服从标 准正态分布，可以证明它们的平方和 的分布密度为我们称随机变量W从自由度为n的2分布，记为W 2(n),其中所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是 随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设则t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设X 2(ni),Y 2仁)，且X与Y独立，可以证明F的概率密度函数为Y / n2我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个 自由度为n2的F分布，记为Ff(ni,n2).第四章随机变量的数字特征 一维 随机 变量 的数 字特离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其 分布律为P(X xk)=, k=1,2,n,(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量， 其概率密度为f(x),(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)征方差D(X)=EX-E(X)2,标准差(X)阿X),矩对于正整数k,称随机变 量X的k次哥的数学期望为 X的k阶原点矩，记为vk, 即丫k=E(X)= . xi pi ,k=1,2,.对于正整数k,称随机变 量X与E(X)差的k次哥的 数学期望为X的k阶中心 矩，记为k,即k=(xi E(X) Pii，k=1,2,.对于正整数k,称随机 变量X的k次哥的数学期 望为X的k阶原点矩，记 为Vk,即丫 k=E(X)=xkf(x)dx,k=1,2,.对于正整数k,称随机 变量X与E (X)差的k次 哥的数学期望为X的k阶 中心矩，记为短即=(x E(X)k f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)=w，方差D (X)= 一，则对于任意正数 ,后卜列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概 率的一种估计，它在理论上有重要意义。) 期望) 心) 质4)E(C)=CE(CX尸CE(X) nnE(X+Y尸E(X)+E(Y) E( GXGE(Xi)i 1i 1E(XY)=E(X)E(Y)充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。) 方差;) 的性) 质4)5)D(C)=Q E(C)=C _2_D(aX尸aD(X); E(aX)=aE(X) D(aX+b)=OD(X); E(aX+b尸aE(X)+b D(X)=E(X)-E2(X)D(X Y)=D(X)+D(Y)充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。D(X土 Y)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)无条件成立。常见期望方差0-1 分布 B(1, p)P分布 的期 望和 . 、 、/、 方差二项分布B(n,p)np泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H (n,M ,N)均匀分布U(a,b)指数分布e()正态分布N( , 2)n2nt分布0n / c、n 2(n2) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望函数的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=方差协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X 与Y的协方差或相关矩，记为xy或cov(X,Y),即 与记号xy相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可 分别记为XX与YY O相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X)0,D(Y)Q则称 为X与Y的相关系数，记作xy (有时可简记为)。 | | 1,当| |=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1人.斗正相关，当1时(a 0)，元王相关 负相关，当1时(a 0),而当 0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X 与Y的k+l阶混合原点矩，记为kl ; k+l阶混合中心矩 记为：(6) 协布 差的) 性质)cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(Xi+X,Y尸cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 独立 和不 相关若随机变量X与Y相互独立，则XY 0;反之不真。 若(X, Y N( 1, 2, 12, 2,),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比 雪夫定律设随机变量X, X,相互独立，均具有有限方差, 且被同一常数C所界：D (X) C(i=1,2,)，则对 于任意的正数 ,有特殊情形：若X, X 具有相同的数学期望E (X) =p,则上式成为伯努 利大 数定 律设w是n次独立试验中事件A发生的次数,p是 事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正 数 ,有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时， 事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很 小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦定律设X, %,，X，是相互独立同分布的随机变量 序列，且E (Xn)，则对于任意的正数有(2)中心极限 定埋列维林 德伯 格定 理设随机变量X,%,相互独立，服从同一分布， 且具有相同的数学期望和方差：E(XQ ,D(XQ 2 0(k 1,2,),则随机变量 的分布函数Fn(X)对任意的实数X,有 此定理也称为独立同分布的中心极限定埋。棣莫 弗 拉普定埋设随机变量X n为具有参数n,p(0p1)的二项分布， 则对于任意实数X,有(3)二项定理若当N时,MN P(n，k不受)，则超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理若当n时,np0 ,则其中k=0, 1, 2,，n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个) 指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看 成一个具有分布的随机变量(或随机向量个体总体中的每一个单兀称为样品(或个体)样本我们把从总体中抽取的部分样品Xi,X2, ,Xn称为样 本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互 独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样 本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时, Xi, X2 , ,Xn表示n个随机变量(样本)；在具体的一 次抽取之后，Xi,X2, ,Xn表示n个具体的数值(样 本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数 和统代设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本，称(Xi,X2, ,Xn)为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不 包含任何未知参数，则称(Xi,X2, ,Xn)为一个 统一常见统计 量及其性 质一 1 n样本均值X - Xi.n i i样本方差21n 2S2d (Xi X)2.n 1 i 1样本标准差S 丫 d (Xi x).V n 1 i 1样本k阶原点矩样本k阶中心矩_2E(X) , D(X),n222n 12E(S2)2, E(S* ),n.c1 n一 c .其中S*2 - (Xi X)2,为二阶中心矩。n i 1(2)正态 总体下的正态分布设X1,X2, , Xn为来自正态总体N ( , 2)的一个样本， 则样本函数四大分布t分布设Xi,X2, , Xn为来自正态总体N ( , 2)的一个样本， 则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设xi,x2, ,Xn为来自正态总体N( , 2)的一个样本， 则样本函数其中2(n 1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设xi,x2, Xn为来自正态总体N ( , 12 )的一，个样本，而yi,y2, ,yn为来自止态总体N(,行的一个样本，则样本函数其中F(ni 1,n2 1)表示第一自由度为ni 1,第二自由度为n2 1的F分布。(3)正态 总体下分 布的性质X与S2独立。第七章参数估计 点估 计矩估计设总体X的分布中包含有未知数1, 2, , m,则其分布函 数可以表成F(X； 1, 2, , m).它的k阶原点矩Vk E(Xk)(k 1,2, ,m)中也包含了未知参数1, 2, , m, 即Vk Vk( 1, 2, , m)。又设X1,X2, ,Xn为总体X的n个样 本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估的时，总体矩等于相 应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m方程中，解出的m口参数(1, 2, , m)即 为多数(1, 2, , m)的矩估订其。若 为 的矩估计，g(x)为连续函数，则g (为为g()的矩 估计。极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(X； 1, 2, , m),其中1 , 2, , m为未知参数。又设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本,称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX X P(X； 1,2, , m),则称 为样本的似然函数。若似然函数L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, rJ 在 i, 2, 处取到最大值，则称1, 2, , m分别为1, 2, , m的最大似 然估计值，相应的统皆称为最大似然估代。若 为的极大似然估计,g(X)为单调函数，则g(?)为g() 的极大似然估计。 估计 量的 评选 标准无偏性设(X1,X2, ,Xn)为未知参数 的估力量。右E()=,则称为的无偏估的。E (X) =E (X), E (S2) =D (X)后效性设 11(X1,X,2, ,Xn)和 22(X1,X,2, , Xn ) ZE 未知笠数的两个无偏估”里。右D( 1)D( 2),则称1比2后效。性设n是 的一串估的，如果对于任意的正数，都有 则称n为 的T估,(或相合估的)。若为的无偏估计，且D(?)0(n)，则为的f估计。只要总体的E(X)和D(X)#在，一切样本矩和样本矩的连续 函数都是相应总体的一致估的。 区间 估计置信区 间和置 信度设总体X含有个待估的未知参数。如果我们从样本X1，X,2, ,Xn出发,找出两个统计量11(X1, X,2, ,Xn)与22(X1,X,2, ,Xn)( 12),使得区间1, 2以1(01)的概率包含这个待估参数，即那么称区间1, 2为的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设Xi,X,2, ,xn为总体XN( , 2)的一个样本，在置信度 为1 下，我们来确定和2的置信区间1, 2。具体步 骤如下：(i)选择样本函数；(ii )由置信度1,查表找分位数；(iii )导出置信区间i, 2。已知方差，估计均值(i)选择样本函数(ii)查表找分位数(iii )导出置信区间未知方差，估计均值(i)选择样本函数(ii)查表找分位数(iii )导出置信区间方差的区间估计(i)选择样本函数(ii )查表找分位数(iii )导出的置信区间第八章假设检验基本思 想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以 认为基本上是不会发生的，即小概率原埋。为了检验一个假设H是否成立。我们先假定H0是成立的。如 果根据这个假定导致了 一个不合理的事件发生,那就表明原来的 假定H0是不止确的，我们拒绝接受H;如果由此没有导出不合理 的现象，则不能拒绝接受H,我们称H0是相容的。与H0相对的假 设称为备择假设，用H表示。这里所说的小概率事件就是事件K R,其概率就是检验水 平口,通常我们取=0.05,有时也取0.01或0.10。基本步 骤 )i) ii) v)假设检验的基本步骤如下：提出零假设H;选择统代K;对于检验水平查表找分位数入；由样本值X1,X2, ,Xn计算统代之值K将K与进行比较，作出判断：当|K| (或K )时否定H,否 则认为H相容。两类错 误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我 们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把 客观上H成立判为H为不成立（即否定了真实的 假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第 一类错误，记为犯此类错误的概率，即P否定H0|H0为真二;此处的恰好为检验水平。第二类错误当H为真时，而样本值却落入了相容域，按照我 们规定的检验法则，应当接受这时，我们把 客观上不成立判为H0成立（即接受了不真实 的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或 第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H为真二。两类错误的关 系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很 小。但是，当容量n一定时，变小，则 变大; 相反地，变小，则 变大。取定 要想使 变 小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类 错误的概率，即给定显着性水平口。口大小的选 取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为 真”、而不愿“以真当假”时，则应把口取得很 小，如0.01,甚至0.001。反之，则应把口取得 大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统的对应样本 函数分布否定域已知2N (0, 1)口 2口 2
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