几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

. 几何图形中函数解析式的求法函数是初中数学的重要容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式那么成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数如正、反比例函数，一次、二次函数的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进展解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。一、 用图形的面积公式确立等量关系BCADP图1例1、如图1，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，设PB=，梯形APCD的面积为1求与的函数关系式；2如果SABP =S体型APCD请确定P的位置。分析：此题所给的变量是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式S=上底+下底高 ，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=，下底AD=，高CD=，于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系，整理得：。2略ADCBEFGN图2例2、如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，AD=，BC=2，CD=2，四边形EFCG是矩形，点E、G分别在腰AB、CD上，点F在BC上。设EF=，矩形EFCG的面积为。2002年中考题1求与的函数关系式；2当矩形EFCG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求的值；3当ABC=30时，矩形EFCG是否能成正方形，假设能求其边长，假设不能试说明理由。分析：此题所给的变量值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式S=长宽，假设能算出长FC与宽EF，或者用变量、表示FC和EF，那么问题可获解决。其中宽EF=，问题归结为求出长FC，从而两个变量、之间的关系通过矩形面积公式建立了。解：1过点A作ANBC于N，因为在矩形EFCG中，EFBC，EFAN 即， 得BF=EG=FC=所求的函数关系式是02(2)、3略二、 由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系ABCDOEF图3例3、如图3，在RtABC中，B=90，A=30，D为BC边上一动点，AD的垂直平分线EF交B、AD、C于E、O、F，AB=2。1BD=，AE=，求关于的函数关系式；2是否存在使四边形AEDF为菱形？假设存在，那么说明理由。分析：此题所给图形中直角三角形较多，将两个变量x，y之间的关系集中到同一直角三角形中问题可获得解决。因为BD=x，AE=y，AB=2，所以BE=2-y，又根据线段中垂线的性质知DE=AE=y。于是，在RtBDE中，由勾股定理建立两个变量之间的等式。 解：1EF是线段AD的中垂线，AE=DE= BD=，BE=，在RtBDE中， BD2+BE2=DE2，即 整理得在RtABC中，B=90，BAC=30，AB=2 ，BC= ，0。于是 (0)为所求的函数解析式。(2)略三、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系OOBCDEA图4T例4、如图4，在ABC中，AB=8，AC=6，O是ABC的外接圆，且BC是直径，O与O切于点A，与边AB、AC分别交于点D、E。设BD=，DE=。1求关于的函数解析式，并指出自变量的取值围；2求当O与BC相切时的值。分析：AB=8，BD=，AD=，如果能求得BC的长，知道DEBC，那么问题便迎刃而解。显然，这两个问题可分别通过直径所对的圆周角的性质、弦切角定理获得解决。解：1如图4，过点A作O和O的公切线AT，那么有BAT=DEA=BCA。DEBC，。BC是直径，BAC=90，BC= 。，与的函数关系式是:08。2略四、用相似三角形，对应边成比例的比例式确立等量关系ABCDPQ图5例5、：矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，在BC边上取一点PP与B、C两点不重合，在DC边上取一点Q，使APQ=90。1设BP的长为，CQ的长为，求出与之间的函数关系式；2试讨论当P在什么位置时，CQ的值最大。分析：此题中APQ=90，假设连结AQ，问题可以转化为上述提到的“用直角三角形，利用勾股定理确立等量关系，但计算过程中会比拟复杂且运算量较大，容易算错。但仔细观察可以发现，由于BP=，CQ=，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，那么可考虑证ABPPCQ，由相似三角形对应边成比例可得：。从而问题可获解决，相比之下比第一种方法要简单。ABCEF图6例6、如图6，ABC是边长为2的等边三角形。点E、F分别在CB和BC的延长线上，且EAF=120。设BE=，CF=，求出与之间的函数关系式。分析:此题中的BE=，CF=，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，那么可证ABEFCA，由相似三角形对应边成比例可得：。从而问题可获解决。OEDABCGF图7例7、:ABC是正三角形,O切AB、AC于D、E、G是BC上一动点，DG交O于F，假设AB=16，AD=6，设DG=，EF=。1当点G在BC上运动时，求与的函数关系式；2求自变量的取值围；3求EF的最大值。分析：其中DG=，EF=，由于G是一个动点，当G的位置改变，、的值也会随着改变，这种“动的变化对于学生的理解来说是比拟抽象的。如果连结OD、OE，由四边形角和定理不难发现，在“动中存在着一个不动的量，就是DFE始终都等于60。由于ABC是正三角形，即有B =DFE，假设能找出分别含有DG、EF两边的两个三角形相似，那么问题就迎刃而解。显然，这个问题可通过弦切角定理找出BDG=FED，从而证出两个三角形相似。解：1如图7，连结OD、DE、DEAB、AC分别切O于D、EODAB，OEAC 即ADO=AEO=90 又A=60DOE=120DFE=60 即有B =DFEBDG=FEDDBGEFD AD=AE=6切线长定理 A=60DE=6 整理得：与的函数关系式是: 23略 几何图形中求函数的解析式是属于初中数学常见的几何的、代数的综合题。由于综合题的条件多，比拟分散，或者比拟隐蔽，因此增加了解题的难度。因此在解决这类问题时，要善于根据题目给出的条件结合几何图形找出突破口。而数形结合的思想是在分析解综合题思路的一种重要的数学思想运用这种思想可以把代数的问题化成几何的问题，最终由几何性质解决代数问题，把复杂的问题转化成简单的问题，从而完成数与数的转化，形与形的转化，数与形的转化。7 / 7