福建师范大学21秋《常微分方程》平时作业一参考答案9

福建师范大学21秋常微分方程平时作业一参考答案1. 单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。和2. 某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从参数4u的负指数分布，平均需要2h。又设顾客前来定制西装的过程为泊松过程，平均每周来到5.5人(每人定制一套西服，且设每周工作6天，每天工作8h)。试问一位顾客从定货到做好一套西服平均需要多少时间?3. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 4. 系统的热力学能的绝对值(U)_，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(U)_系统的热力学能的绝对值(U)_，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(U)_。正确答案：不可测量、可以测量不可测量、可以测量5. 设简单图Gi=(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e， E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)； E2=(a，b)，(b，e设简单图Gi=i(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e，E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)；E2=(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)；E3=(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)；E4=(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(d，e)；E5=(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)；E6=(a，a)，(a，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)做出各图，试问：(1)其中图是有向图，是无向图$ 图是强连通图，图是单向连通图，无弱连通图 6. 讨论函数在点x=0处的连续性与可导性讨论函数在点x=0处的连续性与可导性当1a0时，因为所以f(x)在点x=0处连续 因为极限不存在所以f(x)在点x=0处不可导，若函数f(x)在点x0处可导时，则f(x)在点x0处连续，反之未必 7. 如果df(x)=dg(x)，则必有( )。A.f(x)=g(x)B.df(x)=dg(x)C.f(x)=g(x)D.df(x)dx=dg(x)dx参考答案：ABD8. 奇函数的图像关于y轴对称。( )A.正确B.错误参考答案：B9. 设f(x,y)为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。 (1)试证明； (2)试问在相同条件下，第二型设f(x,y)为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。(1)试证明；(2)试问在相同条件下，第二型曲线积分是否成立？为什么？(1)设为光滑曲线(若分段光滑就分段积分)，且 则 由已知条件知 故由定积分的性质，有 (2)在与(1)相同条件下，一般不能成立。这是因为第二型曲线积分与曲线的方向有关。 例：取 在L1上， 在L2上， 但 10. 曲线y=lnx/x的渐近线为( )。A.y=0B.y=1C.x=0D.x=1参考答案：AC11. (哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n). 则(哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n).则必|A|1证明要应用拉格朗日乘数法来证显然本题中的辅助方程(条件方程)为 k=ak12+ak22+akn2-1=0，(k=1，2，n) 以k表乘数，置 于是从方程 得等式Ajk+jajk=0其中Ajk为A中之ajk元素所对应的子行列式 于等式两端乘以ajk并对k=1，2，n而求和，则得 A+j=0，(j=1，2，n)因之，j=-A亦即Ajk=Aajk，(j，k=1，2，n)故得出 ，亦即An-1=An+1由于A的极大极小值必须合于上列方程，故不难推知A的极大值为+1，极小值为-1因此|A|1 12. sin2xdx=( )。A.(1/2)*cos2x+CB.sinx*sinx+CC.(-1/2)*cos2x+CD.-cosx*cosx+C参考答案：BCD13. 甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_0.814. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0216.0115.9615.9816.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?15. 设f(x)是可导函数，则( )A.f(x)dx=f(x)+CB.f(x)+Cdx=f(x)C.f(x)dx=f(x)D.f(x)dx=f(x)+C参考答案：C16. 设原问题为 min f=5x1-6x2+7x3+4x4， stx1+2x2-x3-x4=-7， 6x1-3x2+x3-7x414， -28x1-17x2+4x3+2x4-3,设原问题为minf=5x1-6x2+7x3+4x4，stx1+2x2-x3-x4=-7，6x1-3x2+x3-7x414，-28x1-17x2+4x3+2x4-3,x1，x20，x3，x4无符号限制把不等式约束统一成的形式为清楚起见，列出表格，如表3-4所示 表3-4 于是可写出它的对偶规划为 max g=-7u1+14u2+3u3， s.t u1+6u2+28u35, 2u1-3u2+17u3-6， -u1+u2-4u3=7， -u1-7u2-2u3=4， u1无符号限制，u20，u30 17. 设X0是函数f(x)的可去间断点，则( )A.f(x)在x0的某个去心领域有界B.f(x)在x0的任意去心领域有界C.f(x)在x0的某个去心领域无界D.f(x)在x0的任意去心领域无界参考答案：A18. 设函数y=lnsecx，则y”=secx。( )A.正确B.错误参考答案：B19. 函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于( )A.2008B.cosx-sinxC.sinx-cosxD.sinx+cosx参考答案：B20. 设总体X的概率密度为 其中0为待估参数从X中抽得样本X1，Xn试求的矩估计和最大似然估计设总体X的概率密度为其中0为待估参数从X中抽得样本X1，Xn试求的矩估计和最大似然估计21. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正确B.错误参考答案：B22. 证明：Gauss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环证明：Gauss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环正确答案：显然对任意Zi有rn ()=|2 ()=()()rn故当0时令-1=s+ti(stQ)且ab分别是最接近st的整数于是q=a+biZi且rnrn从而由上知：rn (-1-q)=(s-a)2+(t一b)2 (1)rn再令r=-q则r=0或由(1)有rn (r)=(-q=()(-1一q)rn因此Zi关于作成一个欧氏环显然,对任意,Zi,有()=|2,()=()()故当0时,令-1=s+ti(s,tQ)且a,b分别是最接近s,t的整数于是q=a+biZi,且从而由上知：(-1-q)=(s-a)2+(t一b)2(1)再令r=-q,则r=0,或由(1)有(r)=(-q=()(-1一q)因此,Zi关于作成一个欧氏环23. A，B为两个事件，则( )成立。 A(AB)-B=A B C(A-B)+B=A DA，B为两个事件，则()成立。A(AB)-B=ABC(A-B)+B=ADB24. 设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v正确答案：2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c25. f(x)=m|x+1|+n|x-1|，在(-，+)上( )A.连续B.仅有两个间断点x=1，它们都是可去间断点C.仅有两个间断点x=1，它们都是跳跃间断点D.以上都不对，其连续性与常数m，n有关参考答案：A26. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 27. 微分方程xlnxyy的通解是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2微分方程xlnxyy的通解是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2正确答案：B28. 设X的分布函数，求X的分布律。设X的分布函数，求X的分布律。X的概率分布律为 X -1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 29. 设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解AX=030. 试证明： 设f:RnRn，且满足 (i)若是紧集，则f(K)是紧集； (ii)若Ki是Rn中递减紧集列，则，则fC(Rn)试证明：设f:RnRn，且满足(i)若是紧集，则f(K)是紧集；(ii)若Ki是Rn中递减紧集列，则，则fC(Rn)证明 对x0Rn，0，令B0=B(f(x0)，)以及 (mN)， 则由(ii)知又由(i)知Fm=(RnB0)(Km)是紧集，且Fm是递减列，交集是空集，从而存在m0，使得，即 |f(x)-f(x0)，|x-x0|1/m0. 这说明x0是f(x)的连续点，证毕 31. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格32. 设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1因为AA*=|A|E， (1) 若|A|=0，则|A*|=0(反证) 若|A*|0，则A*-1可逆，用(A*)-1右乘式的两边，得A=|A|(A*)-1=0，从而A的n-1阶代数余子式都为0，故A*=0，与|A*|0矛盾，所以当|A|=0时，|A*|=0 则|A*|=|A|n-1显然成立 (2) 当|A|0时，在式的两边取行列式，得 |A|A*|=|A|E|=|A|n 则|A*|=|A|n-1 33. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会34. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，-)，(R，)，(R-0，)35. 试证明： 设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)试证明：设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)证明 因为我们有 ，所以在0，a上几乎处处绝对收敛，由于以x+a代替x，上述级数不变，故它在R1上也就几乎处处绝对收敛又有 36. 现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年的半年换算名收益率为9%，计算该债券的价格所有息票的现值为 而兑现值的现值为 1050(1+0.05)-10(1+0.045)-10元=415.08元， 故所求债券价格为 528.33元+415.08元=943.41元 37. R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=1 (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=1 于是b-1a-1是ab的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 38. 设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.设函数,其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1. 因为, 同理. 所以. 又因为, 所以，使, 即球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1上的点使|grad u|=1成立. 39. 下列说法不正确的是( )。A.无穷小的和仍为无穷小B.无穷大的和仍为无穷大C.有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D.收敛数列必有界参考答案：ABC40. 下列函数f(x)在x=0处是否连续？为什么？ (1) (2) (3) (4)下列函数f(x)在x=0处是否连续？为什么？(1)(2)(3)(4)依题意，只用检查是否成立 (1)因x0时，x2为无穷小量，为有界量，故其积为无穷小量，从而故f(x)在x=0处连续. (2)因x0时，从而 故f(x)在x=0连续 (3)f(x)在x=0的左、右极限不相等： ， 故f(x)在x=0处不连续. (4)因为 ， 即，又f(0)=e0=1，故f(x)在x=0连续 41. 设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)依次证明P(ABC)=0，P(AB|C)=0再用例1.1742. 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。( )A.错误B.正确参考答案：B43. 运输问题有可行解的充要条件是运输问题有可行解的充要条件是必要性，设xij(0)是问题的可行解，则有 从而有 充分性记,令 (i=1，2，m；j=1，2，n)，则易验证(xij)满足问题，即xij)是运输问题的一个可行解 44. 火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克015元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克015元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克025元，试建立行李收费f(x)(元)与行李重量x(kg)之间的函数关系正确答案：依题意该函数关系是其图形为平面土一折线依题意,该函数关系是其图形为平面土一折线45. 设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力msg:,data:,voicepath:46. 对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( ) A离散型分布对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为()A离散型分布B连续型分布C只能为正态分布D任何类型分布D47. 求通过两条相交直线L1：及L2：的平面方程求通过两条相交直线L1：及L2：的平面方程直线L1的方向向量 直线L2的方向向量 于是所求平面的法向量 =-i+j-k 显然，原点是所求平面上的一点，于是所求平面的点法式方程为： -x+y-z=0，整理得一般方程是：x-y+z=0 48. 当x0时，下列变量为无穷大量的是( )。A.xsinxB.sinx/xC.exD.(1+sinx)/x参考答案：D49. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算 (1)积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单 50. 求最大射程为24.5千米的枪的枪口速度求最大射程为24.5千米的枪的枪口速度由射程知 当sin2=1，即时射程最大 解方程，得到v15.5(千米/秒)， 即最大射程为24.5千米的枪的枪口速度约为15.5千米/秒 51. 顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)2(3x+4y+z-10)2=13(x-2)2+(y-1)2+z252. y=1/(x-2)有渐近线( )。A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A53. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数54. 设f(x)=e3x，则f&39;&39;(0)=( )。 A1 B3 C9 D9e设f(x)=e3x，则f(0)=()。A1B3C9D9eC55. 设函数f(x)在(a，b)内可导，且f&39;(x)=2，则f(x)在(a，b)内( )。A.单调增加B.单调减少C.是常数D.不能确定单调性参考答案：A56. 向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.若向量组1，2，s的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？例 设1=(11,13,15),2=(22,26,30),3=(1,1,0),4=(2,0,0),5=(5，5，0)，可知r(1，2，3，4，5)=3，且1可以由2，3，5线性表出，但2，3，5不为极大无关组57. 微分方程y&39;&39;-4y&39;+4y=xe2x的一个特解可设为y*=( ) Ax2e2x Bx3e2x Cx2(Ax+B)e2x De2x微分方程y-4y+4y=xe2x的一个特解可设为y*=()Ax2e2xBx3e2xCx2(Ax+B)e2xDe2xC58. Fx中，不与x1相伴的是A、2x2B、3x3C、3x3D、2x2Fx中，不与x-1相伴的是A、2x-2B、3x-3C、3x+3D、-2x+2正确答案： C59. 设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群由条件可知满足封闭性，且满足结合律 (a*b)*a=b*a=a， a*(b*a)=a*a=a； (b*a)*a=a*a=a， b*(a*a)=b*a=a； (a*b)*b=b*b=b， a*(b*b)=a*b=b； (b*a)*b=a*b=b， b*(a*b)=b*b=b； 故是半群 60. 我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的切向量为x(t)的主法向量试将它推广到空间R3正确答案：设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量其中=(nV2)为n(t)与V2(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+n(t) (R)为该曲线在点x(t)处的法线显然主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义 如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以(t)+y(t)=0积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V2(t)V3(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而0=(t0)是任意常数0取不同的值就得到不同的渐缩线rn证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t)其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t) (t)=(n(t)V2(t)因为rn根据定理222y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面再根据定理221有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是上式两边点乘V1(t)得到0=1一(t)(t)cos(t)即此外从前式知cos(t)0且x(t)的渐缩线为设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量,其中=(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+n(t)(R)为该曲线在点x(t)处的法线显然,主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以(t)+y(t)=0积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而0=(t0)是任意常数,0取不同的值就得到不同的渐缩线证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t),其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t),(t)=(n(t),V2(t)因为根据定理222,y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面再根据定理221,有因为y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一(t)(t)cos(t),即此外,从前式知cos(t)0,且x(t)的渐缩线为