勾股定理经典例题和答案)

-勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)a=6， c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,那么AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，. 求：BC的长. 15020m30m1、某市在旧城改造中，方案在市一块如下图的三角形空地上种植草皮以美化环境，这种草皮每平方米售价a元，那么购置这种草皮至少需要 A、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元举一反三【变式1】如图，：，于P. 求证：. 【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。1求A、C两点之间的距离。2确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门二用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。作法：如下图举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如下图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚正确2原命题：对顶角相等正确3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【变式2】:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直请说明。【答案】答：DEEF。证明：设BF=a，那么BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。练习一、判断直角三角形问题：1、.满足以下条件的ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2a2 B.abc=345 C.C=AB D.ABC=1213152、假设一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2那么此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52 C.7D.52或73、如果ABC的三边分别为m21，2 m，m2+1(m1)那么A.ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 B.ABC是直角三角形，且斜边长2 为mC.ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定 D.ABC不是直角三角形4、RtABC中，C=90，假设a+b=14cm，c=10cm，那么RtABC的面积是 A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.;B.;C.;D.6、 三角形的三边长为,那么这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.7、 ,那么由此为三边的三角形是三角形.9、a，b，c为ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.10、假设ABC的三边长为a,b,c，根据以下条件判断ABC的形状.1a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=011、，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，那么其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】假设直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。总结升华：注意直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是 A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,假设图形缺少直角条件,那么可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷径，在花园走出了一条路。他们仅仅少走了_步路假设2步为1m，却踩伤了花草。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。1直接写出单位正三角形的高与面积。2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？3求出图中线段AC的长可作辅助线。类型三：数学思想方法方程的思想方法4、如下图，ABC中，C=90，A=60，求、的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30，那么，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如下图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90，在RtABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，那么。在RtECF中，即，解得。即EF的长为5cm。三、折叠问题1、，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，那么ABE的面积为 A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11题图2、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？3、，如图，折叠长方形四个角都是直角，对边相等的一边AD使点D落在BC边的点F处，AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长. z.