2020年中考数学考点一遍过 考点21 定义、命题、定理（含解析）

考点21 定义、命题、定理一、定义与命题1一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义2判断一件事情的语句叫做命题3命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项4命题的表达形式：命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论二、真命题、假命题1正确的命题叫做真命题2要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）3要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可三、逆命题1把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题2在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题3正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论4每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题四、公理与定理1如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理2如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理3公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据4由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论五、互逆命题1如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理2任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理3角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理六、反证法1定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法2反证法的步骤：假设命题结论的反面正确；从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；说明假设不成立，从而得出原命题正确考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果那么”的形式给出的区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析 典例1把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果，那么”的形式为_【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确.故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直.1【浙江省绍兴市浣江教育集团20182019学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果那么”的形式_考向二真命题、假命题1判断语句是否为命题要抓住两条：命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；命题必须对某件事作出肯定或否定的判断2辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例典例2下列命题是真命题的是A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是平行四边形C两组对边分别相等的四边形是平行四边形D平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误；故选C2下列命题中，假命题的是A直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C一组邻边相等的矩形是正方形D菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理3“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A对顶角相等B若a=b，则|a|=|b|C同位角相等，两直线平行D若ac2bc2，则ab【答案】C【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2bc2，则ab的逆命题是若ab，则ac20，b0，则a+b0B直角都相等C同位角相等，两直线平行D若ab，则|a|b|4下列命题：长度相等的弧是等弧；任意三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A0个B1个C2个D3个5对于命题“若a2b2，则ab”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是Aa=3，b=2Ba=3，b=2Ca=3，b=2Da=2，b=36写出一个能说明命题：“若，则”是假命题的反例：_.7请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：_8命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_9已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是_10若命题“不是方程ax2y=1的解”为假命题，则实数a满足：_11如图，有三个论断：1=2；B=C；A=D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性12定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由13【广西贺州市八步区20192020学年八年级上学期段考数学试题】写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题（1）如果，那么（2）对顶角相等13如图，点D，E在ABC的边BC上，连接AD，AEAB=AC；AD=AE；BD=CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：；B：；C：（1）以上三个命题是真命题的为_（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）14阅读以下证明过程：已知：在ABC中，C90，设AB=c，AC=b，BC=a求证：a2+b2c2证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知C=90，这与已知中的C90矛盾，故假设不成立，所以a2+b2c2请用类似的方法证明以下问题：已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2求证：x1x2 1【江苏省常州市2019年中考数学试题】判断命题“如果n1，那么n210，b0，则a+b0的逆命题为若a+b0，则a0，b0，错误，为假命题；B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；D、若ab，则|a|b|的逆命题为若|a|b|，则ab，错误，为假命题，故选C【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大4【答案】B【解析】等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确所以只有一项正确故选B5【答案】C【解析】当a=3，b=2时，a2b2，而ab成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=2时，a2b2，而ab成立，故B选项不符合题意；当a=3，b=2时，a2b2，但ab不成立，故C选项符合题意；当a=2，b=3时，a2b2不成立，故D选项不符合题意；故选C6【答案】（注：答案不唯一）【解析】当时，根据有理数的大小比较法则可知：则此时满足，但不满足因此，“若，则”是假命题故答案为：（注：答案不唯一）【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键7【答案】菱形的四条边相等【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”故答案为：菱形的四条边相等8【答案】两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”故答案为“两直线平行，同位角相等”9【答案】当b=，方程没有实数解【解析】b=时，=（）240，与m2-6m+13=0矛盾，故假设不成立，所以x1x2直通中考1【答案】A【解析】当n=2时，满足n0，所以判断命题“如果n1，那么n210”是假命题，举出n=2故选A【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可2【答案】C【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误故选C【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可3【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；两点之间线段最短；真命题；相等的圆心角所对的弧相等；假命题；平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选A【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理4【答案】B【解析】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形的内角和是，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选B【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可5【答案】D【解析】A矩形对角线互相垂直，不正确；B方程x2=14x的解为x=14，不正确；C六边形内角和为540，不正确；D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握6【答案】D【解析】A对顶角相等；真命题；B直线不经过第二象限；真命题；C五边形的内角和为；真命题；D因式分解；假命题；故选D【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题.7【答案】C【解析】A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；故选C【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理8【答案】D【解析】函数中自变量的取值范围是，故错误若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，正确，故选D【名师点睛】此类题的知识综合性非常强要求对每一个知识点都要非常熟悉注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式9【答案】C【解析】两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题；对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；故选C【名师点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.10【答案】D【解析】A有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45；不正确；D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选D【名师点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键11【答案】B【解析】A同旁内角相等，两直线平行；假命题；B对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C相等的两个角是对顶角；假命题；D圆内接四边形对角相等；假命题；故选B【名师点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.12【答案】B【解析】斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题；一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，错误，是假命题；通常温度降到0以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；真命题有2个，故选B【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、平移的性质、随机事件等知识，难度不大13【答案】C【解析】A、边形（）的外角和是，是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选C【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理14【答案】A【解析】A平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项是假命题，符合题意；B同角（或等角）的余角相等，是真命题，不符合题意；C线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题，不符合题意；D正方形的对角线相等，且互相垂直平分，是真命题，不符合题意，故选A【名师点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握轴对称图、中心对称图形、余角的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的性质是解本题的关键.15【答案】D【解析】命题，如果，那么.，整理得，该命题是真命题.命题，如果那么.，.该命题为真命题.命题，如果，那么.，该命题为真命题.故，选D【名师点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键16【答案】D【解析】当m=5时，方程变形为x24x+m=5=0，因为=（4）2450，所以方程没有实数解，所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x24x+m=0一定有实数根”是假命题的反例故选D【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可17【答案】C【解析】A、函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；B、抛物线中，与x轴有两个交点，正确，是真命题；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选C【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理的知识18【答案】真命题【解析】三角形内角和为180，三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：真命题.【名师点睛】本题考查命题与定理.判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理19【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0【解析】逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.故答案为如果a，b互为相反数，那么a+b=0.【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题