任意角的三角函数与基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时）神经网络准确记忆！任意角的三角函数重点难点好好把握！重点：1任意角三角函数的定义；2同角三角函数关系式；3诱导公式。难点：1正确选用三角函数关系式和诱导公式；2公式的理解和应用。考纲要求注意紧扣！1了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。命题预测仅供参考！任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；考点热点一定掌握！1角的定义 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。2弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。注意：表示1弧度角的正弦，表示2弧度角的正弦，它们与、不是一回事。 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 设一个角的弧度数为，则 （为这角所对的弧长，为半径）。 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。弧度，弧度。度030456090180270360弧度0 弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为，扇形面积为，圆心角大小为弧度，半径为，则 ， 。3角的集合表示 终边相同的角设表示所有终边与角终边相同的角（始边也相同），则 （也可记为）。 区域角介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 （也可记为）。 象限角以角的顶点为原点，以其始边为轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。例已知在第二象限，问在哪一象限？解： ， ，当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限。点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。例中，已知，,(、是锐角,)求角。分析：、是锐角,故角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过去求角是无法确定角是锐角还是钝角的。所以应该求。解： ，显然，角在第一象限，约为 。点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。4三角函数的定义及符号三角函数定义设角终边上一点的坐标为（，）与原点的距离为（），那么下面的六个比值： 分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用符号表示为：，。 各三角函数在各象限的符号如下图：符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。注意：由求时，应该由所在的象限来确定的符号。去掉的根号时，如果，应写为 -。 终边相同的同一三角函数的值相等。即 （，为三角函数）。 三角函数线（以第一象限角为例） 正弦线 余弦线 正切线 余切线例确定 的符号。解：画出单位圆，用线段把 和表示出来，图中线段 ，显然， 。5同角三角函数的关系 倒数关系： ， ， 。 商数关系： ， ， 平方关系： ， ， 。6三角函数的诱导公式以180或360作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：。以90或270作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：。诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵” 指以纵轴作为基准。）利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。如果有必要（例如在做证明题时），可以利用 ， ，互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45角的三角函数。7 / 7能力测试认真完成！1是第二象限角，其终边上一点 ，且 ，则 的值为（ ）. ； . ； . ； . -。2已知锐角终边上一点的坐标为（2，-2），则角的弧度数为 （ ）. 3； . -3； . ； . 。3已知 ，则的值等于（）. ； . ； . ； . 。4若 ，则在 （ ）. 第一象限； .第二象限； .第三象限； .第四象限。5设 且 ，则的取值X围是 （ ）. ； . ； . ； . 。6设 、 是到间的角，如果 ，那么与之间的关系如何？7确定下列各式的符号： ； 。8化简： 。参考答案仔细核对！12345678角的定义弧度制角的集合表示三角函数的定义及符号同角三角函数的关系三角函数的诱导公式1是第二象限角，其终边上一点 ，且 ，则 的值为（ ）. ； . ； . ； . -。解： ， ， ，故应选。2已知锐角终边上一点的坐标为（2，-2），则角的弧度数为 （ ）. 3； . -3； . ； . 。解： ，故应选。3已知 ，则 的值等于 （ ）. ； . ； . ； . 。解： ，而 ， ， ， ，故应选。4若 ，则在 （ ）. 第一象限； .第二象限； .第三象限； .第四象限。解：题给条件可化为 ，则 ， ，故应选。5设 且 ，则的取值X围是 （ ）. ； . ； . ； . 。解：而 ， ， ，故应选。6设 、 是到间的角，如果 ，那么与之间的关系如何？解： 或 或 。解题错误：遗漏 。7确定下列各式的符号： ； 。解： ； 。8化简： 。解：原式 ，当在、象限时，原式；当在、象限时，原式 。解题错误：没有分象限进行讨论，直接使。