2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律（二）

2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律（二）例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？解：仔细观察图71，可知：第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形。第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形。其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同。都是左边的图形大，右边的图形小。猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形。（如图73）。仔细观察图72可知：第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线。右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的。第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的。其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形。猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形。如图74示。例2 按顺序仔细观察图75、76的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？解：图75的？处应填。注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边。再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边。按这个移动规律，可知图75中第3组“？”处应填：。图76的？处应填0。仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的。构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边。按这个规律可知图76中第3组中间“？”处是：0。例3 观察图77的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？再答按（1）、（2）、（3）、的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？解：先按（1）、（2）、（3）、的顺序仔细观察，可发现：方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如、和也都是按逆时针方向旋转的。也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转。因此，方框（4）中的小图形应画成图78状。再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的。即第（10）个方框中的图形应是图79所示的样子。例4 观察图710的变化，请先回答：第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？解：（1）按图710中（1）、（2）、（3）、的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律：在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了。按黑点位置的这种变化可推测出：在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图711所示。继续观察下去：在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；在（6）中，黑点开始往上升一格；在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出：在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图712所示。（2）进一步仔细观察图710（1）（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置。因为2+8=10，2+8+8=18。所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图713所示。附送：2021-2022年二年级数学 奥数讲座 数数与计数（二）例1 数一数，图31中共有多少点？解：（1）方法1：如图32所示从上往下一层一层数：第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 10个第十一层 9个第十二层 8个第十三层 7个第十四层 6个第十五层 5个第十六层 4个第十七层 3个第十八层 2个第十九层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）。（2）方法2：如图33所示：从上往下，沿折线数第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个第十层 19个总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）。（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图34所示的样子，变成为10行10列的点阵。显然点的总数为1010=100（个）。想一想：数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋。由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积。由此我们猜想：1=111+2+1=221+2+3+2+1=331+2+3+4+3+2+1=441+2+3+4+5+4+3+2+1=551+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=661+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=771+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=881+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=991+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多。同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律。由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010。即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积。由此我们猜想：1+3=221+3+5=331+3+5+7=441+3+5+7+9=551+3+5+7+9+11=661+3+5+7+9+11+13=771+3+5+7+9+11+13+15=881+3+5+7+9+11+13+15+17=991+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律。例2 数一数，图35中有多少条线段？解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段。以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条。以B点为共同左端点的线段有：BC BD BE BF 4条。以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条。以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条。以E点为共同左端点的线段有：EF1条。总数5+4+3+2+1=15条。（2）用图示法更为直观明了。见图36。总数5+4+3+2+1=15（条）。想一想：由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。由此猜想如下规律（见图37）：还可以一直做下去。总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1。我们又发现了一条规律。它说明了点数与线段总数之间的关系。上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图38）。基本线段数 线段总条数还可以一直写下去，同学们可以自己试试看。例3 数一数，图39中共有多少个锐角？解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角。所以，以OA边为公共边的锐角有：LAOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5个。以OB边为公共边的锐角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4个。以OC边为公共边的锐角有：COD，COE，COF共3个。以OD边为公共边的锐角有：DOE，DOF共2个。以OE边为一边的锐角有：EOF只1个。锐角总数5+4+3+2+115（个）。用图示法更为直观明了：如图310所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）。想一想：由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图31115）两条射线1个角（见图311）三条射线2+1个角（见图312）四条射线3+2+1个角（见图313）五条射线4+3+2+1个角（见图314）六条射线5+4+3+2+1个角（见图315）总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1。同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数。注意，例2和例3的情况极其相似。虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。