几个初等函数的麦克劳林公式93534学习教案

会计学1几个初等几个初等(chdng)函数的麦克劳林公式函数的麦克劳林公式93534第一页，共31页。特点(tdin):以直代曲以直代曲0 x)(1xp在微分(wi fn)应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式xy)(xfy O第1页/共30页第二页，共31页。要求要求(yoqi):故!1n令)(xpn则第2页/共30页第三页，共31页。令(称为(chn wi)余项) ,则有00 x第3页/共30页第四页，共31页。10)()(nnxxxR! ) 1()() 1(nRnn第4页/共30页第五页，共31页。公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式(gngsh) 称为n 阶泰勒公式(gngsh)的拉格朗日余项 .阶的导数(do sh) ,时, 有其中10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当泰勒 第5页/共30页第六页，共31页。公式(gngsh) 称为n 阶泰勒公式(gngsh)的佩亚诺(Peano) 余项 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo注意(zh y)到* 可以证明: 式成立第6页/共30页第七页，共31页。(1) 当 n = 0 时, 泰勒(ti l)公式变为)(xf(2) 当 n = 1 时, 泰勒(ti l)公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx第7页/共30页第八页，共31页。称为(chn wi)麦克劳林( Maclaurin )公式 .则有)(xf)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)0(fxf)0( 则有误差(wch)估计式2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 由此得近似公式第8页/共30页第九页，共31页。其中(qzhng)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麦克劳林公式麦克劳林公式(gngsh) 第9页/共30页第十页，共31页。其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式(gngsh) 第10页/共30页第十一页，共31页。麦克劳林公式麦克劳林公式(gngsh) 类似(li s)可得1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(第11页/共30页第十二页，共31页。1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式(gngsh) 第12页/共30页第十三页，共31页。已知x)(xRn其中(qzhng)(xRn) 10(因此(ync)可得),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式(gngsh) 第13页/共30页第十四页，共31页。1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用(yngyng) 误差(wch)M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(第14页/共30页第十五页，共31页。解解: 已知xe令 x = 1 , 得由于(yuy)欲使由计算(j sun)可知当 n = 9 时上式成立 ,因此exe1x的麦克劳林公式为第15页/共30页第十六页，共31页。本例若每项四舍五入(s sh w r)到小数点后 6 位,则 各项舍入误差(wch)之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!2111第16页/共30页第十七页，共31页。计算(j sun) cos x 的近似值,使其精确(jngqu)到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差令解得即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .第17页/共30页第十八页，共31页。例例3. 求解解:由于(yuy)用洛必达法则(fz)不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2)(2216941xox 第18页/共30页第十九页，共31页。11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例4. 证明证明(zhngmng)证证:+第19页/共30页第二十页，共31页。1. 泰勒泰勒(ti l)公式公式其中(qzhng)余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx第20页/共30页第二十一页，共31页。3. 泰勒公式泰勒公式(gngsh)的应的应用用(1) 近似计算(3) 其他(qt)应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 例如 第21页/共30页第二十二页，共31页。6422464224xyO第22页/共30页第二十三页，共31页。12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin642246Ox4224y第23页/共30页第二十四页，共31页。计算(j sun)解解:原式第四节 作业作业(zuy) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (1), (2)第24页/共30页第二十五页，共31页。英国(yn u)数学家,他早期(zoq)是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .第25页/共30页第二十六页，共31页。英国(yn u)数学家,著作(zhzu)有:流数论(shln)(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 .第26页/共30页第二十七页，共31页。证证: 由题设对有221)( x)(!2121f 321)(!31 xf且第27页/共30页第二十八页，共31页。)(21之间与在其中x)()(21fxf221)( x)(!2121f 321)(!31 xf)(21f下式减上式 , 得令)(,)(max)(12fff 第28页/共30页第二十九页，共31页。e两边(lingbin)同乘 n != 整数(zhngsh) +假设(jish) e 为有理数( p , q 为正整数) ,则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾 !证证:2n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.第29页/共30页第三十页，共31页。NoImage内容(nirng)总结会计学。1. 求 n 次近似多项式。在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为。称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .。例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过。若每项四舍五入到小数点后 6 位,则。计算 cos x 的近似值,。时, 由给定的近似公式计算的结果(ji gu)。能准确到 0.005 .。求极限 , 证明不等式 等.。泰勒 (1685 1731)。正的和反的增量方法(1715)。= 整数 +第三十一页，共31页。