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专题22 图形的旋转 考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 旋转的基础旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转.点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点经过旋转变化点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.【注意】1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.旋转的特征： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等.旋转作图的步骤方法： 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 找出图形上的关键点； 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.平移、旋转、轴对称之间的联系：变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。平移、旋转、轴对称之间的区别：1） 变化方式不同：平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。轴对称：将一个图形沿一条直线对折。2） 对应线段、对应角之间的关系不同平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。3）确定条件不同平移：距离与方向旋转：旋转的三要素。轴对称：对称轴1（2018湖南中考模拟）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90后，得到的图形为（）ABCD【答案】A【解析】顺时针90后，AD转到AB边上，所以，选A。2（2018沭阳县马厂实验学校中考模拟）将数字“6”旋转 180，得到数字“9”；将数字“9”旋转 180，得到数字 “6”现将数字“69”旋转 180，得到的数字是（ ）A96B69C66D99【答案】B【详解】解：现将数字“69”旋转180，得到的数字是：69故选B3（2014湖南中考真题）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120后，能与原图形完全重合的是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：A、最小旋转角度=120；B、最小旋转角度=90；C、最小旋转角度=180；D、最小旋转角度=72；综上可得：顺时针旋转120后，能与原图形完全重合的是A故选A考查题型一 图形旋转的概念与性质的应用方法1（2018甘肃中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A5BC7D【答案】D【详解】把ADE顺时针旋转ABF的位置，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，AD=DC=5，DE=2，RtADE中， 故选D2（2019天津中考模拟）如图，将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC若点A，D，E在同一条直线上，ACB=20，则ADC的度数是A55B60C65D70【答案】C【详解】将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDCDCE=ACB=20，BCD=ACE=90，AC=CE，ACD=90-20=70，点A，D，E在同一条直线上，ADC+EDC=180，EDC+E+DCE=180，ADC=E+20，ACE=90，AC=CEDAC+E=90，E=DAC=45在ADC中，ADC+DAC+DCA=180，即45+70+ADC=180，解得：ADC=65，故选C3（2018天津中考模拟）如图，将ABC绕点A逆时针旋转100，得到ADE若点D在线段BC的延长线上，则B的大小为（）A30B40C50D60【答案】B【解析】ADE是由ABC绕点A旋转100得到的，BAD=100，AD=AB，点D在BC的延长线上，B=ADB=.故选B.4（2019天津中考真题）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：绕点顺时针旋转得到，AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，A=CDA=；EBC=BEC=,选项A、C不一定正确A =EBC选项D正确EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB不一定等于，选项B不一定正确；故选：D5（2011浙江中考真题）如图，已知AOB是正三角形，OCOB，OC=OB，将OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到OCD，则旋转的角度是（ ）A150B120C90D60【答案】A【解析】AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解解：旋转角AOC=AOB+BOC=60+90=150故选A考查题型二 确定旋转中心1（2019江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（）A（1，0）B（1，2）C（0，0）D（1，1）【答案】B【详解】解：作线段AB，线段CD，作线段AB的垂直平分线MN，线段CD的垂直平分线EF，直线MN交直线EF于点K，点K即为旋转中心观察图象可知旋转中心，故选：B考查题型三 通过图形旋转相关知识作图1（2018江苏中考真题）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）画出将ABC绕原点O按逆时针旋转90所得的A2B2C2；（3）A1B1C1与A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；（4）A1B1C1与A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）（， ）【详解】解：（1）根据题意，作图如下图所示：（2）根据题意，作图如下图所示： （3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴 （4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）2（2012江苏中考模拟）如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，3）、B（6，0）、C（1，0）（1）画出ABC关于原点成中心对称的三角形ABC；（2）将ABC绕坐标原点O逆时针旋转90，画出图形，直接写出点B的对应点B的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标【答案】（1）图略；（2）图略，点B的坐标为（0，6）；（3）点D坐标为（7，3）或（3，3）或（5，3）【详解】解：（1）如图所示ABC即为所求；（2）如图所示，ABC 即为所求；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）考查题型四 旋转与全等三角形相结合解题1（2019珠海市前山中学中考模拟）如图，在等边ABC中，点D是 AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60后得到CE，连接AE求证：AEBC【答案】见解析【解析】ABC是等边三角形,AC=BC,B=ACB=60,线段CD绕点C顺时针旋转60得到CE,CD=CE,DCE=60,DCE=ACB,即BCD+DCA=DCA+ACE,BCD=ACE,在BCD与ACE中,BCDACE,EAC=B=60,EAC=ACB,AEBC.2（2013湖南中考真题）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由【答案】（1）见解析.（2）见解析.【详解】解：（1）证明：用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），AB=AF，BAM=FAN.在ABM和AFN中，ABMAFN（ASA）.AM=AN.（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是菱形.理由如下：连接AP，=30，FAN=30.FAB=120.B=60，AFBP.F=FPC=60.FPC=B=60.ABFP.四边形ABPF是平行四边形.AB=AF，平行四边形ABPF是菱形.3（2019山东中考模拟）如图，已知ABC中，ABAC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：AECADB；（2）若AB2，BAC45，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长【答案】（1）见解析；（2）BF【详解】解：（1）由旋转的性质得：ABCADE，且ABAC，AEAD，ACAB，BACDAE，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB（SAS）；（2）四边形ADFC是菱形，且BAC45，DBABAC45，由（1）得：ABAD，DBABDA45，ABD为直角边为2的等腰直角三角形，BD22AB2，即BD2，ADDFFCACAB2，BFBDDF22考查题型五 图形旋转综合题1（2015湖北中考真题）如图，ABC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D。（1）求证：BECF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长。【答案】（1）证明见解析（2）-1 【详解】（1）AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC，在ACF和ABE中，ACFABEBE=CF.（2）四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE，AEB=ABE，ABE=BAC=45，AEB=ABE=45，ABE为等腰直角三角形，BE=AC=，BD=BEDE=2（2016山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF=45，将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2【答案】详见解析.【解析】 (1)、将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ， QB=DF，AQ=AF，ABQ=ADF=45，AQEAFE（SAS）， AEQ=AEF， EA是QED的平分线； (2)、由（1）得AQEAFE， QE=EF， 在RtQBE中，QB2+BE2=QE2， 则EF2=BE2+DF2考查题型六 图形旋转在开放性问题的应用1（2019辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CDAB交AP的延长线于点D，此时测得CD200米，那么A，B间的距离是 米思维探索：（2）在ABC和ADE中，ACBC，AEDE，且AEAC，ACBAED90，将ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE如图2，当ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；如图3，当90时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；当150时，若BC3，DEl，请直接写出PC2的值【答案】（1）200；（2）PCPE，PCPE；PC与PE的数量关系和位置关系分别是PCPE，PCPE，见解析；PC2.【分析】（1）由CDAB，可得CB，根据APBDPC即可证明ABPDCP，即可得ABCD，即可解题（2）延长EP交BC于F，易证FBPEDP（SAS）可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PCPE，PCPE作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证FBPEDP（SAS），结合已知得BFDEAE，再证明FBCEAC（SAS），可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PCPE，PCPE作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EHAC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，CAE150，DE与BC所成夹角的锐角为30，得FBCEAC，同可证可得PCPE，PCPE，再由已知解三角形得EC2CH2+HE2，即可求出【详解】（1）解：CDAB，CB，在ABP和DCP中，ABPDCP（SAS），DCABAB200米CD200米，故答案为：200（2）PC与PE的数量关系和位置关系分别是PCPE，PCPE理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知FBPEDP（SAS），PFPE，BFDE，又ACBC，AEDE，FCEC，又ACB90，EFC是等腰直角三角形，EPFP，PCPE，PCPEPC与PE的数量关系和位置关系分别是PCPE，PCPE理由如下：如解图2，作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同理，可知FBPEDP（SAS），BFDE，PEPF，DEAE，BFAE，当90时，EAC90，EDAC，EABCFBAC，FBC90，CBFCAE，在FBC和EAC中，FBCEAC（SAS），CFCE，FCBECA，ACB90，FCE90，FCE是等腰直角三角形，EPFP，CPEP，CPEP如解图3，作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EHAC交CA延长线于H点，当150时，由旋转旋转可知，CAE150，DE与BC所成夹角的锐角为30，FBCEAC150同可得FBPEDP（SAS），同FCE是等腰直角三角形，CPEP，CPEP，在RtAHE中，EAH30，AEDE1，HE，AH，又ACAB3，CH3+，EC2CH2+HE2PC22（2013湖南中考真题）小明在数学活动课上，将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长【答案】（1）详见解析（2）CF=17【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，然后求出AOD=COF，再利用“边角边”证明AOD和COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DFOE，DG=OG12OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD。【详解】解：（1）AD=CF。理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF。在AOD和COF中，AO=CO，AOD=COF，OD=OF，AODCOF（SAS）。AD=CF。（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DFOE，DG=OG=12OE，正方形ODEF的边长为2，OE=22=2。DG=OG=12OE=122=1。AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=AG2+DG2=42+12=17，CF=AD=17。知识点二 中心对称与中心对称图形中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别（1）是针对两个图形而言的.（2）是指两个图形的（位置）关系.（3）对称点在两个图形上.（4）对称中心在两个图形之间.（1）是针对一个图形而言的.（2）是指具有某种性质的一个图形.（3）对称点在一个图形上.（4）对称中心在图形上.联系（1）都是通过把图形旋转重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形是全等图形.作中心对称图形的一般步骤（重点）： 作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点. 把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.找对称中心的方法和步骤：对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.关于原点对称的点的坐标规律两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P(-x，-y)1（2019山东中考模拟）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，只有选项B符合条件。故选B。2（2015湖南中考真题）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】试题解析：点A坐标为（-2，1），且点B与点A关于原点对称，点B的坐标为（2，-1）故选B3（2019四川中考真题）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是( )A轴对称图形B中心对称图形C既是轴对称图形又是中心对称图形D既不是轴对称图形又不是中心对称图形【答案】B【详解】解：如图所示：是中心对称图形故选：B4（2017河南中考模拟）下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）ABCD【答案】A【详解】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;B是轴对称图形，不是中心对称图形;C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;5（2019深圳市龙岗区实验学校中考模拟）下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()A1个B2个C3个D4个【答案】B【详解】2是中心对称图形，不是轴对称图形，9既不是轴对称图形，也不是是中心对称图形；0和1既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选B.考查题型七 对称中心确定方法1.（2019河北中考模拟）如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（）AA点BB点CC点DD点【答案】B【详解】解：如图所示：点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，所以点B是对称中心故选：B考查题型八 中心对称性质的运用1（2019福建中考模拟）在平面直角坐标系中，点P（20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A33 B33 C7 D7【答案】D【解析】试题分析：关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标分别互为相反数根据性质可得：a=13，b=20，则a+b=13+20=72（2019广西中考真题）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（）A1B3C5D7【答案】C【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得：， 则故选C.3（2018全国中考模拟）若在平面直角坐标系内A(m-1,6),B(-2,n)两点关于原点对称,则m+n的值为()A9B-3C3D5【答案】B【解析】在平面直角坐标系内A(m-1，6)，B(-2，n)两点关于原点对称，m-1+(-2)=0，6+n=0，m=3，n=-6，m+n=3+(-6)=-3.故选B.4（2015四川中考模拟）已知点A（a，2015）与点A（2016，b）是关于原点O的对称点，则的值为（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】当两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数，则a=2016，b=2015，则a+b=1考查题型九 利用中心对称等分面积1（2018春 平原区期末）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分【答案】答案见解析【分析】思路1：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可；思路2：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可【详解】如图所示，有三种思路：考查题型十 平面直角坐标系利用中心对称作图1（2018安徽中考模拟）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作ABC关于原点O成中心对称的A1B1C1，再把A1B1C1向上平移4个单位长度得到A2B2C2；（2）A2B2C2与ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见解析；（2）（0，2）.【解析】（1）如图所示，A1B1C1和A2B2C2即为所求；（2）由图可知，A2B2C2与ABC关于点（0，2）成中心对称30（2018广东省珠海市文园中学初二期中）ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上（1）作出ABC关于原点O对称的A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）求ABC的面积.【答案】（1）（3，2）；（2）2.5【解析】（1）如图，C1坐标为（3，2）；（2） .26
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