奥数长方体和正方体

-奥数长方体和正方体长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答28.正方体的展开图把一个正方体的各面展开放在桌面上，下列图就是正方体的一个展开图形，试问，一个正方体有几种展开图。28.正方体的展开图共有11种：把四个面排成一排的有6种29.长方体的体积阿强做一道求长方体体积的数学题。当他算完长乘以宽以后，发现宽厚30.长方体和正方体一个棱长 5 厘米的立方体是由棱长 1 厘米的小立方体假设干个堆砌而成的。如果小立方体增加3个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不一样的长方体？如果小立方体减少5个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不一样的长方体？30.长方体和正方体解：555=1251253128271125-51202331511根据约数个数公式，128有718个约数它们是1，2，4，8，16，2，64，128。120有311111=16个约数，它们是：1，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别漂浮在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米如果将这两堆碎石都漂浮在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高局部水的体积就是投入水中的碎石体积沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：330.040.36立方米，220.110.44立方米它们的和是：0.360.440.8立方米把它们都沉入大池里，大池水面升高局部水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4416平方米，所以，大水池的水面升高：六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形如下列图，长方体共有六个面每个面都是长方形，八个顶点，十二条棱。在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形两个全等图形的面积相等，对应边也相等长方体的外表积和体积的计算公式是：长方体的外表积：S长方体2abbcac；长方体的体积：V长方体abc正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为a，则：=6，=例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的外表积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体外表积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的外表积的和比原长方体的外表积所增加的数值，因此，根据题意有：1902240，可知，25，故a5厘米又因为24ah190，解得=7厘米所以，原来长方体的体积为：Vh257175立方厘米例2 如下列图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体都和对面打通如果这个镂空的物体的外表积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。解：原来正方体的外表积为：63a3a69平方厘米六个边长为a的小正方形的面积为：6aa6平方厘米；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3aa412平方厘米；三个长方体空洞重叠局部的校长为a的小正方体空洞的外表积为：aa44平方厘米根据题意：69631242592，化简得：546242592，解得36平方厘米，故a6厘米即正方形截口的边长为6厘米例3 有一些一样尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字但全部积木的外表总面积不够用，还需增加一倍，请你想方法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。解：把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体如上图这样，每锯一次便得到两个大截面，使外表积增加倍，锯三次使截面增加3=1倍，因此全部小积木的外表总面积就比原积木外表总面积增加了一倍。例4 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别漂浮在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米如果将这两堆碎石都漂浮在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高局部水的体积就是投入水中的碎石体积。沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：330.040.36立方米，220.110.44立方米它们的和是：0.360.440.8立方米把它们都沉入大池里，大池水面升高局部水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4416平方米，所以，大水池的水面升高： 0.816=5厘米例5 下列图是正方体的展开图之一，当用它组成立方体时，图中的哪一边与带*记号的边相接触呢？解：对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考虑边的连接会更简洁：首先和G连接，其次H和I连接，且*、Y、Z三点重合为正方体的一个顶点，因此与*连接的是K边例6 下列图是正方体的11种展开图和2种伪装图即它们不是正方体的展开图请你指出伪装图是哪两个？解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好似有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是10和12，这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体例7 如下面的各图中均有假设干个六面体，每题图中的几个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全一样即每个小题中六面体上刻字母的方式是完全一样的试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？解：1由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D。E、F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按1中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E向上。如果，判断为F在C对面，由1中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与1中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面。26按A、B、C顺序给出对面的字母：2E、D、F；3F、E、D；4D、F、E；5E、D、F；6F、E、D例8 有一块正方体的蛋糕用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正六边形，应该怎样切呢？解：一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中1的正方形或者像2、3那样的长方形如果斜切下去时样子就不一样了，比方像4那样，以打算切的顶点作一方，将不相邻的*一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中5所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，相邻边夹角也相等，边数是六，故是正六边形。习题五一、填空题：1一块矩形纸板，长8厘米，宽6厘米，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为_平方厘米2有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米的正方体假设干块，外表积增加了_平方厘米3把一根2米长的方木锯成两段，外表积增加 288平方厘米，原来这根方木的体积是_立方厘米4把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的外表积是5把棱长1厘米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10厘米，长和宽都大于高，这个长方体的长与宽的和是_厘米二、选择题：1一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是_平方厘米A42 B196 C294 D3922把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体外表积的和是_平方分米A54 B72 C108 D以上都不对3如下列图，一个木制的正方体的棱长为2分米，每个面的正中有一个正方形的孔通到对边，边长为1分米，孔的各棱平行于正方体相对的棱，则这个镂空几何体的总外表积的平方分米数是_A24 B30 C36 D424如下页图立方体的每个角都被切下去图中仅画了两个问所得到的几何体有_条棱？A24B30 C36 D425立方体各面上的数字是连续的整数如图如果每对对面上的两个数的和相等，则，这三对数的和是_。A75 B76 C78 D81三、解答题：1一个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米问做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？这个木盒的容积是多少立方厘米？2将一个长9厘米，宽8厘米，高3厘米的长方体木块锯成假设干个小正方体锯痕宽度忽略不计，然后再拼成一个大正方体，求这个大正方体的外表积3一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，假设铁皮厚度不计，求水深4把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下列图那样的组合形体，求这个组合形体的外表积5将外表积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体不计损耗求这个大正方体的体积和外表积6用字母标出一个正方体的各面，下列图中是三个不同方位的这一个正方体，问字母A、B、C的对面是什么字母？7下列图是一个正方体及其两个展开图这个正方体还有九种不同的展开图下列图，请把这九个展开图填上相应的数字注意数字的方向8下左图中的立方体，被两个平面所截，你能在这个正方体的展开图中画出相应的截线吗？下右图9在下页图所示的12个展开图中，哪些可以做成没有顶盖的五个面的小方盒？10下页图是一*35的方格纸，在保持每个方格完整的条件下，将它剪成三局部，使每局部都可以折成一个棱长为1的没有顶盖的小方盒，怎样剪？1、一个长方体木块，从下部和上局部别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，外表积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是立方厘米 2、1有一个正方体，如果高增加4cm，就成为一个长方体，这个长方体的外表积正好比原正方体的外表积增加80平方cm，求原正方体的体积。2一个长方体的高如果增加2cm，就成为一个正方体，这时外表积就比原来增加了48平方cm。原来长方体的体积是多少？ 3、一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，则这个长方体的体积是_ 立方厘米 4、一个长方体的外表积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_立方分米.结果以分数形式出现 5、在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积。 6、如果从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米 7、一个长方体的棱长总和是48cm，己知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求它的体积。 8、一个正方体木块的外表积是96平方cm，把它锯成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的外表积是多少？六年级奥数题及答案 1、解答：所成立方体的棱长为：120(3+2)4=6(厘米)，所以原长方体的体积为：66(6+3+2)=396(立方厘米)。 2、1解答：设原正方体的边长为A，根据题意得：4*4*A=80，解得：A=5，所以原体积为A*A*A=125立方厘米。2解：设成了正方体后的棱长为A；则原来的长方体的高为A-2，长为A，宽为A。根据题意6*A*A4*A-2*A+2*A*A=48解得：A=6或者这样理解：增加的外表积为四个侧面的，所以四个增加的侧面积为：4*2*A=48，所以A=6所以原长方体的长为6，宽为6，高为6-2=4，所以体积为6*6*4=144立方厘米。 3、解答：依题意，这个长方体的长、宽、高之和是484=12(厘米)，于是它的宽与高都等于12(2+1+1)=3(厘米)，它的长是32=6厘米所以这个长方体的体积是633=54(立方厘米) 4、解答：长方体的高是：2.32)2(2.1+2.3)= 30/11(分米)，长方体的体积是2.12.3 =(立方分米) 5、解答：33 -12 33+213 =20cm3 。 6、解答：容器的底面积是：(134)(94)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：452=90(立方厘米)。 7、解答：设高为A，所以宽为2A，长是1.5*2A=3A根据题意可得：4*A+2A+3A=48，得：A=2，所以，高=A=2，宽=2A=4，长=3A=6所以原体积为：2*4*6=48立方厘米。 8、解答：设原正方体的棱长为A，所以得：6*A*A=96 ，解得A=4厘米，所以棱长为4厘米。则体积为4*4*4=64立方厘米。锯成了8个相等的体积后，每个为64/8=8立方厘米。设小正方体的棱长为B，所以B*B*B=8，解得：B=2厘米。所以每个小方体的外表积为：6*A*A=6*2*2=24平方厘米。此类题目的关键抓住底面积不变，变的只是四个侧面1.在平行四边形ABCD中，三角形AOD的面积为12平方厘米，三角形BOC的面积是平行四边形面积的1/5，求平行四边形的面积考点：平行四边形的面积分析：根据题意可知，三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高，三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半，所以可用1/2平行四边形的面积减去1/5平行四边形的面积等于三角形AOD的面积，列式解答即可得到答案解答：解：设平行四边形ABCD的面积为*平方厘米，答：平行四边的面积是40平方厘米点评：解答此题的关键是根据三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高确定三角形BOC和三角形AOD的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，然后再列式计算即可长方形ABCD的边上有两点EF，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成假设干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影局部的面积是多少平方米？考点：组合图形的面积分析：所求的影阴局部，恰好是三角形ABF与三角形CBE的公共局部，而S1，S2，S3这三块是长方形中没有被三角形ABF与三角形CBE盖住的局部因此，ABF面积+CBE面积+S1+S2+S3=长方形面积+阴影局部面积而ABF的底是长方形的长，高是长方形的宽；CBE的底是长方形的宽，高是长方形的长因此，三角形ABF面积与三角形CBE面积，都是长方形面积的一半解答：解：设长方形的面积为S，则SCBE=SABF=(1/2)S，由图形可知，S+S阴影=SCBE+SABF+15+46+36，S阴影=(1/2)S+(1/2)S+15+46+36-S=97平方米，答：阴影局部的面积是97平方米点评：此题考察长方形面积、三角形面积的计算此题明白所求的影阴局部，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共局部，而面积为15、46、36这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的局部是解决此题的关键，从而根据S+S阴影=SCBE+SABF+15+46+36建立等量关系求解有一块长24厘米的正方形厚纸片，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸合容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？分析：根据题意，可设剪去的小正方形的边长是*，可利用体积公式表示出剪去后的纸盒的体积，因为纸盒的边长一定，即2*+12-*+12-*=24是一个定值，则当2*等于12-*时，纸盒的体积22*12-*12-*最大，所以计算出2*等于12-*中的未知数即可知道剪去的小正方形的边长，列式解答即可解：如图设剪去的小正方形边长为*厘米，则纸盒容积为：V=*24-2*24-2*，=22*12-*12-*，因2*+12-*+12-*=24，故当2*=12-*时，其乘积最大，2*=12-*，3*=12，*=4，即*=4时，其乘积最大即纸盒容积也最大答：剪去的小正方形的边长应为4厘米点评：解答此题的关键是依据正方体的体积公式表示出这个纸盒的体积，要使体积最大算式中的2*、12-*、12-*应该相等，所以算式中的2*等于12-*，纸盒的体积最大，解答即可. 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