数学竞赛辅导

第八讲根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-20，1-x0，所以原式=2-x+x-1=1a-b-a+b-a+b=b-a说明若根式中的字母给出了取值X围，则应在这个X围内进行化简；若没有给出取值X围，则应在字母允许取值的X围内进行化简例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁我们可以先将分母因式分解后，再化简解法1 配方法配方法是要设法找到两个正数x，y(xy)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得得(xyz)2=5735=352因为x，y，z均非负，所以xyz0，所以xyz=35，有z=7同理有x=5，y=1所求x，y，z显然满足，所以解设原式=x，则解法1 利用(ab)3a3b33ab(ab)来解将方程左端因式分解有(x-4)(x24x10)0因为x24x10(x2)260，所以x-40，x4所以原式4解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简解用换元法解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy3y23x26xy3y2-11xy3(xy)2-11xy3102-111289例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算解设根号内的式子为A，注意到1(2-1)，及平方差公式(ab)(a-b)a2-b2，所以A(2-1)(21)(221)(241)(22561)1(22-1)(221)(241)(281)(22561)1(24-1)(241)(281)(2161)(22561)1(2256-1)(22561)122256-1122256，的值分析与解先计算几层，看一看有无规律可循解用构造方程的方法来解设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x242x，所以x4-4x2-x20观察发现，当x-1，2时，方程成立因此，方程左端必有因式(x1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x1)(x-2)(x2x-1)0解因为练习七1化简：2计算：3计算：11 / 11