高三数学理第一轮复习立体几何复习空间中的垂直关系人教实验B版知识精讲

高三数学（理）第一轮复习：立体几何复习空间中的垂直关系人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90，则称这两条直线互相垂直2、直线与平面垂直 （1）空间直线与平面垂直的定义： 如果一条直线（AB）和一个平面（）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线AB叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段垂线段的长度叫做这点到平面的距离（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直平面、互相垂直，记作（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 几点说明 1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为： 5、注意掌握好以下几个相似结论：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行（2）垂直于同一条直线的两个平面平行（3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面空间中的垂直关系【线线垂直的判定】 例1. 如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在的平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G求证：AESB，AGSD分析：要证AESB，只要证明AE垂直于SB所在的平面SBC，因SC面AEFG，BC面SAB，所以易得结论同理要证AGSD，只需证明AG面SDC即可证明：SA平面ABCDSABC又BCAB，BC平面SAB，又AE平面SABBCAESC平面AEFGSCAE又BCAE平面SBCAESB，同理可证AGSD 点评：本题的证明过程很具有代表性即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化证明线线垂直的常用方法有： （1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直 （2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线 （3）利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题【线面垂直的判定及性质】 例2. 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA=45，求证：MN平面PCD分析：要证MN平面PCD，只需证明MN垂直于平面PCD内的两条相交直线因为PDA=45，PAD=90，所以PA=AD，连接MC，易证RtPAMRtCBM，则MP、MC，故MNPC，由中点想中点，取CD的中点E，易证CDME，从而CD面MNE，故CDMN，因此MN平面PDC解析：方法一：PA平面ABCDPAAD，PDA=45PA=AD=BC，又M是AB的中点，设E为CD的中点，连接ME，EN，方法二：如图，取PD的中点F，连接AF，NF，F、N分别为PD、PC的中点，又，即四边形AFNM为平行四边形MN/AFPA平面ABCD且PDA=45PAD为等腰直角三角形AFPD又CDAD，CDPACD平面PAD，CDAF由知AF平面PDCMN平面PDC方法三：向量法四边形ABCD为矩形，且PA平面ABCD，PDA=45PA、AD、AB两两互相垂直且PA=AD以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系设PA=AD=a，AB=b，则A（0，0，0），P（0，0，a），B（b，0，0），C（b，a，0），D（0，a，0）M、N分别为AB、PC的中点即MNCD，MNPC又PCMN平面PCD点评：证明线面垂直的方法： （1）利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面 （2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直 （3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面 （4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 （5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面 （6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面 （7）利用向量证明【面面垂直的判定】 例3. 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，ABC=60，PC面ABCD，PC=a，E是PA的中点（1）求证：面BDE面ABCD；（2）求点E到面PBC的距离；（3）求二面角AEBD的平面角的正切值（1）证明：设O是AC、BD的交点，连接EOABCD是菱形，O为AC、BD的中点，又E为PA的中点，EO/PC，又PC面ABCD，EO面ABCD，面BDE面ABCD（2）解：EO/PC，EO/面PBC点O到面PBC的距离等于点E到面PBC的距离，作OFBC于FPC面ABCD，面PBC面ABCD，于是OF面PBC，OF的长等于O到面PBC的距离由条件可得E到面PBC的距离为（3）解：作OGEB于G，连接AGOEAC，BDACAC面BDEAGEBAGO是二面角AEBD的平面角OE=EB=a又即所求二面角的正切值为点评：垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是高考每年必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力，逻辑思维能力及语言表达能力的训练在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征掌握转化思想方法是解决这类问题的关健【二面角的求法】例4. 如图所示，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD=90，E、F分别是AC、AD的中点（1）求证：平面BEF平面ABC（2）求平面BEF和平面BCD所成角的余弦值分析：对于问题（1）可采用“线面关系转化法”证明线面垂直；解决问题（2）可采用“定义法作角、证明、求值”或面积射影公式求解（1）证明：利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理如图所示，（2）解：如图所示，作EHBC于H，则EH平面BCD因为三个平面BEF，ACD，BCD两两相交，且交线EF/CD，所以在平面BCD内过B作l/CD，则l是平面BEF与BCD的交线，由BCCD知BCl，BEl，EBH是平面BEF与平面BCD所成二面角的平面角设AB=1，则在RtEHB中，又EBH 点评：有许多涉及求角与距离的问题（既可以用线面关系和解三角形理论求解，又可以用向量法求解，如果问题能通过一个基底或能建系求点，则可选用向量法，借助向量中的理论求解；否则可直接利用“”来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法【模拟试题】（答题时间：75分钟） 1、已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：若m/,n/，则m/n；若m/,n，则nm；若m，m/，则其中真命题的个数是（ ）A、0B、1C、2D、3 2、设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（ ）A、，=l，mlB、C、D、 3、给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线、与同一平面所成的角相等，则、互相平行；若直线、是异面直线，则与、都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（ ）A、1B、2C、3D、4 4、已知正方体ABCD，直线与平面所成的角的余弦值是（ ）A、B、C、D、 5、若三棱锥SABC的顶点S在底面上的射影H在ABC的内部，且是ABC的垂心，则（ ）A、三条侧棱长相等B、三个侧面与底面所成的角相等C、H到ABC三边的距离相等D、点A在平面SBC上的射影是SBC的垂心 6、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF、BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体PDEF中，必有（ ）A、DM平面PEF B、PM平面DEF C、平面PDE平面PEF D、平面PDE平面DEF7、正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果MBE = MBC，MB和平面BCF所成的角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为_8、若正四棱锥的底面边长为cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_ 9、已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为_ 10、如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点（1）求证：ACPB；（4分）（2）求证：PB/平面AEC；（3）求二面角EACB的大小 11、如图，在棱长为1的正方形ABCD中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？并证明你的结论 12、如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是O的直径，AB=AC=6，OE/AD（1）求二面角BADF的大小；（2）求直线BD与EF所成的角【试题答案】 1、C2、D3、D4、B5、D6、C 7、8、309、10、（1）（2）略（3）135 11、（1）（2）Q为A1C1的中点 12、（1）45（2）用心 爱心 专心