辽宁省沈阳市铁路实验中学高二数学上学期第二次月考试卷理含解析

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+102Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D113已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A3k9Bk3Ck9Dk34已知9，a1，a2，1成等差数列，9，b1，b2，b3，1成等比数列，则b2（a1+a2）等于（）A30B30C30D155若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C2D46下列说法错误的是（）A命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x3，则x24x+30”B“x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题D命题p：“存在xR使得x2+x+10，”则p：“对于任意xR，均有x2+x+10”7在ABC中，已知sinBsinC=cos2，则三角形ABC的形状是（）A直角三角B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形8若关于x的不等式xa22xa30在区间1，1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，1B1，3C（1，1）D（1，3）9已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2xy+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）ABC2D110设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D11设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）A4B3C1D212已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分13抛物线y=4x2的准线方程为14在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=15已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1）点N（x，y）的坐标x，y满足不等式组则的取值范围是16已知P是椭圆+=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为三、计算题：本题共6小题，共计70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）已知不等式ax2bx10的解集是，求不等式x2+bx+a0的解集（2）若不等式ax2+4x+a12x2对任意xR均成立，求实数a的取值范围18在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求sinB的值；（2）若b=4，且a=c，求ABC的面积19设Sn为等差数列an的前n项和，已知a4=9，a3+a7=22（I）求数列an的通项公式an；（）求证：20已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点（1）求点Q的轨迹方程；（2）若倾斜角为60且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|21已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=42n（nN*），设cn=，求数列cn的前n项和Tn22已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点且倾斜角余弦值为的直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于M点，又（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C长轴的取值范围2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析】根据命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案【解答】解：命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xR，x3x2+10故选C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定2Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D11【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知结合等差数列的性质求得a3=1，再由S5=5a3得答案【解答】解：数列an是等差数列，且a1+a3+a5=3，得3a3=3，即a3=1S5=5a3=5故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题3已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A3k9Bk3Ck9Dk3【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以x2所对的分母为负，y2所对的分母为正，就可得到关于k的不等式，解不等式，即可求出k的范围【解答】解：方程表示焦点在y轴上的双曲线，解得k9k的取值范围是k9故选C【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程的形式，注意区别焦点在x轴上的双曲线方程与焦点在y轴上的双曲线方程4已知9，a1，a2，1成等差数列，9，b1，b2，b3，1成等比数列，则b2（a1+a2）等于（）A30B30C30D15【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用已知条件根据等差数列以及等比数列列出关系式求解即可【解答】解：根据题意，由于9，a1，a2，1成等差数列，故等差中项的性质可知，有a1+a2=91=109，b1，b2，b3，1成等比数列，则由等比中项性质得到，由于奇数项的符号爱等比数列中相同，故b2=3，因此b2（a1+a2）=30，故选A【点评】对于等差数列和等比数列的等差中项性质与等比性质的运用是数列考试题中常考的知识点，要熟练的掌握，同时能利用整体的思想来处理数列问题，也是很重要的一种思想，属于基础题5若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C2D4【考点】基本不等式【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】由+=，可判断a0，b0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解： +=，a0，b0，（当且仅当b=2a时取等号），解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题6下列说法错误的是（）A命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x3，则x24x+30”B“x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题D命题p：“存在xR使得x2+x+10，”则p：“对于任意xR，均有x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明【分析】A中逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中“x1”是“|x|0”的一部分，因此“x1”是“|x|0”的充分不必要条件；C中p且q为假命题，则有一个假命题或两个假命题；D中特称命题的否定是全称命题，需将结论加以否定，x2+x+10的否定为x2+x+10【解答】解：命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x3，则x24x+30”，故A正确；“|x|0”“x0，或x0”，故“x1”是“|x|0”的充分不必要条件，故B正确；若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，故C正确；命题p：“存在xR使得x2+x+10，”则p：“对于任意xR，均有x2+x+10”，故D错误；故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题与全称命题特称命题，是简易逻辑内容的简单综合应用，难度中档7在ABC中，已知sinBsinC=cos2，则三角形ABC的形状是（）A直角三角B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】解三角形【分析】利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出【解答】解：sinBsinC=，2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC+1，cosBcosC+sinBsinC=cos（BC）=1，BC，BC=0，B=C，三角形为等腰三角形故选：B【点评】本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8若关于x的不等式xa22xa30在区间1，1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，1B1，3C（1，1）D（1，3）【考点】函数恒成立问题【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】构造函数f（x）=（a22a）x3，把不等式xa22xa30在区间1，1上恒成立转化为f（x）0在区间1，1上恒成立，由一次函数的性质转化为求解【解答】解：令f（x）=xa22xa3=（a22a）x3，则关于x的不等式xa22xa30在区间1，1上恒成立，解之得1a3，故选：D【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题9已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2xy+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）ABC2D1【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；作图题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作图，化点P到直线l：2xy+3=0和y轴的距离之和为PF+PA1，从而求最小值【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2xy+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2xy+3=0和y轴的距离之和为PF+PA1；而点F（1，0）到直线l：2xy+3=0的距离为=；故点P到直线l：2xy+3=0和y轴的距离之和的最小值为1；故选D【点评】本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线的定义应用，属于中档题10设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），利用A1BA2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率【解答】解：由题意，A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），A1BA2C，a=b，双曲线的渐近线的斜率为1故选：C【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础11设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）A4B3C1D2【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，则目标函数z=ax+by（a0，b0）在A（4，6）上取得最大值，即4a+6b=12， +=，利用基本不等式求解【解答】解：由题意作出其平面区域，则目标函数z=ax+by（a0，b0）在A（4，6）上取得最大值，即4a+6b=12，+=，=3（当且仅当2a=3b=6时，等号成立），ab，4故选A【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题12已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=2直线y=k（x+2）（k0）恒过定点P（2，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了对抛物线的基础知识的灵活运用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分13抛物线y=4x2的准线方程为【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，p=抛物线方程开口向上，准线方程是y=故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题14在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=30【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，A=30故答案为：30【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键15已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1）点N（x，y）的坐标x，y满足不等式组则的取值范围是1，6【考点】简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】平面向量及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出z=，利用z的几何意义求最值即可【解答】解：N（x，y）的坐标x，y满足不等式组表示的可行域如图：由向量的数量积的几何意义可知，当N在（3，0）时取得最大值是（3，0）（2，1）=6，在（0，1）时取得最小值为（2，1）（0，1）=1，所以的取值范围是1，6故答案为：1，6【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动16已知P是椭圆+=1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设P（x0，y0），利用斜率公式及P在椭圆上求得k1和k2 的解析式，从而计算出 k1k2的值【解答】解：由题意得，b=2，a=2，设P（x0，y0）（y00），A（2，0），B（2，0），则=1，即y02=4（1），则k1=，k2=，即k1k2=，k1k2为定值故答案为：【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，解答关键是利用直线的斜率求出表达式后化简得到定值三、计算题：本题共6小题，共计70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）已知不等式ax2bx10的解集是，求不等式x2+bx+a0的解集（2）若不等式ax2+4x+a12x2对任意xR均成立，求实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）根据不等式ax2bx10的解集求出a、b的值，再求不等式x2+bx+a0的解集即可；（2）把不等式ax2+4x+a12x2化为标准形式，由不等式对任意的实数x均成立，列出条件不等式组，求出解集即可【解答】解：（1）不等式ax2bx10的解集是，方程ax2bx1=0的两个实数根是，；，解得a=6，b=5；不等式x2+bx+a0化为x25x+60，解得2x3；不等式x2+bx+a0的解集是x|2x3（2）不等式ax2+4x+a12x2可化为（a+2）x2+4x+a10，对任意的实数x均成立，即，解得a2；实数a的取值范围是a|a2【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系问题，也考查了不等式恒成立的问题，根与系数的关系的应用问题，是基础题18在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，（1）求sinB的值；（2）若b=4，且a=c，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【专题】计算题【分析】（1）通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得cosB，进而求得sinB（2）通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理，得即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosBsin（B+C）=3sinAcosBA+B+C=180sinA=3sinAcosB0A180cosB=sinB=（2）由余弦定理，cosB=，再由b=4，a=c，cosB=得c2=24SABC=acsinB=c2sinB=8【点评】本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式属基础题19设Sn为等差数列an的前n项和，已知a4=9，a3+a7=22（I）求数列an的通项公式an；（）求证：【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过等差数列中下标和相等两项和相等及a3+a7=22可知a5=11，利用d=a5a4计算即得结论；（2）通过（1）、裂项可知=（），进而并项相加即得结论【解答】（1）解：依题意，2a5=a3+a7=22，即a5=11，又a4=9，公差d=a5a4=2，an=a4+（n4）d=2n+1；（2）证明：由（1）可知，=（），累加得：【点评】本题考查是一道关于数列与不等式的综合题，考查求数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题20已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点（1）求点Q的轨迹方程；（2）若倾斜角为60且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题【专题】综合题【分析】（1）设Q（x，y），根据Q是OP中点，可得P（2x，2y），利用点P在抛物线y2=4x上，即可得到点Q的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程代入y2=2x，消去y得：3x28x+3=0，利用韦达定理，可计算弦长|AB|【解答】解：（1）设Q（x，y），Q是OP中点，P（2x，2y）又点P在抛物线y2=4x上（2y）2=42x，即y2=2x为点Q的轨迹方程（2）F（1，0），直线AB的方程为：设点A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的方程代入y2=2x，消去y得：3x28x+3=0【点评】本题考查求轨迹方程，考查弦长的计算，解题的关键是掌握代入法求轨迹方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解21已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=42n（nN*），设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由Sn，an，成等差数列，可得2an=Sn+，即2Sn=4an1（n1），利用2Sn1=4an11，两式相减得整理可得an=2an1，利用等比数列的通项公式可求；（2）由题意可得，cn=（4n2）（）n2，根据数列通项的特点考虑利用错位相减可得【解答】解：（1）由Sn，an，成等差数列，可得2an=Sn+，a1=，由2Sn=4an1（n1），2Sn1=4an11（n2），两式相减得2an=（4an1）（4an11）=4an4an1，即an=2an1（n2），数列an是以为首项，以2为公比的等比数列，an=2n1=2n2（nN*）；（2）由题意可得，cn=（42n）（）n2，Tn=c1+c2+cn=2（）1+0（）0+（42n）（）n2，Tn=2（）0+0（）1+（42n）（）n1，可得， Tn=42（）0+（）1+（）n2（42n）（）n1=42（42n）（）n1化简可得Tn=4n（）n1【点评】本题主要考查了利用递推公式构造求解数列的通项公式，而错位相减求解数列的和是数列求和的难点和重点，要注意该方法的掌握22已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点且倾斜角余弦值为的直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于M点，又（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C长轴的取值范围【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设直线l的倾斜角为，0，），利用同角三角函数基本关系式可得tan，再利用点斜式即可得出（2）设与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），与x轴交于M（1，0），由知：y1=2y2直线方程代入椭圆方程可得，0，再利用根与系数的关系即可得出【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为，0，），cos=， =，tan=，又直线l经过点，直线l的方程为（2）设与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），与x轴交于M（1，0），由知：y1=2y2将代入b2x2+a2y2=a2b2，得，5a2+4b25由消去y2得，代入得，1a29，又a2b2，综合解得，椭圆C长轴的取值范围为【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，解决该试题的关键是能利用已知中的点和斜率来借助于点斜式方程表示出直线的方程，同时能结合直线与椭圆的相交，联立方程组，进而结合韦达定理和判别式来求解表示出长轴长，借助于参数a的范围得到所求，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21