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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根04解三角形一、知识要点：1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 其中R是三角形外接圆的半径注：结合成比例定理有.(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b_，c_；sinA，sinB ，sinC ；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2 ，b2 ，c2 .若令C90，则c2_，即为勾股定理(2)余弦定理的推论：cosA ，cosB ，cosC _.若C为锐角，则cosC0，即a2b2_c2；若C为钝角，则cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B ；sin2C _.注意隐含条件ABC.3解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理，只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数(3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S 其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC，则A_，_，从而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.(4)在ABC中，abcosCccosB，b ，c .(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠：1(1)2R (2)2RsinB2RsinC sinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosB a2b22abcosCa2b2(2)(3)互化sin2Csin2A2sinCsinAcosB sin2Asin2B2sinAsinBcosC3(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解一解 两解一解一解(3)余弦(4)余弦4(1)absinCbcsinAacsinB(abc)r (2)(BC)sin(BC)cos(BC) tan(BC)cossin tanAtanBtanC(3)acsinAsinC (4)acosCccosAacosBbcosA二、题型训练：热身训练：1设、为的三边长, 若，且，则的大小为（ ）A B C D【答案】D分析：因为，所以三角形为直角三角形，由，所以，故.2已知ABC中，则（ ）A B C D【答案】B分析：因为，所以，则，且，又因为，解得，故选B3ABC中，A，BC ，则ABC 的外接圆面积为（ ）A、 B、2 C、3 D、4【答案】C分析：由正弦定理可得外接圆半径满足4在中，则等于（ ）A B C D【答案】C分析：由，则，所以，.5在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等于_【答案】分析：由，根据正弦定理，可设，所以此三角形的最大内角的度数，所以题组一：6已知中，则的面积为（ ）A9 B18 C D【答案】C分析：由题意得，在中，所以，所以此三角形为等腰三角形，所以,所以三角形的面积为，故选C.7在中，则的值为（ ）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】分析：据题意,由正弦定理,将，代入可得,那么为或.故本题选.8在中，则的面积等于（ ）A B或 C D或【答案】B分析：由余弦定理可得：或，当时，当时，故选B.9在中，角的对边分别是，已知，则，则的面积为（ ）A B C D【答案】B分析：由正弦定理，又，且，所以，所以，所以三角形的面积为10钝角三角形的面积是，则（ ）A5 B C2 D1【答案】B分析：因,故,所以.11在中，角所对的边分别为若，的面积，则的值为_【答案】 分析：，由余弦定理得，因此课堂检测：12在中，则等于（ ）A B C D【答案】B分析：由题意得，所以，由正弦定理，得，故选B13在中，设角所对的边分别为，若，则 【答案】 分析：即，又，由正弦定理，得14在中，则等于（ ）A B C或 D2【答案】 C分析：由余弦定理，得，则，即，解得或，故选C15在中，角所对的边分别为，若，则_【答案】分析：由正弦定理得，即，且，所以，所以,故应填.16在中，分别是角的对边，且,，则的面积等于（ ）A. B. C. D.10【答案】C分析：由余弦定理得17设的内角的对边分别为，且，则_【答案】分析：，.18在锐角中，则（ ）A B C D【答案】A分析：因,故,且是锐角,故.19在中，其面积为，则等于（ ）A B C D【答案】B分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所以，又由余弦定理，可得，所以，则，故选B题组二：20已知中，分别是角所对的边，若，则角的大小为（ ）A B C D【答案】C分析：由已知和正弦定理得展开化简得，由于为三角形内角，所以,所以，.21在中，角、所对的边长分别为，若，且，则的值为（ ）A5 B6 C D【答案】B分析：由正弦定理得，又，两式相减得，又因为，所以，所以，所以，故选B22在中，角，所对的边分别为，且，成等差数列，则角的大小是_【答案】分析：因为成等差数列，又由正弦定理，得，为的内角，即为的内角，为的内角，综上所述，结论是，故答案为23在中，内角所对应的边分别为，若，且，则的面积为（ ）A. B C D【答案】A分析：由余弦定理，得，即，所以，故选A24已知在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A B C D2【答案】A分析：由余弦定理可得,所以,故,所以,故应选A.25ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为 【答案】分析：,由成等比数列，又由余弦定理得26已知的内角所对应的边分别为，且面积为6，周长为12，则边为（ ）A B C D【答案】C分析：，解得.27在锐角中，角的对边分别是，若，则的值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B分析：因为，由余弦定理可得，所以，则，故选B.课堂检测：28锐角中，角、所对的边长分别为、，若，则角等于（ ）A B C D【答案】C分析：由，根据正弦定理得，又因为锐角，所以，故选C29设在的内角的对边分别为，且满足，则_【答案】分析：在中，由，可利用正弦定理得,即，所以，所以30已知的三边满足，则角=_【答案】分析：由的三边满足，所以，所以，所以，即为，所以，所以31在中，角的对边分别为，若，则_【答案】分析：因为，所以33在中，分别为的对边，如果成等差数列，的面积为，那么（ ）A B C D【答案】B分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B34在中，角，所对的边分别为，且满足，则_.【答案】分析：因为，所以，化简得.所以又因为，所以，所以，即，整理得.又，所以，两边除以得，解得.题组三：35在中，若，则是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形【答案】C 分析：由中，若，根据正弦定理得，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选C.36某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ）A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形【答案】D分析：设三角形的三边为，利用面积相等，可知，所以，令，由余弦定理得，所以角为钝角.37在中，那么一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】D分析：在中，化简得，解得，即，所以或，即或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D38在ABC中，若，则ABC的形状一定是（ ）A等边三角形 B等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形【答案】D分析：，的形状一定是直角三角形故选：D39的三个内角为，若关于的方程有一根为1， 则一定是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形【答案】A分析：依题意可知， 1-cosAcosB-=0，整理得cos（A-B）=1A=B 三角形为等腰三角形40若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么是（ ）A直角三角形 B等边三角形 C.等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】B 分析：，根据余弦定理有，即，即，又由，则，即，化简可得，即，是等边三角形，故选B41在中，为锐角，则为（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】D分析：由，所以且，又因为为锐角，所以，由，根据正弦定理，得，解得，所以三角形为等腰直角三角形，故选D.课堂检测：42在ABC中，若，则ABC的形状是( ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定【答案】分析：据正弦定理可化为,再由余弦定理可知.在三角形中,可知.故本题选.43在ABC中，则ABC的形状是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】分析：由.据正弦定理,可得,即,则,或,即或.三角形为等腰三角形或直角三角形.故选44在中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】C 分析：因为，由正弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，所以三角形为等腰三角形，故选C45设为三角形三边长，若，则三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定【答案】B 分析：两边除以得，故为直角三角形.题组四：46已知的三个内角、所对的边分别为、若，则面积的最大值为（ ）A2 B C D【答案】B分析：由余弦定理得，得，所以，面积的最大值，故选B.47在中，角A,B,C所对的边分别是，则角C的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A分析：，又因为,得.48在中，已知，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D分析：由有,通分化简有,由正弦定理有,由余弦定理有，化简得，代入有，所以的最小值为,选D.49在中，角所对的边分别为，则周长的取值范围是_.【答案】分析：由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，又，所以50在ABC中，角所对的边分别为，已知，则的最大值为（ ）A3 B6 C9 D36【答案】B分析：因为，所以由正弦定理知，得 ，由余弦定理得 即的最大值为，故选B.51在中，角、所对的边长分别为，且满足，则的最大值是（ ）A1 B C D3【答案】C 分析：由，根据正弦定理，得，所以，所以，则，当时，有最大值，此时最大值为，故选C52在中，角所对的边分别为若，且，则的最大值是（ ）A B C D【答案】B 分析：由正弦定理与得，又，所以，所以，又，所以当时，取得最大值，故选B53已知是的三个内角，且，则的最小值为 .【答案】分析：有一个角是直角，故54在中，则角的取值范围是（ ）A B C D【答案】D分析：在中，由正弦定理，即，解得，又因为，所以为锐角，所以，故选D55设锐角的三内角、所对边的边分别为、,且,则的取值范围（ ）A B C D【答案】A分析：，由正弦定理得，因为,又因为，故，.56锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B分析：因为，则，为锐角，有，又，为锐角，则，所以，选B.57已知中，且满足，则的面积的最大值为（ ）A B3 C2 D【答案】D分析：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设则，所以的面积的最大值为.58在中，角的对边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）A B C D【答案】B分析：由正弦定理可得，由余弦定理可得，即也即,所以，所以，所以当，时，最大最大值为，即.故应选B.课堂检测：59在中，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A分析：由正弦定理，得，即，又，；故选A60在锐角中，角所对的边为，若且，则的取值范围为_.【答案】【详解】因为,所以可化为：又，所以，所以，解得：由正弦定理得：，又所以，所以在锐角中，,所以所以.所以的取值范围为61已知的内角，所对的边分别为，且,若，则的周长的最大值为（ ）A B CD【答案】C【详解】由正弦定理得，所以，因为，所以，由正弦定理求得.所以，由于，故当时，周长取得最大值为.故选：C.63已知的内角，所对的边分别为，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A B CD【答案】C【详解】,（当且仅当时取等号）,，,设,单调递增,64在中，内角，的对边分别是，若满足，则三角形周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】，即，又A，B，C为三角形内角，即，在中，由余弦定理可得，化简得，解得（当且仅当，取等号），再由任意两边之和大于第三边可得，故有，则的周长的取值范围是，故选C65已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为_。【答案】【详解】由以及可知： ，即所以即所以面积的最大值为。66锐角三角形ABC中，则面积的取值范围为_.【答案】【详解】，可得：， ，可得：，可得：则面积的取值范围为67在中，内角所对的边分别为，已知，当的面积最大时，_【答案】0【详解】，由正弦定理可得：又由可得：或或（舍去），由正弦定理可得 当时取得最大值，此时本题正确结果：68在中，则的最大值为ABCD【答案】A【详解】中，则，其中由于，所以，所以最大值为 69在锐角中，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】在锐角中，由正弦定理可得，=在锐角中有，可求得结合余弦函数的图像与性质可得。答案选B70锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【详解】，由正弦定理得， ，是锐角三角形，解得，即的值范围是故选：D71设的内角，的对边分别为，若，且，则的最小值为_.【答案】解：因为，所以由正弦定理有，即.由，得，故当时取最小值为.故答案为：72在中，角，的对边分别为，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，_.【答案】【详解】由正弦定理及得：，即：，由余弦定理可知：，又，当且仅当时，即时，取得最小值，此时，.题组五：73在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为 .【答案】或分析：在中，应用余弦定理可得，即，解得或5，所以或12，所以的面积为或，故应填或.74在中，为的中点，则的长为_【答案】分析：如图，设，在中，由正弦定理可得，解得，故，而在中，故可得，再由勾股定理可得，即，故，解得，故答案为75在中，角的对边分別为，若，点是的重心，且，则的面积为（ ）ABC或D或【答案】D【详解】由题可知，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，所以的面积为；当时，所以的面积为.故选D.76在斜中，设解 的对边分别为，已知，若是角的角平分线，且，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由已知，根据正弦定理可得又由余弦定理可得故即结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得 ，由 ，可得 故 故选B.77在中，角，所对的边分别为，且边上的高为，则的最大值是（ ）A8B6CD4【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即a22bcsinA，将代入得：b2c22bc(cosAsinA)，2(cosAsinA)4sin(A)，当A时取得最大值4，故选D78已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A详解：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，得，当时，当时，为锐角三角形，的取值范围为，故选A.79益古演段是我国古代数学家李冶（11921279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为_【答案】3【详解】如图，延长到点，使，是线段的中点，四边形是平行四边形，在中，当且仅当等号成立 ，在中，.故答案为：.课堂检测：80等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长=（ ）A2 B C3 D【答案】D分析：如图所示，则，在直角中，根据正弦定理可得，故选D.81在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.82在锐角中，则中线AD长的取值范围是_;【答案】【详解】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以，结合bc的范围，代入，得到的范围为83在中，角，所对的边分别是，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为_【答案】（+1，+1）【详解】a1，且BC边上的高等于tanA，SABCbcsinA，解得：cosA0，由余弦定理可得：cosA，可得：，bc，A（0，），可得：cosA（0，1），可得：bc（1，+），可得：3+（5，+），b+c（，+），又，可得：，可得：（b+c）26，可得：b+c，b+c（，），ABC的周长a+b+c（+1，+1）故答案为：（+1，+1）三、课后练习：1若锐角的面积为，且，则等于 .【答案】分析：因为锐角的面积为，且，所以，解得，所以，由余弦定理得.2在锐角ABC中，角A、B、C所对应的边分别为，若，则角等于（ ）A30 B45 C60 D120【答案】C分析：根据正弦定理变形，（为ABC外接圆半径），所以，有因为锐角ABC，所以。3在中，则 （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A分析：由题意可知，由正弦定理，所以我们需要求的值，因此由余弦定理得，故b=c或b=-2c（舍），所以=1，故选A4已知中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】C分析：,故选C.5中，角的对边分别是，已知，则（ ）A B C D【答案】C分析：由，由余弦定理得，即，所以，故选C6在中，内角的对边分别是，若，则（ ）A B C D【答案】A分析：由及正弦定理可得，再由，可得，再由余弦定理可得，所以，故选A.7在中，已知，如果三角形有两解，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A分析：由余弦定理得,即,故由题设且,解之得，所以应选A.8已知锐角三角形的边长分别为2，3，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得；设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得，所以实数的取值范围是，故选A.9在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则周长的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】因为在三角形ABC中， 所以由诱导公式及三角形中B的取值范围可求得 由余弦定理可得 ，化简得即根据不等式可知 ，结合，代入上述等式可得 b为边长，所以为正数，即又根据三角形构成原则，两边之和大于第三边，所以 所以b的范围为所以周长的取值范围为所以选B10在中，若则的最大值为_.【答案】【详解】已知等式即 ，即可得，即，即 所以，sinA故答案为：11在中，角的对边分别为, , ,则角的最大值为_；【答案】 【详解】在中，由角C的余弦定理可知，又因为，所以。当且仅当时等号成立。12已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若csinAacosC，则sinAcos的取值范围是_.【答案】 【详解】因为csinAacosC，所以sinCsinA=-sinAcosC,所以tanC=-1,即C=.sinAcos=sinA+cosA=2sin(A+),因为所以.故答案为：13已知的三个内角，的对边分别为，若，且，则的取值范围为_【答案】详解：由正弦定理，得 即由余弦定理 得 又 由题可知 则 即的范围14在中，角，的对边分别为，若，则的外接圆面积为（ ）ABCD【答案】C【详解】设的外接圆半径为，由余弦定理可得：，解得：，的外接圆面积为，故选C15在中，内角的对边分别为，则（ ）ABC4D【答案】B【详解】由三角形面积公式可得：，即，解得：，结合余弦定理可得：，则由正弦定理有：，结合合分比定理可得：.本题选择B选项.28 / 28
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