浙江省2018年中考数学复习 第一部分 考点研究 第五单元 四边形 第24课时 矩形、菱形、正方形（含近9年中考真题）试题

第一部分 考点研究第五单元 四边形浙江近9年中考真题精选(20092017),)命题点1矩形类型一矩形的性质及判定(台州2016.19，温州2考，绍兴2考)1. (2010台州9题4分)如图，矩形ABCD中，ABAD，ABa，AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，则DMCN的值为(用含a的代数式表示)()A. a B. a C. a D. a第1题图2. (2016舟山9题3分)如图，矩形ABCD中，AD2，AB3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()第2题图A. B. C. 1 D. 3. (2017宁波12题4分)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第3题图4. (2014金华15题4分)如图，矩形ABCD中，AB8，点E是AD上的一点，有AE4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是_第4题图5. (2013温州16题5分)一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上，木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据(单位：cm)后，从点N沿折线NFFM(NFBC，FMAB)切割，如图所示图中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠，无缝隙，不计损耗)，则CN、AM的长分别是_第5题图6. (2016台州19题8分)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：PHCCFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系第6题图7. (2009绍兴22题12分)若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连接AM，BM，AMB90，则点M为直角点(1)若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；(2)若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB4，BC，求MN的长第7题图8(2017丽水24题12分)如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GFAF交AD于点G，设n.(1)求证：AEGE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；(3)若AD4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值第8题图类型二矩形折叠的相关计算(台州2015.8，绍兴3考)9. (2015台州8题4分)如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是()A8 cm B5 cm C5.5 cm D1 cm10. (2014嘉兴9题4分)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD4 cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为()A. 2 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 4 cm第10题图11. (2016绍兴16题5分)如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为_第11题图12. (2014绍兴16题5分)把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”，现在我们在长为2，宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是_13. (2015衢州21题8分)如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图.(1)求证：EGCH；(2)已知AF，求AD和AB的长第13题图命题点2菱形类型一菱形的性质及相关计算(杭州3考，台州4考，温州4考，绍兴2013.16)14. (2014杭州5题3分)下列命题中，正确的是()A. 梯形的对角线相等B. 菱形的对角线不相等C. 矩形的对角线不能互相垂直D. 平行四边形的对角线可以互相垂直15. (2015衢州8题3分)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，BAD60，则花坛对角线AC的长等于()A. 6 米 B. 6 米 C. 3 米 D. 3 米第15题图16. (2015台州9题4分)如图，在菱形ABCD中，AB8，点E、F分别在AB、AD上，且AEAF，过点E作EGAD交CD于点G，过点F作FHAB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为()第16题图A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 517. (2012台州10题4分)如图，菱形ABCD中，AB2，A120，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为()A. 1 B. C. 2 D. 1第17题图18. (2017台州10题4分)如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BEBF，将AEH，CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为()第18题图A. B. 2 C. D. 419. (2016杭州14题4分)在菱形ABCD中，A30，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE，则EBC的度数为_第20题图20. (2016丽水15题4分)如图，在菱形ABCD中，过点B作BEAD，BFCD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DGBD，连接EG，FG.若AEDE，则_21. (2013绍兴16题5分)矩形ABCD中，AB4，AD3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E，F，点Q关于直线BC，CD的对称点分别是点G，H，若由点E，F，G，H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为_22. (2015温州16题5分)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙)，图乙中，EF4 cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54 cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为_cm.第22题图23(2014杭州22题12分)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC4，BD4.动点P在线段BD上从点B向点D运动，PFAB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BPx.(1)用含x的代数式分别表示S1，S2；第23题图(2)若S1S2，求x的值类型二菱形的判定(台州2012.22，温州2012.19)第24题图24. (2014丽水7题3分)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是()A. 矩形 B. 菱形C. 正方形 D. 等腰梯形25. (2014嘉兴20题8分)已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连接BE，DF.(1)求证：DOEBOF；(2)当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由第25题图命题点3正方形的性质及相关计算(杭州2考，台州5考，温州3考，绍兴3考)26. (2016台州9题4分)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次27. (2014台州9题4分)如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则EBF的度数是()A. 45 B. 50 C. 60 D. 不确定第27题图28(2017温州9题4分)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtABM较长直角边，AM2EF，则正方形ABCD的面积为()第28题图A. 12S B. 10S C. 9S D. 8S29(2017宁波11题4分)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE4，过点E作EFBC，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为()A. 3 B. 2 C. D. 4第29题图30(2017绍兴14题5分)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为_m.第30题图31. (2017台州16题5分)如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是_第31题图32(2016杭州21题10分)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD3，DE1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sinEAC的值；第32题图(2)求线段AH的长33. (2017杭州21题10分)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GEDC于点E，GFBC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，AGF105，求线段BG的长第33题图34. (2017湖州22题10分)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DFCE，求证：OEOG；(2)如图，H是BC上的一点，过点H作EHBC，交线段OB于点E，连接DH交CE于点F，交OC于点G.若OEOG.求证：ODGOCE；当AB1时，求HC的长第34题图答案1. C【解析】AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，ADMMDCNCD45，CD，在矩形ABCD中，CDABa，DMCNacos45a.故选C.2. D【解析】如解图，过点E作EQCF于点Q，则EQ2.设DEx，则CEDCDE3x，AECF，CQE90，AEQ90，AEDQEC90，AEDDAE90，DAEQEC，在ADE和EQC中，ADEEQC(ASA)，AEEC3x.在RtADE中，根据勾股定理得AD2DE2AE2，即22x2(3x)2，解得x.故选D.第2题解图3. A【解析】如解图，设矩形的周长为Ln，设的长分别是a，b，c，的宽为d，和是正方形，和的宽为b和c，L14b，b，c，大矩形的面积S(abc)(dbc)，观察图形可知：L62(ab)，则ab，同理bd，当L2，L4和L6已知时，可以求出大矩形面积ac，dc，当L1，L8和L5已知时，也可以求出大矩形面积所以至少需要知道3个小矩形的周长第3题解图4. 7【解析】FH是BE的垂直平分线，EFFB，四边形ABCD是矩形，DBCD90，FCGD90.又G是CD的中点，DGCG，DGECGF，EDGFCG(ASA)由全等三角形对应边相等得DECF，EGFG.设BCx.在矩形ABCD中，AE4，DEx4，CFDEx4.又EFBFBCCFx(x4)2x4，G是EF的中点，EGx2，DG4，在RtDEG中，由勾股定理得：DE2DG2EG2，即(x4)242(x2)2，解得x7，即BC7.5. 18 cm，31 cm【解析】如解图，延长OK交线段MF于点M，延长PQ交BC于点G，交FN于点N.设圆孔半径为r.在RtKBG中，根据勾股定理，得BG2KG2BK2，即(13050)2(44r)21002，解得r16 cm.根据题意知，如解图，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KNAB42 cm，OMKMrCB65 cm.QNKNKQ421626 cm，KMOMr49 cm，CNQGQN442618 cm，AMBCPDKM130504931 cm，综上所述，CN，AM的长分别是18 cm、31 cm.第5题解图6证明：(1)四边形ABCD是矩形，DCAB，ADBC，DCB90，(1分)EFAB，GHAD，EFCD，GHBC，四边形PFCH是矩形，(2分)PHCPFC90，PHCF，HCPF，PHCCFP(SAS)；(4分)(2)四边形ABCD为矩形，DB90，又EFABCD，GHADBC，四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形(6分)S矩形PEDHS矩形PFBG.(8分)【解法提示】EFAB，CPFCAB，在RtAGP中，AGP90，PGAGtanCAB，在RtCFP中，CFP90，CFPFtanCPF，S矩形PEDHDEEPCFEPPFtanCPFEP，S矩形PFBGPGPFAGtanCABPFEPPFtanCAB.又tanCPFtanCAB，S矩形PEDHS矩形PFBG.7解：(1)AB2AD.理由如下：直角点M为CD边的中点，MDMC，又ADBC，DC90，ADMBCM(SAS)，(3分)AMDBMC，AMB90，AMDBMC90，AMDBMC45，DAMAMD45，ADDM，AB2AD；(6分)(2)如解图，过点M作MHAB于点H，连接MN，第7题解图AMB90，AMDBMC90，AMDDAM90，DAMBMC，又DC90，ADMMCB，即，MC1或3，(8分)点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，ANMC，当MC1时，AN1，NH2，MN2MH2NH2()2227，MN，(10分)当MC3时，此时点N与点H重合，即MNBC，综上，MN或.(12分)8解：设AEa，则ADna，(1)由对称得AEFE，EAFEFA，GFAF，EAFFGAEFAEFG90，FGAEFG，EGEF，AEEG；(3分)(2)如解图，当点F落在AC上时，第8题解图由对称得BEAF，ABEBAC90，DACBAC90，ABEDAC，又BAED90，ABEDAC，ABDC，AB2ADAEna2，AB0，ABa，；(7分)(3)若AD4AB，则ABa，如解图，当点F落在线段BC上时，EFAEABa.第8题解图此时aa，n4.当点F落在矩形内部时，n4，点F落在矩形的内部，点G在AD上，FCGBCD，FCG90，第8题解图如解图，若CFG90，则点F落在AC上，由(2)得，即，n16；(9分)若CGF90，则CGDAGF90，FAGAGF90，CGDFAGABE，BAED90，ABEDGC，ABDCDGAE，即(a)2(n2)aa，解得n184，n2844(不合题意，舍去)当n16或n84，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形(12分)9. A【解析】折痕的长不可能超过对角线长由勾股定理得，矩形的对角线长 cm8 cm，所以折痕的长不可能为8 cm.10. B【解析】点E，F分别是CD和AB的中点，EFAB，EFBC，EG是DCH的中位线，DGHG，由折叠的性质可得AGHABH90，AGHAGD90，在AGH和AGD中，AGHAGD(SAS)，ADAH，DAGHAG，由折叠的性质可得BAHHAG，BAHHAGDAGBAD30，在RtABH中，AHAD4，BAH30，HB2，AB2，CDAB2 cm.11. 42或2【解析】本题结合平行线间的距离考查了平面图形的折叠对称问题注意，题目只说明两平行线间的距离，要考虑左侧相距和右侧相距的问题，即分类讨论当直线l位于CE左侧，与CE距离为2时，如解图所示：EM直线l，且EM2，记直线l与AD交于点G，与CD交于点H，连接EG，E为AB中点，AE2，易证明RtAEGRtMEG(HL)，即将AEG沿着EG折叠时，点A与M重合，此时A点在直线l上，又ADAE2，CEB45，CEGH，DGH45，D、M、E三点共线，则DMDEEM 22，DFDGDM42；第11题解图当直线l位于CE右侧，与CE距离为2时，如解图所示：EM直线l，且EM2，同理可证明D、E、M三点共线，AEEM2，点E到直线l上的点的距离d2，将矩形折叠后A点落在直线l上，只可能与M点重合，此时AEM的平分线所在直线与矩形交点即为点F.易求DEFDFE67.5，DFDE2，综上所述，DF42或2.124【解析】要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大，原矩形的长与宽之比为21，剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为，另外一个矩形的长为2，宽为，所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2(1)4.13(1)证明：在矩形ABCD中，ADBC，ABBCDADC90，A点与A点关于DE所在直线对称，ADEADE45，ADAD，四边形AEAD为正方形，BCADAE，(2分)CH与BC关于CE对称，AE与GE关于EF对称，CHBC，AEGE，EGCH；(4分)(2)解：由折叠性质可知：AEFGEF，CEHCEB，AEFGEFCEHCEB180，AEFCEB90，由(1)知CBEA，AB90，CEBBCE90，AEFBCE， AEFBCE(ASA)， BEAF，(6分)由折叠性质知：FGAF，FGD90，FDG45，DGF为等腰直角三角形，DFFG2，AD2，AE2，AB222.(8分)14D【解析】选项正误选项分析A等腰梯形的对角线相等B正方形属于菱形，且对角线相等C正方形属于矩形，且对角线互相垂直D菱形、正方形属于特殊的平行四边形，对角线可以互相垂直15.A【解析】因为菱形花坛的周长为24米，所以边长为6米，又AC、BD相互垂直平分，且平分一组对角，如解图，设AC、BD相交于点O，则AOB是以AOB为直角的直角三角形，且BAO30，又cos30，所以OA3 (米)，故AC6 (米)第15题解图16. C【解析】EGAD，FHAB，AEAF，四边形AEOF是菱形，EGBC，四边形BEOH是平行四边形，OHBE，四边形CGOH也为菱形，4(AEOH)12，AEOH3，AEEB3，又AEEBAB8，两式相加得2AE83，解得AE5.5.17. B【解析】四边形ABCD是菱形，ADBC，A120，ABC180A18012060，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ的长即为PKQK的最小值，如解图，当点Q与点C重合，过点C作CPAB时，PKQK的值最小，在RtBCP中，BCAB2，ABC60，PQCPBCsinABC2.故选B.第17题解图18. A【解析】如解图，由折叠的对称性可知，AJ，CM，四边形MNJK和四边形BENF都是菱形，则BENE，AEJE，菱形MNJK与菱形ABCD相似，且菱形MNJK的面积是菱形ABCD面积的，()2，设JNa，ENb，则AB4a，ABAEEBEJENJNENENJN2ENa2b，a2b4a，ab，.第18题解图19105或45【解析】如解图，四边形ABCD是菱形，DAB30，ABC150，ABDDBC75.顶角为120的等腰三角形的底角是30.当点E在ABD内时，E1BCE1BDDBC3075105.当点E在DBC内时，E2BCDBCE2BD753045.综上所述，EBC的度数为105或45.第19题解图20.【解析】如解图，延长BE到H，使得EHBE，连接GH，DGBD，DEGH且DEGH，BEAD，BHGH.设DEx，AEDE，BEAD，ABBD，四边形ABCD是菱形，ABAD2x，ABD为等边三角形，DBE30，GH2DE2x，HB2x，EHBEx，EGx，.第20题解图21. 2.8【解析】如解图，由轴对称性质可知，PAFPAE2PAB2PAD2(PABPAD)180，点A在菱形EFGH的边EF上，同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上，APAEAF，点A为EF中点，同理可知，点C为GH中点连接AC交BD于点O，则有AFCG，且AFCG，四边形ACGF为平行四边形，FGAC5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长EFFG5，APAEAF，APEF2.5，OAAC2.5，APAO，即APO为等腰三角形过点A作ANBD交BD于点N，则点N为OP的中点，由SABDABADBDAN，可求得AN2.4，在RtAON中，由勾股定理得ON0.7，OP2ON1.4；同理可求得OQ1.4，PQOPOQ1.41.42.8.第21题解图22. 【解析】如解图，菱形的四个顶点分别为M、P、N、Q，连接PQ，MN，设DEx，则DA2x4，CD(2x4)，而CDM的CD边上的高为，SMCD(2x4) ，解得x5或x11(舍去)，DE5，CD12，MCD的CD边上的高为，CDM中CD与CD边上的高的比为83，CDMPQM，PQM中PQ与BQ边上的高的比为83，菱形PNQM的两条对角线的比为PQMN8643，又MNDE5，PQ，MP，菱形的周长为4 cm.第22题解图23解：(1)设BPx，当点P在BO上，0x2时，如解图，第23题解图四边形ABCD是菱形，AC4，BD4，OA2，OB2，tanABO，ABO60，PFAB，BPF为直角三角形，BFx，FPx，则SBPFBFFPx2，四边形PFBG关于BD对称，BPFBPG，又四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称，BPFDQE，S14SBPFx2，(3分)又S菱形ABCDACBD8，S2S菱形ABCDS18x2，(4分)第23题解图当点P在OD上，2x4时，如解图，由BPx，则BFx，又AB2BO4，AF4x，FMtanFAMAF(4x)，SAFMAFFM(4x)2(4x)2，(7分)S24SAFM4(4x)2(4x)2，(6分)S1S菱形ABCDS28(4x)2.(8分)(2)解：若S1S2，当点P在BO上，02(舍)；(10分)当点P在OD上，24(舍)，x282.综上所述，当x82时，S1S2.(12分)24B【解析】依据垂直平分线的性质可知ACBC，ADBD，又ACAD，所以ACBCADBD，依据“四条边都相等的四边形是菱形”可知四边形ADBC是菱形故选B.25(1)证明：在ABCD中，O为对角线BD的中点，BODO，EDBFBO，在EOD和FOB中，DOEBOF(ASA)；(4分)(2)解：当DOE90时，四边形BFDE为菱形，理由：由(1)得DOEBOF，BFDE，又BFDE，四边形BFDE是平行四边形，(6分)BODO，EOD90，EBDE，四边形BFDE为菱形(8分)26C【解析】本题只需先说明这个四边形丝巾是菱形再说明有一个角是直角，从而得出是正方形先沿对角线折叠再折叠，若重合，得是菱形，再展开沿对边中点折叠，若重合得到一个角是90，从而可判断四边形丝巾是否是正方形故选C.27A第27题解图【解析】如解图，过点E作NGBC，分别交AB、CD于点N、G，则BNEEGF90，点E是BF的垂直平分线EM上的点，EFEB，点E是BCD平分线上一点，点E到BC和CD的距离相等，即BNEG，RtBNERtEGF(HL)，NBEGEF，NBENEB90，GEFNEB90，BEF90， 又BEEF，EBFEFB45.28C【解析】正方形EFGH的面积为S，EF，AM2EF，AM2.四边形PMQE是矩形，PMEQFQ，点P是AM的中点，PMAMS，FQPMEF，MQ，又BQPMS，BMEF，在RtAMB中，由勾股定理得AB2AM2BM2(2)2()29S，即正方形ABCD的面积为9S.第28题解图29C【解析】如解图，过点M作MRDC于点R，过点N作NQDC于点Q，过点M作MPNQ于点P，ABBC6，EF6，又BE4，AEDF2，M为DG的中点，RFDF1，在NQC和EFC中，EFNQ且N为EC的中点，NQEF3，NPNQPQNQMR312，FQFC42，RQMP123，RtMNP中，MN.第29题解图304600【解析】由题意得，BAAGGE3100 m，AB1500 m，AGGE310015001600 m，BD为对角线，DBC45，而GEDC，DGE45，DEG为等腰直角三角形，DEGE，如解图，过点G作GHAB，易证AGHEFC，AGEF，ABADDEEFABAD(GEAG)300016004600 m.第30题解图31.a3【解析】四边形ABCD是正方形，ABaAC，a的取值范围与AC的长度直接相关如解图，当A，C两点恰好是正六边形一组对边中点时，a的值最小，正六边形的边长为1，AC，ABaAC；如解图，连接MN，延长AE，BF交于点G，该六边形是正六边形，四边形ABCD是正方形，MNG、ABG、EFG为正三角形，设AEBFx，则AMBN1x，AGBGAB1xa，GMMN2，BNM60，sinBNMsin60，(1x)a，(2a)a，解得，a3.正方形边长a的取值范围是a3.第31题解图32解：(1)由题意知EC2，AE，如解图，过点E作EMAC于点M，EMC90，易知ACD45，EMC是等腰直角三角形，EM，sinEAC；(4分)(2)在GDC与EDA中，GDCEDA(SAS)，GCDEAD，CGAE，又HECDEA，EHCEDA90，AHGC，SAGCAGDCGCAH，43AH，AH.(6分)第32题解图33解：(1)AG2GE2GF2；(1分)第33题解图理由：如解图，连接CG，四边形ABCD是正方形，ADGCDG45，ADCD，DGDG，ADGCDG(SAS)，(2分)AGCG，又GEDC，GFBC，ECF90，四边形CEGF是矩形，(3分)CFGE，在RtGFC中，由勾股定理得，CG2GF2CF2，AG2GE2GF2；(4分)(2)如解图，过点A作AMBD于点M，GFBC，ABGGBC45，BAMBGF45，ABM，BGF都是等腰直角三角形，(6分)AB1，AMBM，AGF105，AGM60，tan60，GM ，(8分)BGBMGM.(10分)34(1)证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，ODOC，DOGCOE90，OECOCE90，DFCE，OECODG90，ODGOCE，(2分)DOGCOE(ASA)，(3分)OEOG；(4分)(2)证明：ODOC，DOGCOE90，又OEOG，DOGCOE(SAS)(6分)ODGOCE；(7分)解：设CHx，四边形ABCD是正方形，AB1，BH1x，DBCBDCACB45，EHBC，BEHEBH45，EHBH1x，ODGOCE，BDCODGACBOCE，HDCECH，(8分)EHBC，EHCHCD90，CHEDCH，(9分)，HC2EHCD，得x2x10，解得x1，x2(舍去)，HC.(10分)32