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休息休息结束结束休息休息结束结束本章转入课程的第二部分本章转入课程的第二部分 数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多。数理统计的特点是应用面广，分支较多。社会的发展不断向统计提出新的问题。社会的发展不断向统计提出新的问题。休息休息结束结束需要强调说明一点：需要强调说明一点：统计方法具有统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的的特征特征 。因为我们是从一小部分因为我们是从一小部分样本样本观察值观察值去推断该全体对象（去推断该全体对象（总体总体）情况，即由）情况，即由部分推断全体。部分推断全体。 这里使用的推理方法是这里使用的推理方法是“归纳推理归纳推理”。休息休息结束结束6.1 随机样本随机样本1.1.总体与个体总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究对象。个统计问题总有它明确的研究对象。研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体。休息休息结束结束在数理统计中，总体这个概念在数理统计中，总体这个概念的的要旨要旨是：是：总体就是一个概率分布。-50005001000150020000510152025休息休息结束结束容量为容量为 n 的样本（也称为的样本（也称为子样子样）可以可以看作看作 n 维随机变量：维随机变量：( X1 , X2 , , Xn ) 但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数个具体的数 ( x1 , x2 , , xn )，称为样本，称为样本的一次观察值，简称的一次观察值，简称样本观察值样本观察值 。休息休息结束结束最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单简单随机抽样随机抽样”，它要求抽取的样本满足下，它要求抽取的样本满足下面两点面两点:休息休息结束结束1. 代表性代表性： X1 , X2 , , Xn 中每一个中每一个与所考察的总体有相同的分布。与所考察的总体有相同的分布。2. 独立性独立性： X1 , X2 , , Xn 是相互独是相互独立的随机变量。立的随机变量。休息休息结束结束由简单随机抽样得到的样本由简单随机抽样得到的样本(子样）称子样）称为为简单随机样本（子样）简单随机样本（子样）。用用（ X1 , X2 , , Xn ）表示。表示。 简单随机样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到今后，当说到（ X1 , X2 , , Xn ）是取自是取自某总体的样本时，就指某总体的样本时，就指简单随机样本简单随机样本。休息休息结束结束3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）总体（理论分布） 样本样本 样本值样本值休息休息结束结束6.2 抽样分布抽样分布1. 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为不含任何未知参数的样本的函数称为统统计量计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布。它是完全由样本决定的量。统计量的分布称为称为抽样分布抽样分布。休息休息结束结束 2. 样本均值及其抽样分布样本均值及其抽样分布 样本均值样本均值niiXnX11反映了总体均值的信息休息休息结束结束定理定理: 设设 是来自某总体是来自某总体X的样的样本本, 为样本均值。为样本均值。nXXX,21X 若总体分布为若总体分布为 N( ,2), 则则 的精确分的精确分布为布为 N(, 2/n ) ；X 若总体分布未知或不是正态分布，若总体分布未知或不是正态分布，则则 的渐近分布为的渐近分布为 N(, 2/n ) ；XX休息休息结束结束 样本方差与样本标准差样本方差与样本标准差n22ii 1n2ii 11S( XX )n11S( XX )n1 它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本方差样本方差样本标准差样本标准差休息休息结束结束n222ii 11nSXXn1n1 故故有有：nn2222iii 1i 1( XX)XnX 事事实实上上：休息休息结束结束定理定理 设总体设总体X有有 EX=, DX=2， X1, X2, , Xn 是来自总体是来自总体 X 的样本，则：的样本，则：EX 2DXn 22Es 休息休息结束结束 样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息 样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息休息休息结束结束 统计量也是随机变量统计量也是随机变量，统计量的，统计量的分布称为统计量的分布称为统计量的“抽样分布抽样分布” . 抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布（小样本问题中使用）（小样本问题中使用）渐近分布渐近分布（大样本问题中使用（大样本问题中使用)休息休息结束结束三大抽样分布三大抽样分布2 分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX 2 )(22n记为：记为：休息休息结束结束2分布的密度函数为：分布的密度函数为：000)2(21);(2122xxexnnxfxnn.其中伽玛函数其中伽玛函数 定义为定义为( x ) tx 10( x )e tdt,x0 休息休息结束结束),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从分布都服从分布nXXX,21则则n222i2i 11( X) (n) )(21221nnXX),(),(222121nXnX2. 设设 且且X1,X2相互相互独立，则独立，则2分布的性质：分布的性质：休息休息结束结束),(2nX若若则则 EX = n, DX= 2n由中心极限定理可得，若由中心极限定理可得，若 ，则当，则当n充分大时，充分大时，2X (n) Xn2n 的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1).休息休息结束结束2、t 分布分布 设设XN(0,1) , Y ,且且X与与Y相互相互独立，则称变量独立，则称变量XTY n 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布。)(2n记为：记为： T t (n).休息休息结束结束T 的密度函数为：的密度函数为：n 122(n1) 2xf ( x;n)(1)n(n 2 ) n 具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数的数学期望和方差为学期望和方差为: E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对对 n 2 休息休息结束结束( ; )0 xLim f x nt分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且当当n充分大时，其图形类似于标准正充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。态分布密度函数的图形。休息休息结束结束 不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近分布近似似N (0,1)分布。分布。 但对于较小的但对于较小的n，t分布分布与与N (0,1)分布相差很大。分布相差很大。休息休息结束结束3、F分布分布),(),(2212nYnX 设设 X与与Y相相互独立，则称统计量互独立，则称统计量服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作 ： F F ( n1 , n2 ) .12X nFY n 休息休息结束结束由定义可见，由定义可见，21Y n1FX n F ( n2, n1)休息休息结束结束若若XF(n1,n2)， X的概率密度为的概率密度为 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnnX的数学期望为的数学期望为:2)(22nnXE若若n22即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.休息休息结束结束0.025F(6,4 ) 9.200.975F(6,4 )? xy一般地，一般地，112211F(n ,n )F (n ,n ) 1 112F(n ,n ) 12F(n ,n )休息休息结束结束112P FF(n ,n )1 11211P1FF(n ,n ) 11211PFF(n ,n ) 令：令：1FF 则则21FF(n ,n ) xy21F(n ,n ) 1121FP,(nn )F 211211F (n ,nFn)(n) 1121F(n ,n ) 112211F(n ,n )F (n ,n ) 休息休息结束结束0.975F(6,4 ) 0.0251F(4,6 ) 16.23=0.1605休息休息结束结束四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1, X2, , Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本，则有：的样本，则有：2X N(,)n X N(0,1)n 休息休息结束结束 n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X休息休息结束结束 定理定理 2 ( 样本方差的分布样本方差的分布 )设设X1, X2, , Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本的样本,2Xs和和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：222s(n1)(1)(n1) 2(.X)s2和和相相互互独独立立休息休息结束结束n122 S( XX )in 1i 1 其其中中22ni22i 1( XX )(n1)S 2ni2i 1( X) 2)n( 2)1(n- 比较：休息休息结束结束n取不同值时取不同值时 的分布的分布 22( n1 )S 休息休息结束结束 定理定理 3 设设 X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体2N(,) 的样本的样本,2Xs和和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有：则有：X t(n1)Sn 休息休息结束结束X N(0,1)n 222(n1)S(n1) 22(n1)s/nnX(1) t(n1) XSn 证明：独立独立 休息休息结束结束 定理定理 4 (两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布) ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2212ss和和则有：则有：Y1,Y2,2nY是是样本样本休息休息结束结束1212w12XY() t(nn2)11Snn 221122122w(n1)S(n1)Sn2Sn 其中其中休息休息结束结束XY N(,) 12E( XY )12 2212D( XY )nn2212nn 1212)11nXY( N(0,1)n 1212)11nSXYtn( 证明：111212)11nnXY( t(Sn1) 121222)11nnXY( t(Sn1) 121w122)1XY1nn( t(nn2S) 休息休息结束结束 定理定理 5 (两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布) 221122X N(,),Y N(,) ，YX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是它们的样本方差分别是它们的样本方差,均值，均值，2212ss和和则有：则有：Y1,Y2,2nY是是样本样本2211122222S F(n1,n1)S 休息休息结束结束证明：2211121(n1)S(n1) 2222222(n1)S(n1) 独立独立 211121222222(n1)S/(n1)(n1)S/(n1) 12F(n1 ,n1) 22112222S/S/
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