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第38章 染色问题与染色方法 38.1 已知平面上6点，每3点不共线，证明：以这些点为顶点的三角形中，定有一个三角形的最大边是另一个三角形的最小边38.2 有15位数学家在一次国际会议上相遇，其中任意3人中都至少有2人可讲同一种语言证明：如果已知每个人最多能讲三种语言，那么至少有4人能讲同一种语言38.3 某班有50名学生，男女各占一半，他们围成一圈开营火晚会，证明：一定能找到一位两旁都是女生的学生38.4 平面上有n(n3)个点，任意三点都不共线，将这些点两两用线段相连所有这些线段中某些线段整条涂上红色，其余的线段则整条涂上蓝色，使得所有红色的线段构成一个不自交的封闭曲线（即由此曲线中的任一个顶点开始，可以绕经所有的同色线段，最后绕回此顶点，在途中同色线段互不相交于端点以外的点，且每个顶点恰好各进出一次），所有蓝色的线段也构成一个不自交封闭曲线，试求所有满足上述情况的n值，并说明点的配置情形及如何涂色38-5 将正十三边形的每个顶点染成黑色或染成白色，每顶点只染成一色，证明：存在三个同色顶点，它们刚好成为一个等腰三角形的顶点.38.6 圆周上有1 2个点，其中有1个点涂了红色，还有1个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形问：是双色多边形的个数多，还是无色多边形的个数多，两者相差多少个？38.7 设S为平面上的一个有限点集（点数5），其中若干个点染上红色，其余的点染上蓝色设任何3个及3个以上的同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得：它的3个顶点同色；这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点.38.8 用任意方式将平面上每一个点染成黑色或白色，求证：平面上必存在一个边长为1或的正三角形，它的三个顶点都是同色的.38.9 在正6n+1边形中，将k个顶点染成蓝色证明：具有同色顶点的等腰三角形数目不依赖于染色方法.38.10 在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点试设计一种将所有整点染色的方法，将每个整点中当成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得：（1）每一种颜色的点出现地无穷多条平行于横轴的直线上.（2）对于任意白点A、红点B及黑点C，总可以找到一个红点D，使得四边澎ABCD是一个平行四边形并证明设计的染色方法符合上述要求38.11 将平面上的所有的点染成红色或蓝色，试构造一种染色方式，使平面上找不到一个顶点同色而边长等于单位长度的等边三角形38.12 考察坐标平面上的所有整点（x，y），其中1x、y1997我们将其中x与y互质的点都染为红色，其余整点染为蓝色证明：红色点不少于一半38.13 某班有49名学生，坐成7行7列每个座位的前后左右均称为它的邻座要使全班每个同学都离开自己的位子坐到邻座上去，问：这种方案能否实现？38.14 将边长为2的正方形的角上去掉一个边长为1的正方形，用所得到的图形去覆盖一个57的方格纸，可以重叠，但图形不可超出整个方格纸，那么是否可能使方格纸中的每个边长为1的小方格上覆盖图形重叠的层数都相等？证明你的结论.38. 15 如图所示，在一个35的棋盘上去掉位于第2行第1列的方格，求证：在残缺棋盘上不能用7个l2的日字形纸片将它覆盖.38. 16 55的正方形内有25个方格，至少要涂黑几个方格才能使正方形内的任何一个33的正方形里面正好都出现4个黑格？38.17 在44的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去其中2行2列，若无论怎样划都至少有一个红色的小方格数没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论.如果将上题中的“44的方格纸”改成 “nn的方格纸（n5）” 其他条件不变，那么至少要涂多少个小方格？证明你的结论.38.18 把2n2n的方格中的左下角剪去一个22的正方形，余下了4n 24个小方格（如图所示是n4的图形）（1）当n5时，余下的96个小方格能否剪成24块形的小纸片？若能，给出剪法；若不能，说明理由.（2）当n4时，余下的60个小方格能否剪成15块形的小纸片？若能，给出剪法；若不能，说明理由.38.19 （1）假定一个47的方格棋盘（见图），每个方格染成黑色或白色求证：对任何一种染色方式，在棋盘中必定包含一个四角上的方格同色的矩形，如图中虚线方框所示.（2） 在46的方格纸中，将每个小方格都染成黑色或白色，试给出一种染色方式，使方格纸中找不到一个四角同色矩形。*38.20 在4行18列的方格纸中，每个小方格染成红色，蓝色或黄色，试构造一种染色方式，使方格纸中找不到一个四角同色矩形。*38.21 在一个88的方格阵内是否涂黑某些方格，使其中任意33的正方形内都恰好存在5个黑格，而且在任意24的矩形（横竖不限）内都恰好存在4个黑格？*38.22 彼得在具有整数边长的矩形中先给某一个方格涂色，而萨拉接着也给其它方格涂色，但他得遵循以下规则：该方格要与奇数个已涂色的方格相邻（这里相邻是指具有公共边），那么在以下两种矩形中，不论彼得先涂哪一种格，萨拉都能把全部方格涂满色吗？（1） 如果是89的矩形.（2） 如果是810的矩形.*38.23 将1515的方格表中的某些小方格涂上颜色，使得把西洋棋的主教（Bishop）放在方格表上的任一方格上，它都至少可以攻击两个涂有颜色的小方格.要满足上述要求，请问：在1515的方格表上至少要将多少个小方格涂上颜色（注：西洋棋中的主教可以攻击本身所在的小方格及他的东南，东北，西南，西北方向上的任何小方格）？*38.24 在一个1515的方格棋盘上，规定棋子每步只能朝水平或铅直方向跳过8或9个小方格，且不可以重复跳入任何一个格子。若棋子可以从此棋盘的任一个方格开始，请问：此棋子最多可以跳入几个小方格？*38.25 （1）用11,22,33三种型号的正方形地板砖铺2323的正方形地面，请你设计一种方案，使得11的地板砖只用一块。（2）请你证明：只用22,33两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满正方形地面而不留空隙。*38.26 12名矮子住在森林里，每人将自己的房子染成红色或白色，在每年的第i个月，第i个矮子访问他所有的朋友（这12个矮子中的），如果他发现，大多数朋友的房子与自己颜色不同，那么他就将自己房子的颜色改变，与大多数朋友保持一致.证明：不久以后，这些矮子就不需要改变颜色了.5
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