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第11章 一元二次方程11.1 一元二次方程及解法11.1.1 若方程(1996x)219951997x10较大根为m，方程x21995x19960的较小根为n，则mn等于（ ）（A）1997（B）1996（C）（D）11.1.2 对任意两个实数a、b，用max(a，b)表示其中较大的数，则方程xmax(x，x)2x1的解是（ ）（A）1，1（B）1，1（C）1，1（D）1，111.1.3 已知方程(x19)(x97)p有实数根r1和r2（其中p为实数），则方程(x r1)(xr2)p的最小实数根是（ ）（A）19（B）97（C）19（D）9711.1.4 已知a是方程x2x0的根，则的值是_11.1.5 已知关于x的方程3x22axa20的一个根为1，则另一个根是_11.1.6 已知以x为未知数的二次方程abx2(a2b2)xab0，其中a、b是不超过10的质数，且ab，那么两根之和超过3的方程是_11.1.7 已知方程ax2bxc0(a0)的两根和为S1，两根平方和为S2，两根立方和为S3，则aS3bS2cS1的值是_11.1.8 把关于x的一元二次方程x2pxq0的系数p及q每次加1，这样的步骤重复四次，使得五个方程都具有整数根请举出这样的实例11.1.9 小杰和小丁依下列规则玩游戏首先，小杰写下一个二次方程式ax2bxc0，其中a、b、c都是正整数接着，小丁可以随意地将这个方程式中的0个、1个或2个“”号改为“”号若改变后的方程式有两个整数根，则小杰获胜；若改变后的方程式没有实数根或至少有一个根不是整数，则小丁获胜请问：小杰有没有必胜的策略？11.1.10 下面的等式成立：x1x2x2x3x3x4x99 x100x100x101x101x11，求x1，x2，x100，x101的值 11.2 一元二次方程的根的判别式11.2.1 设b取216的奇数，c取任意正整数，则可以组成有两个不等实根的一元二次方程3x2(b1)xc0的个数为（ ）（A）64（B）66（C）107（D）无穷多个11.2.2 设二次方程x22px2q0有实数根，其中p、q都是奇数那么，它的根一定是（ ）（A）奇数（B）偶数（C）分数（D）无理数11.2.3 把三个非0实数a、b、c按任意的次序分别填入x2x0的三个方框中，所得的方程的根均为有理数，这样的实数a、b、c（ ）（A）不存在（B）有一组（C）有两组（D）有，多于两组11.2.4 若方程x2ax2b0有相等两实数根，x22bxa0也有相等两实数根，且ab，则ab_11.2.5 求证：对于正数a、b、c，如果方程c2x2(a2b2c2)xb20没有实数根，那么，以a、b、c为长的线段能够组成一个（面积不为0的）三角形11.2.6 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR1，Pc2bRa0，求证：一元二次方程ax22bxc0必有实数根11.2.7 设a、b为实数，已知方程x2(ab)x0有两个实数根，求a、b的取值范围 11.3 一元二次方程根与系数的关系11.3.1 已知关于x的二次方程2x2ax2a10的两个实数根的平方和为，则a的值为（ ）（A）11或3（B）11（C）3（D）511.3.2 如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（ ）（A）0m1（B）m（C）m1（D）m111.3.3 已知a、b是方程x2(m2)x10的两个根，则(1maa2)(1mbb2)的值为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）411.3.4 已知、是方程x2x10的两个实数根，则43_11.3.5 设方程x2pxq0的两根分别比方程x22qxp0的两根大1，求这两个方程的根11.3.6 设x2pxq0的两实数根为、（1）求以3、3为根的一元二次方程（2）若以3、3为根的一元二次方程仍是x2pxq0，求所有这样的一元二次方程11.3.7 设方程a1x2b2xc10(a10)的根为1a1、1a1，方程a1x2b1xc20的根为1、1，又设方程a1x2b1xc10的两根相等，求a1、b1、c1的值11.3.8 甲、乙、丙、丁四人分别按下面的要求做一个解为x1、x2的一元二次方程x2pxq0甲：p、q、x1、x2都取被3除余1的整数乙：p、q、x1、x2都取被3除余2的整数丙：p、q取被3除余1的整数，x1、x2取被3除余2的整数丁：p、q取被3除余2的整数，x1、x2取被3除余1的整数问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自做出方程？若可以做出，请你写出一个这样的方程；若不能做出，请你说明理由11.3.9 若适当选取非0实数p0、q0为初始值，写出方程x2p0xq00若方程有实数根p1、q1，可再写出方程x2p1xq10 若方程有实数根p2、q2，可再写出方程x2p2xq20 一般情况下，只要所写出的第k个方程x2pk1xqk10有实数根pk、qk，就可继续写出第(k1)个方程x2pkxqk0依上述规则一直写下去，当写出第1997个方程x2p1996xq19960有两个实数根p1997、 q1997时算“达标”，求证：可以找到选定初始值p0、q0的方式，以保证可以“达标”，并请你说明理由11.4 二次三项式的因式分解11.4.1 对任意实数x，二次三项式x23mxm2m是一个完全平方式，则m_11.4.2 m为何值时，x2y2mx5y6能够分解因式？并分解之11.4.3 设二次三项式ax2bxc的系数是正整数已知当x1997时，二次三项式的值a19972b1997cp是一个质数证明：ax2bxc不可能分解为两个整系数一次式的乘积11.4.4 甲、乙两人做数学游戏，乙先给出一个或两个整数，甲根据乙给出的数再给出两个或一个整数，两人合计给出三个不全为0的整数如果以这三个整数为系数的所有二次三项式都能在有理数范围内分解因式，则甲胜问：甲一定能取胜吗？若甲一定能取胜，甲给出的数与乙给出的数有何关系？并说明理由11.5 含字母系数的一元二次方程11.5.1 如果关于x的方程mx22(m2)xm50没有实数根，那么关于x的方程(m5)x22(m2)xm0的实数根个数为（ ）（A）2（B）1（C）0（D）不确定11.5.2 设三个方程x24mx4m22m30，x2(2m1)xm20，(m1)x22mxm10中至少有一个方程有实数根，则m的取值范围为（ ）（A）m（B）m或m（C）m或m（D）m11.5.3 已知a、b、c均为正数，方程ax2bxc0有实数根，则方程acx2b2xac0（ ）（A）有两个不相等的正根（B）有一个正根，一个负根（C）不一定有实数根（D）有两个不相等的负根11.5.4 已知x1、x2是方程x2(k2)x(k23k5)0(k为实数)的两个实数根，则的最大值是（ ）（A）19（B）18（C）（D）不存在11.5.5 关于x的方程(a24)x22(a2)x10恰有一个实数根，则a_11.5.6 若两个关于x的实系数一元二次方程x2xa0与x2ax10至少有一个公共的实数根，则a_11.5.7 设m、n为正整数，二次方程4x2mxn0有相异实数根p、q，且pq，如果方程x2px2q0和x2qx2p0有公共根（1）求它的公共根（2）求m、n的一切正整数组（m，n）（3）若p、q均为有理数，求方程x2px2q0的另一根11.5.8若方程的两根，也是方程的根，其中p,q均为整数，试求p、q的值.11.5.9若k为正整数，一元二次方程有两个正整数根，求之值.11.5.10求所有的实数k,使方程的根都是整数.11.5.11设m为整数，且4m40,方程有两个整数根，求m的值及方程的根.11.5.12试求出所有这样的正整数，使得二次方程至少有一个整数根.11.5.13已知当n为自然数时，关于x的一元二次方程的两根为质数，试解此方程.11.6含绝对值的一元二次方程11.6.1若是方程的两根，则的值是（ ）A. B. C.1 D.11.6.2方程的所有根的和是（ ）A.-2 B.0 C.2 D.4 11.6.3方程的解的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 11.6.4方程x|x|-3|x-1|=1的不同实数根的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 11.6.5对方程x|x|+px+q进行讨论,下面的结论中，错误的个数是（ ）(1)至多有三个实数根；(2)至少有一个实数根；(3)仅当时才有实数根；(4)当p0时有三个实数根.A.0 B.1 C.2 D.311.6.6方程的根的和是_. 11.6.7关于x的方程恰好有三个实数根，则m的值是_.11.6.8方程的解是_.11.6.9当a在什么范围内取值时，方程有且只有相异两实数根？11.7一元二次方程的应用11.7.1已知实数x,y满足xy+x+y=9，,则的值为（ ）A.1 B.17 C.1 D.6或1711.7.2已知实数a,b满足和则代数式的值为（ ）A.175 B.55 C.13 D.711.7.3 a、b、c是实数，且，则a的取值范围是（ ）A.一切实数 B.a1 C.1a13 D.1a911.7.4 设x,y是实数，且，求的取值范围.11.7.5 已知x+y+z=6,，其中x,y，z是实数,求证0x4，0y4,0z4.11.7.6 设a、b是实数，关于x的二次方程，无论k取何实数，都有根x=1.(1)求a,b的值.(2)当k变化时，求方程另一根的取值范围.11.7.7 对正数a、b定义运算*如下，当ab时，a * b=ab；当ba2b时，a * b=；当ab时, a * b=.若3 * x=8,试求之值.（其中，x表示不超过x的最大整数.11.7.8已知t为一元二次方程的根.(1)对任一给的有理数a,求有理数b、c，使得(t+a）(bt+c)=1成立.(2)将表示成dt+e的形式，其中d、e为有理数.11.7.9设a,b是方程的两个根，c,d是方程的两个根.已知+=B.求证：（1）+=7B-7.（2）+=49B-68.11.7.10 设都是实数，且有=1.求证：=-1.11.7.11 在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速运动，甲球从A点出发按顺时针方向运动，乙球同时从B点出发，按逆时针方向运动，两球相遇于C点，相遇后，两球各自反向做匀速圆周运动，但返回时甲球速度是原来的2倍，乙球速度是原来的一半，它们第二次相遇于D点（见图），已知=40cm，=20cm，求A的长度 11.7.12 如图所示，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C、出发，甲向C，乙、丙向A行进，过了h，甲与乙于M点相遇；又过了，丙于N点追上乙.已知B点恰为N、C的中点，M、N之间的距离为，又知甲比丙提前1h到达目的地.问：A与B，B与C之间各有多少千米？11.7.13 批零兼经营的文具店规定：凡购买铅笔51支以上（含51支）,按批发价结算；而购铅笔50支以下（包括50支）按零售价结算.批发价每购60支比零售价降价1元,现有班长小王来购铅笔,若给全班每人买1支，则必须按零售价结算，需用m元（m为正整数）；但若多买10支则可按批发价结算,恰好也是用m元,问：小王班上共有多少学生？11.7.14 A、B两港在大湖南岸，C港在大湖北岸，A、B、C三港恰为一等边三角形的三个顶点，A港甲船与B港乙船同时出发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶处40km时，甲、乙两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶到达C港时，乙船尚距C港20km，问：A、B两港之间的距离是多少千米？11.7.15如图所示，有一块矩形地ABCD，要再中央修一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条.问：如何量出道路的宽度？11.7.16设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a的取值范围.11.7.17某村民在第一年增加了n人，而在第二年又增加了300人，但也能说是居民人数在第一年增加了300%，而在第二年又增加了n%，问：该村现在究竟有居民多少人？11.7.18有一个凸n边形，如果它的对角线共有119条，那么这是几边形呢？接不上则（ ）（A）方程的根是x4，a3（B）方程的根是x4，a5（C）方程的根是x20，a3（D）方程的根是x20，a51192若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）（A）a （B）0a （C）a1 （D）1a1193 已知a为非负整数，若关于x的方程至少有一个整数根，则a可取的值为 1194方程的解是 1195解下列方程：（1）（2）（3）（4）1196解方程1197已知方程有一个根是5，方程也有一个根是5，其中a、b、c均为整数求方程的根1198若关于x的方程只有一个整数根，且a30，试求符合条件的整数a的一切值1199 当a取何值时，方程的解只有一个？1110 简单的高次方程11101方程x46x313x212x40的不同的有理数根有（ ）个 （A）0 （B）1 （C）2 （D）411102已知关于x的方程x422x248x230和，则下列四个结论中正确的是（ ）（A）a、b满足方程，c、d不满足方程（B）c、d满足方程，a、b不满足方程（C）a、d满足方程，b、c不满足方程（D）b、c满足方程，a、d不满足方程11103如果方程有且仅有一个实数根，则p的值为（ ）（A）p （B）p （C）p或p （D）p不存在11104解下列方程：（1）（2）（3）11105已知xa是x33xq的一个因式（a、q都是实数），当q为何值时，方程x33xq0（1）有两个不等实数根；（2）有一个实数根？1111 简单的二元二次方程组11111方程（a0）的实数解的组数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）411112方程组的负实数解共有（ ）（A）5组 （B）4组 （C）2组 （D）1组11113 a（ ）时，方程组有唯一解（A）1或 （B）0 （C） （D）111114解下列方程组：（1）（2）（3）11115解下列方程组：（1）（2）11116解下列方程组：（1）（2）11117解下列方程组：（1）（2）（其中a、b、c均不为0）13
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