二项式定理典型例题解析

二项式定理概念篇【例1】求二项式(a2b)4的展开式.分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a2b)4=Ca4+Ca3(2b)+Ca2(2b)2+Ca(2b)3+C(2b)4=a48a3b+24a2b232ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b中的符号“”忽略.【例2】展开(2x)5.分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x)5=C(2x)5+C(2x)4()+C(2x)3()2+C(2x)2()3+C (2x)()4+C()5=32x5120x2+.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2x)5=C(4x3)5+C(4x3)4(3)+C(4x3)3(3)2+C(4x3)2(3)3+C(4x3)(3)4+C(3)5=(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3243)=32x5120x2+.说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例3】在(x)10的展开式中，x6的系数是 .解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C.解法二：(x)10的展开式的通项是Tr+1=Cx10r()r.令10r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=Cx6()4=9Cx6.x6的系数为9C.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(3)10，(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3)10的展开式的通项是Tr+1=C(3)10r()r(r=0，1，10).(1)展开式的第4项的二项式系数为C=120.(2)展开式的第4项的系数为C37()3=77760.(3)展开式的第4项为77760()7，即77760.说明：注意把(3)10写成3+()10，从而凑成二项式定理的形式.【例5】求二项式(x2+)10的展开式中的常数项.分析：展开式中第r+1项为C(x2)10r()r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x0.解：设第r+1项为常数项，则Tr+1=C(x2)10r()r=Cx()r(r=0，1，10)，令20r=0，得r=8.T9=C()8=.第9项为常数项，其值为.说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】 (1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(12x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有即化简得又0r7，r=5.系数最大项为T6=C25x5=672x5.(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(12x)7括号的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可.=1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依题意有C25=C26，解得n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大，则有5r6.r=5或r=6.系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇【例8】若nN*，(+1)n=an+bn(an、bnZ)，则bn的值()A.一定是奇数B.一定是偶数C.与bn的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以展开后考查.解法一：由(+1)n=an+bn，知an+bn=(1+)n=C+C+C()2+C()3+ +C()n.bn=1+C()2+C()4+ bn为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：nN*，取n=1时，(+1)1=(+1)，有b1=1为奇数.取n=2时，(+1)2=2+5，有b2=5为奇数.答案：A【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二项式展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+y+z)10=(x+y)10kzk.这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y) 10k展开，不同的乘积C(x+y)10kzk(k=0，1，10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C(x+y)10kzk(k=0，1，10).其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例10】求(x+2)3展开式中的常数项.分析：把原式变形为二项式定理标准形状.解：(x+2)3=()6，展开式的通项是Tr+1=C()6r()r=(1)rC()62r.若Tr+1为常数项，则62r=0，r=3.展开式的第4项为常数项，即T4=C=20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解.【例11】求()9展开式中的有理项.分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.解：Tr+1=C(x)9r(x)r=(1)rCx.令Z，即4+Z，且r=0，1，2，9.r=3或r=9.当r=3时，=4，T4=(1)3Cx4=84x4.当r=9时，=3，T10=(1)9Cx3=x3.()9的展开式中的有理项是第4项84x4，第10项x3.说明：利用二项展开式的通项Tr+1可求展开式中某些特定项.【例12】若(3x1)7=a7x7+a6x6+ +a1x+a0，求(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.解：(1)令x=0，则a0=1，令x=1，则a7+a6+ +a1+a0=27=128. a1+a2+a7=129.(2)令x=1，则a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7. 由得：a1+a3+a5+a7=128(4)7=8256.(3)由得a0+a2+a4+a6=128+(4)7=8128.说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，g(x)各项的系数和为g(1)，g(x)的奇数项的系数和为g(1)+g(1)，g(x)的偶数项的系数和为g(1)g(1).【例13】证明下列各式(1)1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n；(2)(C)2+(C)2+ +(C)2=C；(3)C+2C+3C+ +nC=n2n1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.证明：(1)在二项展开式(a+b)n=Can+Can1b+Can2b2+ +Cabn1+Cbn中，令a=1，b=2，得(1+2)n=1+2C+4C+ +2n1C+2nC，即1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n.(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +xn)(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +xn)=(1+x)2n.而C是(1+x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得CC+CC+ +CC+CC=C.C=C，0mn，(C)2+(C)2+ +(C)2=C.(3)证法一：令S=C+2C+3C+ +nC.令S=C+2C+ +(n1)C+nC=nC+(n1)C+ +2C+C=nC+(n1)C+ +2C+C.由+得2S=nC+nC+nC+ +nC=n(C+C+C+C+ +C)=n(C +C+C+C+ +C)=n2n.S=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.证法二：观察通项：kC=k.原式=nC+nC+nC+nC+ +nC=n(C+C+C+C+C)=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.说明：解法二中kC=nC可作为性质记住.【例14】求1.9975精确到0.001的近似值.分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=20.003.解：1.9975=(20.003)5=25C240.003+C230.0032C220.0033+320.24+0.0007231.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.【例15】求证：51511能被7整除.分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.证明：51511=(49+2)511=C4951+C49502+ +C49250+C2511，易知除C2511以外各项都能被7整除.又2511=(23)171=(7+1)171=C717+C716+ +C7+C1=7(C716+C715+C).显然能被7整除，所以51511能被7整除.说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.创新篇【例16】已知(xlgx+1)n的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.求x.分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！解：由已知C+C+C=22，即n2+n42=0. 又nN*，n=6.T4为中间一项，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10.两边取常用对数，有lg2x=1，lgx=1，x=10或x=.说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.【例17】设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，nN*)，若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问m，n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数是关于x的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：C+C=n+m=11. C +C=(m2m+n2n)=，nN*，n=6或5，m=5或6时，x2项系数最小，最小值为25.说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.【例18】若(x+2)n的展开式的常数项为20，求n.分析：题中x0，当x0时，把三项式(x+2)n转化为()2n；当x0时，同理(x+2)n=(1)n()2n.然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n.解：当x0时，(x+2)n=()2n，其通项为Tr+1=C()2nr()r=(1)rC()2n2r.令2n2r=0，得n=r，展开式的常数项为(1)rC；当x0时，(x+2)n=(1)n()2n.同理可得，展开式的常数项为(1)rC.无论哪一种情况，常数项均为(1)rC.令(1)rC=20.以n=1，2，3，逐个代入，得n=3.说明：本题易忽略x0的情况.【例19】利用二项式定理证明()n1.分析：不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数.证明：欲证()n1成立，只需证()n1成立.而()n1=(1+)n1=C+C+C()2+ +C()n1=1+C()2+ +C()n1.说明：本题目的证明过程中将()n1转化为(1+)n1，然后利用二项式定理展开式是解决本问题的关键.【例20】求证：2(1+)n3(nN*).分析：(1+)n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析.证明：当n=1时，(1+)n=2.当n2时，(1+)n=1+C+C+ +C()n=1+1+C+ +C()n2.又C()k=，所以(1+)n2+ +2+ +=2+(1)+()+ +()=33.综上有2(1+)n3.说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.【例21】求证：对于nN*，(1+)n(1+)n+1.分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法.证明：(1+)n展开式的通项Tr+1=C=(1)(1)(1).(1+)n+1展开式的通项Tr+1=C=(1)(1)(1).由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1Tr+1所以(1+)n(1+)n+1说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.【例22】设a、b、c是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列，nN*，求证：an+cn2bn.分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c成等差数列创造条件使用二项式定理.证明：设公差为d，则a=bd，c=b+d.an+cn2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnCbn1d+Cbn2d2+ +(1)ndn+bn+Cbn1d+Cbn2d2+ +dn=2(Cbn2d2+Cbn4d4)0.说明：由a、b、c成等差，公差为d，可得a=bd，c=b+d，这就给利用二项式定理证明此问题创造了可能性.问题即变为(bd)n+(b+d)n2bn，然后用作差法改证(bd)n+(b+d)n2bn0.【例23】求(1+2x3x2)6的展开式中x5项的系数.分析：先将1+2x3x2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6(1x)6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决.解：原式=(1+3x)6(1x)6，其中(1+3x)6展开式之通项为Tk+1=C3kxk，(1x)6展开式之通项为Tr+1=C(x)r.原式=(1+3x)6(1x)6展开式的通项为CC(1)r3kxk+r.现要使k+r=5，又k0，1，2，3，4，5，6，r0，1，2，3，4，5，6，必须或故x5项系数为C30C(1)5+C31C(1)4+C32C(1)3+C33C(1)4+C34C (1)+C35C(1)0=168.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.【例24】(2004年全国必修+选修1)()6展开式中的常数项为()A.15B.15C.20D.20解析：Tr+1=(1)rC()6rxr=(1)rCx，当r=2时，3r=0，T3=(1)2C=15.答案：A【例25】 (2004年)(2x+)4的展开式中x3的系数是()A.6B.12C.24D.48解析：Tr+1=(1)rC()4r(2x)r=(1)r2rCx，当r=2时，2+=3，T3=(2)2C=24.答案：C【例26】 (2004年理)若(12x)9展开式的第3项为288，则(+ +)的值是()A.2B.1C.D.解析：Tr+1=(1)rC(2x)r=(1)rC2xr，当r=2时，T3=(1)2C22x=288.x=.(+ +)=2.答案：A【例27】 (2004年文)已知(x)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28解析：Tr+1=(1)rCx8r()r=(a)rCx82r，当r=4时，T3=(a)4C=1120，a=2.有函数f(x)=(x)8.令x=1，则f(1)=1或38.答案：C【例28】 (2004年天津)若(12x)2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004(xR)，则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ +(a0+a2004)= .(用数字作答)解析：在函数f(x)=(12x)2004中，f(0)=a0=1，f(1)=a0+a1+a2+ +a2004=1，(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2004)=2004a0+a1+a2+ +a2004=2003a0+a0+a1+a2+ +a2004=2003f(0)+f(1)=2004.答案：2004