概率论与数理统计总结

. .3、分布函数与概率的关系 4、离散型随机变量的分布函数 0 1 分布 二项分布 泊松定理 有 泊松分布 =5几何分布 则称X为连续型随机变量,其中函数f称为随机变量X的概率密度函数,2、分布函数的性质：1连续型随机变量的分布函数F是连续函数。2对于连续型随机变量X来说,它取任一指定实数a的概率均为零,即PX=a=0。3、常见随机变量的分布函数 均匀分布 指数分布 正态分布 N N 标准正态分布2、连续型随机变量函数的分布：1分布函数法；2设随机变量X具有概率密度fX,又设函数g处处可导且恒有g0 或恒有g ,则Y=g的概率密度为其中x=h为y=g的反函数,3、 二维连续型随机变量1联合分布函数为函数 f称为二维向量的概率密度. 其中： ,2基本二维连续型随机向量分布均匀分布：二维正态分布：3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度F=FxFY 则称随机变量X和Y是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设是连续型随机变量,f,fx,fY分别为的概率密度和边缘概率密度,则X和Y相互独立的充要条件是等式 f = fxfY 对f,fx,fY的所有连续点成立.五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律：3条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布1条件分布函数2条件概率密度 在Y=y条件下X的条件概率密度同理 X=x条件下X的条件概率密度六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X和Y独立,分别服从二项分布b, 和b,则 Z=X+Y的分布律：Zb.泊松分布：若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,则Z=X+Y服从参数为的泊松分布。2、连续型随机变量函数分布：1Z=X+Y 或若X和Y相互独立时,正态分布的特点：a设X,Y相互独立且XN,YN2,22经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有ZN.b若XN,则c 若XN,则2M=max N=min的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx和FY M=max：N=min：几种常见分布的数学期望i. X服从参数为p的分布：E=0+1p=pii. 若Xb,则E=npiii.若X,则 E=2、连续型随机变量的数学期望定义： 几个常见连续型随机变量的数学期望i.若XU,则E=/2ii. 若XN,则E=iii.若X服从指数分布 ,则E=1/a3、函数 Y = g 的数学期望离散型：离散型变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛,则。连续型：连续型随机变量X的 概率密度为f ,若广义积分绝对收敛,则。4、数学期望的性质：i C为常数,则有E=C；ii 设X是一个随机变量,C常数,则有E=CE；iii 设X,Y是两个随机变量,则有 E=E+E 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:iv 设X,Y是相互独立的随机变量,则有:E=EE 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况二、方差1、定义：设X是一个随机变量,若存在,则称为X方差,记为D或Var.称它的平方根为标准差,记作2、计算方法：用定义：离散型：连续型：用公式：3、方差的性质 设C是常数,则D=0； 设X是随机变量,a是常数,则D=a2D,从而 D=a2D； 设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D=D+D； 对任意常数C, D E2, 当且仅当C = E时等号成立 D = 0则P X = E=1称为X 依概率 1 等于常数 E4、常见分布的方差 分布,其分布律为PX=0=1-p,PX=1=p,则D=p二项分布 Xb,其分布律为则E=np,D=npq泊松分布 Xp,其分布律为 则E=l, D=l均匀分布 X在区间均匀分布E=/2, 正态分布XN,E=,D=2.5、契比雪夫不等式：设随机变量X的期望和方差都存在,且 E=,D=2,则对任意的0,有6、矩的概念：设X和Y是随机变量,若存在,称为k阶原点矩,简称k阶矩。若存在,称为k阶中心矩。若存在,称为k+l阶混合矩。若存在,称为k+l阶混合中心矩。7、标准化随机变量 设随机变量 X的期望E、方差D都存在, 且D 0, 则称为 X 的标准化随机变量,显然,三、协方差和相关系数1、协方差定义：EX-EY-E称为随机变量X与Y的协方差,记为Cov,即 Cov= EX-EY-E。离散型：连续型：关系公式:i协方差与方差的关系：D=D+D+2Cov ii协方差与数学期望的关系：Cov= E-EE iii若X,Y独立,则Cov=0,但反之不成立。协方差的性质 Cov= Cov；Cov= abCov；Cov= Cov+ Cov 2、相关系数定义：若Cov存在,并且D、D存在且不为零,则称为随机变量X与Y的相关系数。性质：i |XY|1 ii |XY|=1 存在常数a,b使PY=aX+b=1.3、利用相关系数计算协方差4、不相关：若X与Y的相关系数XY=0,则称X与Y不相关。假设随机变量X,Y的相关系数XY存在,当X与Y相互独立时,XY=0,即X与Y不相关,反之若X与Y不相关,X与Y却不一定相互独立。5、协方差矩阵i定义：对于n维随机向量,把向量用列向量形式表示并记为X,即X=设X= 为n维随机向量,并记i=E则称=为向量X的数学期望或均值,称矩阵 为向量X的协方差矩阵。 ii性质： 协方差矩阵对角线上的元素Cii为Xi的方差即Cii=D i=1,2,n；协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji ,i,j=1,2,n；C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=,有tCt0；6、多维正态分布及其性质定义：若n维随机向量X=的概率密度为其中X=,=为n维实向量,C为n阶正定对称矩阵,则称向量X=服从n维正态分布,记为XN .对于n维正态分布XN ,X的期望为,X的协方差矩阵为C。 性质 n维正态分布具有下述性质：I n维随机向量服从n维正态分布的充要条件是X1,Xn的任意线性组合 l1X1+l2X2+lnXn 服从一维正态分布。Ii 若X=N,设Y=AX,即Yi为Xj的线性函数,i=1,2,m,则YN,其中A为m行n列且秩为m的矩阵。iii设服从n维正态分布,则X1,Xn相互独立与X1,Xn两两不相关是等价的。 第五章 大数定律与中心极限定理一、大数定律：1、定义1：设X1,X2,Xn,为一随机变量序列,如果对于任意正整数k及任意k个随机变量相互独立,则称随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立。定义2：设Xn是一随机变量序列,若对任意0,有则称随机变量序列Xn依概率收敛于随机变量X。常记为 定义3设Xn为一随机变量序列,E存在,若依概率收敛于零,即对任意 0,有则称随机变量序列Xn服从弱大数定律。 2、几个常见的大数定理：定理1契比雪夫大数定律设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列,且有常数C,使得即 D C,i=1,2, ,则Xn服从大数定律。即对任意 0,有 推论契比雪夫大数定律的特殊情况设X1,X2, Xn, 独立同分布,且E =,D= , i=1,2, 则对任给0,定理2 贝努利大数定律 设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数,p是事件A发生的概率,则对任给的 0,有贝努利大数定律表明,当重复试验次数n充分大时,事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。二、中心极限定理定理1独立同分布下的中心极限定理/ Levy-Lindberg设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列,且E= ,D= ,i=1,2,则定理2 棣莫佛拉普拉斯定理 设随机变量服从参数n, p0p的二项分布,则对任意x,有中心极限定理中典型的问题(1) 设随机变量X1,X2,相互独立同分布,E=,D=20,由定理1,当n充分大时,近似服从标准正态分布。(2) 设nb, 由定理2, 当n充分大时,近似服从标准正态分布。8 / 8