向量法解决空间立体几何---点存在性问题--教师的版

. .向量法解决空间立体几何-点存在性问题-教师版1、如下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA1BC2AC2.(1)假设D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60.解：(1)证明：如下列图，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系那么C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由(0,2,0)(1,0,1)0000，得，即C1B1CD.由(1,0,1)(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在当ADAA1时，二面角B1CDC1的大小为60.理由如下：设ADa，那么D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，那么令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，那么cos 60，解得a(负值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一点D满足题意2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，那么B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，那么即令z3，那么x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.3、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为.假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，.直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2) (0,1，1)，(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u(x，y，z)，那么取z1，得u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d.(3)假设存在一点Q，那么设 (00)，那么那么E，.由得解得2，所以线段CC1上存在一点E，2，使BE平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，那么由得取x1，那么y1，z1.故m(1，1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n(1,0,0)，那么cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.6、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE.如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，那么A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，那么即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，有(s，t，2)，那么t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.优选